JO Academy school

Here you can browse Jo Academy school, the curriculum, questions, explanations, and much more

مشتقتا الضرب والقسمة والمشتقات العليا

رياضيات - Grade التوجيهي علمي

book syllabus

the explanation

outputs

summary

work sheets

lesson questions solve

نكمل في هذا الدرس كيفية إيجاد مشتقة اقترانات محددة، و حسب النظريات التالية :

1. مشتقة ضرب اقترانين :

الاقتران الأول X مشتقة الاقتران الثاني + الاقتران الثاني X مشتقة الاقتران الأول

${(f \cdot g)}^{'} (x) = f (x) . g^{'} (x) + f^{'} (x) . g (x)$

بشرط أن يكون كلاً من الاقترانين f ،g قابلاً للاشتقاق.

مثال:

جد مشتقة الاقتران $f (x) = (2 x^{3} - x^{2}) (x^{2} - 1)$

$S o l u t i o n : f^{'} (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3} - x^{2}) (x^{2} - 1) + (2 x^{3} - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1) = (6 x^{2} - 2 x) (x^{2} - 1) + (2 x^{3} - x^{2}) (2 x) = 6 x^{4} - 6 x^{2} - 2 x^{3} + 2 x + 4 x^{4} - 2 x^{3} = 10 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x$

مثال:

جد مشتقة الاقتران $f (x) = l n x^{3} \sin x$

$S o l u t i o n : f (x) = l n x^{3} s i n x f (x) = 3 l n x s i n x f' (x) = 3 \times \frac{1}{x} \sin x + 3 l n x \cos x f^{'} (x) = \frac{\sin x}{x} + 3 l n x \cos x$

2 . مشتقة قسمة اقترانين : ${(\frac{f}{g})}^{'} (x) = \frac{g (x) . f^{'} (x) - f (x) . g^{'} (x)}{(g {(x))}^{2}}$

بشرط أن يكون كلاً من الاقترانين f ، g قابلاً للاشتقاق و المقام لا يساوي صفر.

مثال:

جد مشتقة الاقتران $f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$

$S o l u t i o n : f^{'} (x) = \frac{\frac{d}{d x} (x - 1) (x + 1) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}} f^{'} (x) = \frac{(1) (x + 1) - (x - 1) (1)}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

مثال:

جد مشتقة الاقتران $f (x) = \frac{e^{x}}{\cos x}$

$S o l u t i o n : f^{'} (x) = \frac{\frac{d}{d x} e^{x} (\cos x) - e^{x} \frac{d}{d x} (\cos x)}{{(\cos x)}^{2}} = \frac{e^{x} (c o s x) + e^{x} (\sin x)}{{(c o s x)}^{2}} = \frac{e^{x} (c o s x + s i n x)}{{(c o s x)}^{2}}$

و نستنتج من هذه النظرية:

3. مشتقة مقلوب اقتران: ${(\frac{1}{g (x)})}^{'} (x) = \frac{- g^{'} (x)}{g {(x)}^{2}}$

مثال:

جد مشتقة الاقتران $f (x) = \frac{1}{1 - x^{3}}$

$S o l u t i o n : f^{'} (x) = \frac{- \frac{d}{d x} (1 - x^{3})}{{(1 - x^{3})}^{2}} = \frac{3 x^{2}}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

بشرط أن يكون الاقتران g قابلاً للاشتقاق ، و المقام لا يساوي صفر.

مثال:

إذا كان $h (x) = g (x) (3 x^{2} + 1)$ ، فجد $g^{'} (1)$ ، إذا علمت أن $h^{'} (1) = 0, h (1) = 8$ .

$\begin{array}{l} S o l u t i o n : \\ g (x) = \frac{h (x)}{3 x^{2} + 1} \\ g^{'} (x) = \frac{h' (x) (3 x^{2} + 1) - h (x) (6 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}} \\ g^{'} (1) = \frac{h' (1) (4) - h (1) (6)}{{(4)}^{2}} = \frac{(0) (4) - (8) (6)}{{(4)}^{2}} = - 3 ∴ g^{'} (1) = - 3 \end{array}$

مثال:

إذا كان $h (x) + g (x) = 3$ ، وكان $g^{'} (2) = 2, g (2) = 1$ ، فما قيمة : $\frac{d}{d x} (\frac{4}{x} - h^{2} (x)) (2)$ ؟

$\begin{array}{l} S o l u t i o n : \\ \frac{d}{d x} (\frac{4}{x} - h^{2} (x)) = \frac{- 4}{x^{2}} - 2 h (x) h^{'} (x) \\ \frac{d}{d x} (\frac{4}{x} - h^{2} (x)) (2) = \frac{- 4}{{(2)}^{2}} - 2 h (2) h^{'} (2) \\ = - 1 - 2 (3 - g (2)) (g^{'} (2)) \\ = - 1 - 2 (3 - 1) (2) ∴ \frac{d}{d x} (\frac{4}{x} - h^{2} (x)) (2) = - 9 \end{array}$

مثال:

إذا كانت $y = \frac{e^{x} l n (\frac{1}{x})}{l n x}$ ، فما قيمة : $\frac{d x}{d y}$ عند $y = - 2$ ؟

$S o l u t i o n : \begin{array}{l} y = \frac{e^{x} l n (\frac{1}{x})}{l n x} = - \frac{e^{x} l n x}{l n x} = - e^{x} \\ w h e n y = - 2 t h e n - 2 = - e^{x} ∴ x = l n 2 \\ \frac{d y}{d x} |\begin{array}{l} ^{} \\ _{x = l n 2} \end{array} = - e^{x} = - e^{l n 2} = - 2 ∴ \frac{d x}{d y} = - \frac{1}{2} \end{array}$

مثال:

إذا كان $h (x) = \frac{x - 2}{4 - x^{2}}$ ، فما قيمة : $h^{'} (1)$ ؟

$S o l u t i o n : \begin{array}{l} w h e n x = 1, h (x) = \frac{x - 2}{4 - x^{2}} = \frac{x - 2}{(2 - x) (2 + x)} = - \frac{1}{x + 2} \\ h^{'} (x) = \frac{1}{{(x + 2)}^{2}} w h e n x = 1 \\ h^{'} (1) = \frac{1}{{(1 + 2)}^{2}} = \frac{1}{9} ∴ h' (1) = \frac{1}{9} \end{array}$

JO Academy school

مشتقتا الضرب والقسمة والمشتقات العليا

رياضيات - Grade التوجيهي علمي

Get it for

MAC

Get it for

WINDOWS