الاشتقاق الضمني

يستخدم الاشتقاق الضمني في إيجاد مشتقة علاقات مكتوبة بصورة ضمنية

بحيث لا يُمكن ( أو يصعب) كتابتها بصورة صريحة، وذلك باتباع الخطوات الآتية:

(بشرط أن يكون المتغير y قابلاً للاشتقاق بالنسبة إلى المتغير x)

1. اشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة للمتغير $x$ .

مستخدماً قواعد الاشتقاق وقاعدة السلسلة، حيث تكوت مشتقة y هي $\frac{dy}{dx}$

2. ترتيب حدود المعادلة الناتجة .

    بحيث تكون جميع الحدود المحتوية على $\frac{dy}{dx}$ في الطرف الأيسر من المعادلة.

3. إخراج $\frac{dy}{dx}$ عاملاً مشتركاً من الطرف الأيسر من المعادلة.

4. القسمة على معامل $\frac{dy}{dx}$ لجعل $\frac{dy}{dx}$ موضوعاً للقانون.

مثال:

إذا كان  $x^2{y}^3+y^2=8$  ، فما قيمة $\frac{dy}{dx}$  

        $$\begin{gathered} Solution: \\ {x}^2{y}^3+y^2=8 \\ 2x{y}^3+x^2\left(3y^2\right)\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx}=0 \\ 2x{y}^3+3x^{2}3y^2\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx}=0 \\ (3x^{2}3y^2+2y)\frac{dy}{dx}=-2x{y}^3 \\ \frac{dy}{dx}=- \frac{2x{y}^3}{3x^{2}3y^2+2y} \end{gathered}$$

---

مثال:

إذا كان $x^3+2yx=x{y}^3$ ، فما قيمة $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ 

$$\begin{gathered} Solution: \\ 1+2yx=x{y}^3 \\ 2\frac{dy}{dx}x+2y=y^3+x3y^2\frac{dy}{dx} \\ 2x\frac{dy}{dx}-3x{y}^2\frac{dy}{dx}=y^3-2y \\ (2x-3x{y}^2)\frac{dy}{dx}=y^3-2y \\ \frac{dy}{dx}=\frac{y^3-2y}{2x-3x{y}^2} \\ \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{(3y^2\frac{dy}{dx}-2\frac{dy}{dx})(2x-3x{y}^2)-(y^3-2y)(2-3y^2-6xy\frac{dy}{dx})}{{\mathit{(}\mathit{2}x\mathit{-}\mathit{3}x{y}^{\mathit{2}}\mathit{)}}^{\mathit{2}}} \\ =\frac{(3y^2-2)\frac{dy}{dx}(2x-3x{y}^2)-(y^3-2y)(2-3y^2-6xy\frac{dy}{dx})}{{\mathit{(}\mathit{2}x\mathit{-}\mathit{3}x{y}^{\mathit{2}}\mathit{)}}^{\mathit{2}}} \\ =\frac{(3y^2-2)\left(\frac{y^3-2y}{2x-3x{y}^2}\right)(2x-3x{y}^2)-(y^3-2y)(2-3y^2-6xy\left(\frac{y^3-2y}{2x-3x{y}^2}\right))}{{\mathit{(}\mathit{2}x\mathit{-}\mathit{3}x{y}^{\mathit{2}}\mathit{)}}^{\mathit{2}}} \end{gathered}$$            

---

يوظف الاشتقاق الضمني فيما يأتي:

1. إيجاد ميل المماس، ومعادلة المماس عند نقطة معطاة $(x_1,y_1)$ على منحنى علاقة ضمنية.

عن طريق إيجاد $\frac{dy}{dx}$ بالاشتقاق الضمني، ثم تعويض قيم $(x_1,y_1)$ في $\frac{dy}{dx}$ لإيجاد ميل المماس

عند هذه النقطة ، ومن ثم معادلة المماس،

تُستخدم صيغة الميل والنقطة لمعادلة المستقيم  $y-y_1=m(x-x_1)$

2. إيجاد المشتقة الثانية $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ للعلاقات الضمنية:

بعد إجراء الاشتقاق للمرة الأولى، نحصل على علاقة جديدة تحتوي على $\frac{dy}{dx}, y, x$ 

ويمكن اشتقاق المعادلة الناتجة مرة ثانية باستخدام الاشتقاق الضمني وقواعد الاشتقاق،

معتمدين على أن مشتقة y  هي $\frac{dy}{dx}$، ومشتقة $\frac{dy}{dx}$ هي $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ .

وبتعويض $\frac{dy}{dx}$ التي حصلنا عليها في الاشتقاق الأول مرة، نكون قد حصلنا على $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$.

3. إيجاد المشتقة الثانية للمعادلات الوسيطية:

تعلمت في الدرس السابق إن إذا كان h, g اقترانين قابلان للاشتقاق،

 وكان $x= h\left(t\right) , y=g\left(t\right)$  فإن: 

$\frac{dy}{dx}= \frac{{\displaystyle \frac{dy}{dt}}}{{\displaystyle \frac{dx}{dt}}}= \frac{g\text{'}\left(t\right)}{h\text{'}\left(t\right)} ; \frac{dx}{dt}\ne 0, h\text{'}\left(t\right)\ne 0$

وبالاشتقاق، ينتج:

                             $$\begin{gathered} \frac{d^{2}y}{d{x}^2}= \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) \\ = \frac{{\displaystyle \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}}{{\displaystyle \frac{dx}{dt}}} ; \frac{dx}{dt}\ne 0 \end{gathered}$$

4. الاشتقاق اللوغاريتمي: 

يعتمد هذا الأسلوب على أخذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفين $y = f\left(x\right)$

لتبسيط العلاقة باستخدام قوانين اللوغاريتمات قبل إجراء عملية الاشتقاق،

ثم إجراء الاشتقاق الضمني بالنسبة للمتغير x،

ثم حل المعادلة الناتجة بوصفه موضوعاً للقانون واستبدال $y = f\left(x\right)$