قاعدة السلسلة

تستخدم قاعدة السلسلة مع قواعد الاشتقاق الأساسية في إجراء عملية الاشتقاق

لاقترانات مركبة من اقترانين أو أكثر.

ولقاعدة السلسلة صيغتين أساسيتين:

1. إذا كان كل من $g\left(x\right) , f\left(x\right)$ اقترانين قابلان للاشتقاق، فإن:

                          ${(f\circ g)}^{\text{'}}\left(x\right) = \left(f\right(g{\left(x\right)\left)\right)}^{\text{'}} = f^{\text{'}}\left(g\left(x\right)\right) . g^{\text{'}}\left(x\right)$  

2. إذا كان $u=g\left(x\right) , y=f\left(u\right)$ فإن:

                                            $\frac{dy}{dx}\mathit{=}\mathit{ }\frac{dy}{du}\mathit{.}\frac{du}{dx}$

مثال:

أجد مشتقة الاقتران $f\mathit{\left(}x\mathit{\right)}\mathit{=}\sqrt[\mathit{3}]{{\mathit{(}x\mathit{-}\mathit{1}\mathit{)}}^{\mathit{2}}}$

              $$\begin{gathered} Solution: \\ f\left(x\right)=\sqrt[3]{{(x-1)}^2} ; \sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}} \\ f\left(x\right)={(x-1)}^{\frac{2}{3}} \\ f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{2}{3}{(x-1)}^{\frac{-1}{3}}\left(1\right) ; \frac{d}{dx}\left(u^n\right(x\left)\right)=n{u}^{n-1}\left(x\right) u^{\text{'}}\left(x\right) \\ =\frac{2}{3{(x-1)}^{\frac{1}{3}}}=\frac{2}{3\sqrt[3]{x-1}} \end{gathered}$$         

---

مثال:

أجد مشتقة الاقتران$f\left(x\right)=(x+{(x^2+1)}^4{)}^5$

$$\begin{gathered} Solution: \\ \mathit{ }f\mathit{\left(}x\mathit{\right)}\mathit{=}\mathit{(}x\mathit{+}{\mathit{(}{x}^{\mathit{2}}\mathit{+}\mathit{1}\mathit{)}}^{\mathit{4}}{\mathit{)}}^5 \\ \mathit{ }{f}^{\text{'}}\mathit{(}x\mathit{)}\mathit{=}\mathit{5}\mathit{(}x\mathit{+}{\mathit{(}{x}^{\mathit{2}}\mathit{+}\mathit{1}\mathit{)}}^{\mathit{4}}{\mathit{)}}^{\mathit{4}}\mathit{(}\mathit{1}\mathit{+}\mathit{4}\mathit{(}{\mathit{(}{x}^{\mathit{2}}\mathit{+}\mathit{1}\mathit{)}}^{\mathit{3}}\mathit{\left)}\mathit{\right(}\mathit{2}x\mathit{)}\mathit{ } \\ \mathit{ }{f}^{\text{'}}\mathit{\left(}x\mathit{\right)}\mathit{=}\mathit{10}x\mathit{(}x\mathit{+}{\mathit{(}{x}^{\mathit{2}}\mathit{+}\mathit{1}\mathit{)}}^{\mathit{4}}{\mathit{)}}^{\mathit{4}}\mathit{(}\mathit{1}\mathit{+}\mathit{4}\mathit{(}{\mathit{(}{x}^{\mathit{2}}\mathit{+}\mathit{1}\mathit{)}}^{\mathit{3}}\mathit{ } \end{gathered}$$         

---

 

ويمكن استخدام قاعدة السلسلة بشكل متكرر لإيجاد المشتقة، فمثلاً:

إذا كان الاقترانات:

                             $y= f\left(u\right), u=g\left(t\right) , t=h\left(x\right)$

قابلة للاشتقاق على مجالها، فإن:

                                  $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dt}\times \frac{dt}{dx}$   

ويمكن توظيف قاعدة السلسلة في اشتقاق المعادلات الوسيطية على صورة:

 $x=h\left(t\right) , y=g\left(t\right)$ حيث يسمى المتغير (t) المتغير الوسيط،

 والتي يمكن تحديد قيمه بفترة تسمى مجال الوسيط،

وتكوّن النقط:  $(x, y)=\left(h\right(t), g(t\left)\right)$  منحنىً في المستوى،

مثال:

أجد معادلة مماس منحنى المعادلة الوسيطية الآتية عندما $\mathit{ }t\mathit{=}\frac{\pi }{\mathit{3}}\mathit{ }$

$\mathit{ }x\mathit{=}\mathit{sin}t\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{,}\mathit{ }\mathit{ }y\mathit{=}\cos t\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{:}\mathit{ }\mathit{-}\frac{\pi }{\mathit{2}}\mathit{<}t\mathit{ }\mathit{<}\frac{\pi }{\mathit{2}}\mathit{.}$ 

$$\begin{gathered} Solution: \\ y=sint \Rightarrow \frac{dy}{dt}=cost \\ x=cost \Rightarrow \frac{dx}{dt}=-sint \\ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\times \frac{dt}{dx}=-\frac{cost}{sint} =tant \\ when t=\frac{\pi }{3} \Rightarrow \frac{dy}{dx}=tan\left(\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3} \\ y =sin\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ x=cos\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2} \\ y-y_1=m(x-x_1) \\ y-\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}(x-\frac{1}{2}) \\ y=\sqrt{3}x \end{gathered}$$        

---

يمكن إيجاد ميل المماس له عند نقطة محددة بإيجاد المشتقة $\frac{dy}{dx}$

باستخدام قاعدة السلسلة، فيكون:

       $$\begin{gathered} 1) \frac{dy}{dx}\mathit{=}\mathit{ }\frac{{\displaystyle \frac{dy}{dt}}}{{\displaystyle \frac{dx}{dt}}}\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{,}\mathit{ }\frac{dx}{dt}\mathit{\ne }\mathit{0} \\ 2) \mathit{ }\frac{dy}{dx}\mathit{=}\mathit{ }\frac{g^{\mathit{\text{'}}}\mathit{\left(}t\mathit{\right)}}{h^{\mathit{\text{'}}}\mathit{\left(}t\mathit{\right)}}\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{,}\mathit{ }{h}^{\mathit{\text{'}}}\mathit{\left(}t\mathit{\right)}\mathit{\ne }\mathit{0} \end{gathered}$$

تستخدم قاعدة السلسلة في إيجاد كثير من الاقترانات المهمة، بشرط أن تكون قابلة للاشتقاق، مثل:

1. مشتقة الاقترانات المثلثية المركبة:

  $$\begin{gathered} 1\left) \frac{d}{dx}\left(sin\right(f\left(x\right)) = cos(f\left(x\right)) . f^{\text{'}}(x) \\ 2\right) \frac{d}{dx}\left(\cos \right(f\left(x\right))=-sin(f\left(x\right)) . f^{\text{'}}\left(x\right) \\ 3) \frac{d}{dx}\left(\tan \right(f\left(x\right))=se{c}^2(f\left(x\right)) . f^{\text{'}}\left(x\right) \\ 4) \frac{d}{dx}\left(\mathrm{co}t\right(f\left(x\right))=-sc{s}^2(f\left(x\right)) . f^{\text{'}}\left(x\right) \\ 5) \frac{d}{dx}\left(sec\right(f\left(x\right))=sec(f\left(x\right)) . tan(f\left(x\right)) . f^{\text{'}}\left(x\right) \\ 6) \frac{d}{dx}\left(csc\right(f\left(x\right))=-csc(f\left(x\right)) . cot(f\left(x\right)) . f^{\text{'}}\left(x\right) \end{gathered}$$

مثال:

أجد مشتقة الاقتران $f\left(x\right)=sec\left(lnx\right)$

        $$\begin{gathered} Solution: \\ f^{\text{'}}\mathit{\left(}x\mathit{\right)}\mathit{=}\frac{d}{dx}sec\mathit{\left(}lnx\mathit{\right)}\frac{d}{dx}\mathit{\left(}lnx\mathit{\right)} \\ \mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{=}sec\mathit{\left(}lnx\mathit{\right)}tan\mathit{\left(}lnx\mathit{\right)}\mathit{\left(}\frac{\mathit{1}}{x}\mathit{\right)} \\ \mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{=}\frac{sec\mathit{\left(}lnx\mathit{\right)}tan\mathit{\left(}lnx\mathit{\right)}}{x} \end{gathered}$$         

---

2. مشتقة الاقتران الأسي الطبيعي:

       $\frac{d}{dx}\left(e{ }^{f\left(x\right)}\right) = e{ }^{f\left(x\right)}. f^{\text{'}}\left(x\right)$      

مثال:

إذا كان $f\left(x\right)=e^{\sin x}$، فما قيمة $؟ f\text{'}\left(\mathrm{\pi }\right)$

$$\begin{gathered} Solution: \\ f^{\text{'}}\left(x\right)=cosx e^{sinx} \\ f^{\text{'}}\left(\pi \right)=cos\left(\pi \right) e^{sin\left(\pi \right)} \\ =-1\times e^0=-1 \end{gathered}$$       

3. مشتقة الاقتران اللوغاريتمي الطبيعي: 

          $\frac{d}{dx}\mathit{\left(}ln\mathit{\right(}f\mathit{\left(}x\mathit{\right)}\mathit{)}\mathit{=}\frac{f^{\mathit{\text{'}}}\mathit{\left(}x\mathit{\right)}}{f\mathit{\left(}x\mathit{\right)}}$      

4. قاعدة سلسلة القوة:

 $$\begin{gathered} 1) \frac{d}{dx}(f{\left(x\right))}^n= n (f{\left(x\right))}^{n-1}. f^{\text{'}}\left(x\right) \\ 2) \frac{d}{dx}\left(u^n\right) = n.u^{n-1} .\frac{du}{dx} \end{gathered}$$      

5. مشتقة $a^{f\left(x\right)}$ حيث a عدد حقيقي موجب ولا يساوي صفر:

  $\frac{d}{dx}\mathit{\left(}a{\mathit{ }}^{f\mathit{\left(}x\mathit{\right)}}\mathit{\right)}\mathit{ }\mathit{=}\mathit{ }ln\mathit{\left(}a\mathit{\right)}\mathit{ }\mathit{.}\mathit{ }{a}^{\mathit{ }f\mathit{\left(}x\mathit{\right)}}\mathit{.}\mathit{ }{f}^{\mathit{\text{'}}}\mathit{\left(}x\mathit{\right)}$      

وعندما يكون $f\left(x\right) = x$ ينتج:   $\frac{d}{dx}\left(a^x\right) = ln\left(a\right) . a^x$

6. مشتقة $lo{g}_a\mathit{\left(}\mathit{f}\mathit{\left(}\mathit{x}\mathit{\right)}\mathit{\right)}$ حيث a عدد حقيقي موجب ولا يساوي صفر:

  $\frac{d}{dx}(lo{g}_a\left(f\left(x\right))\right)= \frac{f^{\text{'}}\left(x\right)}{ln \left(a\right) .\left(f\right(x\left)\right)}$       

وعندما يكون $f\left(x\right) = x$ ينتج:  $\frac{d}{dx}(lo{g}_a\left(x)\right)= \frac{1}{x ln \left(a\right)}$