مقارنة الكسور و الأعداد الكسرية و ترتيبها

المقارنة بين كسرين :

• عند مقارنة كسرين لهما نفس المقام ، فإن الكسر الأكبر هو الكسر ذو البسط الأكبر .

مثال :                      $\frac{3}{7}<\frac{5}{7}$

 

---

•       عند مقارنة كسرين لهما نفس البسط ، فإن الكسر الأكبر هو الكسر ذو المقام الأصغر .

مثال : $\frac{1}{4}<\frac{1}{2}$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

مثال 1 : أكتب الرمز ($>$) أو (<) أو (=) في $\square$ ، لتصبح العبارة صحيحة :

                    بما أن المقامين متساويان، فإن الكسر الأكبر هو ذو البسط الأكبر                        $\frac{9}{13}\square \frac{6}{13}$(1   

إذَنْ : $\frac{9}{13}>\frac{6}{13}$                                                                                                                           

 

---

 

بما أن البسطين متساويان ، فالكسر الأكبر هو ذو المقام الأصغر                            $\frac{2}{9}\square \frac{2}{5}$(2   

إذَنْ : $\frac{2}{9}<\frac{2}{5}$                                                                                                                               

  

---

• عند مقارنة كسرين   (ليس لهما مقامان أو بسطان متساويان) أقوم بإيجاد كسرين مكافئين بجعل مقامي الكسرين متساويين و ذلك باستعمال المضاعف المشترك الأصغر للمقامين.

مثال 2 : قارن بين الكسرين $\frac{5}{7} و \frac{2}{14}$ باستعمال الرموز ( > أو < أ = ) :

الحل: أجد كسراً مكافئاً للكسر ذو المقام الأصغر و ذلك بضرب الكسر في عدد يجعل مقامه مساوياً للمقام الأكبر 

$\frac{10}{14}=\frac{2\times 5}{2\times 7}$

ثم أقارن بين الكسرين : ( عند تساوي المقامات فإن الكسر الأكبر هو ذو البسط الأكبر )

$\frac{2}{14}<\frac{10}{14}$ 

( أعيد كتابة العبارة مع مراعاة كتابة  الكسر  الموجود في السؤال قبل إيجاد الكسر المكافئ له  )

إذَنْ   :  $\frac{2}{14}<\frac{5}{7}$

---

مثال 3 : قارن بين الكسرين $\frac{3}{5} و \frac{2}{4}$ باستعمال الرموز (> أو < أو = ) :

الحل : نقوم بإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لكلا المقامين .

خطوة 1 :لإيجاد ( المضاعف المشترك الأصغر ) لكلا المقامين أقوم بإيجاد مضاعفات المقامين و اختيار أصغرهم

... , 24 , 20 , 16 , 12  , 8 , 4 : 4

        ... , 25 , 20 , 15, 10 , 5 :5

أصغر مضاعف مشترك بين العددين هو (20) .

 خطوة 2 : أستعمل  الكسور  المكافئة و ذلك بضرب  الكسرين في أعداد تجعل مقاميهما متساويين 

                                                        و قيمة كل منهما (20) .

$\frac{10}{20}=\frac{5\times 2}{5\times 4}$

$\frac{12}{20}=\frac{4\times 3}{4\times 5}$

أقارن بينهما بما أن المقامين متساويان فإن الكسر الأكبر  هو ذو البسط الأكبر 

$$\begin{gathered} \frac{10}{20}<\frac{12}{20} \\ إذن \frac{2}{4} < \frac{3}{5} \end{gathered}$$  

 

---

ترتيب الكسور :

نرتب الكسور إما تصاعدياً ( من الأصغر  إلى الأكبر ) أو تنازلياً ( من الأكبر إلى الأصغر ) باستعمال نفس الخطوات السابقة  في إيجاد كسور متكافئة و باستعمال المضاعف المشترك الأصغر للمقامين .

مثال 4 : رتب الكسور الآتية تصاعدياً :

$\frac{1}{6} ,\frac{1}{2} ,\frac{2}{3}$

الحل : نستعمل الكسور المتكافئة و ذلك بضرب كل كسر بأعداد تجعل المقامات متساوية .

           $$\begin{gathered} \frac{4}{6}=\frac{2\times 2}{2\times 3} \\ \frac{3}{6}=\frac{3\times 1}{3\times 2} \end{gathered}$$

الكسور هي : $\frac{1}{6},\frac{3}{6},\frac{4}{6}$

الترتيب التصاعدي : 

 

$$\begin{gathered} \frac{4}{6},\frac{3}{6},\frac{1}{6} \\ إذن : \\ \frac{2}{3},\frac{1}{2},\frac{1}{6} \end{gathered}$$

 

---

 

 مقارنة الأعداد الكسرية و ترتيبها :

أقارن الأعداد الكلية أولاً ثم أقارن الكسور .

مثال 5 : 

$\frac{1}{2}2 و \frac{3}{4}2$قارن بين العددين الكسريين

: الحل

1- أقارن الأعداد الكلية أولاً و هي (2) في كلا العددين الكسريين 

2- أقارن الكسور  ( أجد كسراً مكافئاً مقامه (4 ) و ذلك بضرب الكسر $\frac{1}{2}$ في العدد (2) ) 

$\frac{2}{4}=\frac{2\times 1}{2\times 2}$

نلاحظ  أن $\frac{2}{4}<\frac{3}{4}$

و بما أن العددين الكليين متساويان فإن : 

 

$$\begin{gathered} \frac{2}{4}2<\frac{3}{4}2 \\ إذن \\ \frac{1}{2}2<\frac{3}{4}2 \end{gathered}$$

 

---

مثال 6

:أرتب الأعداد الكسرية الآتية تصاعدياً 

$2\frac{3}{4} , 1\frac{5}{6} , 2\frac{5}{8}$ 

الحل : 1 - نقارن الأعداد الكلية أولاً نلاحظ أن هناك عددين كسريين العدد الكلي في كليهما هو 2 ، و عدداً كسرياً العدد 

الكلي هو 1 ، لذلك فالعدد الكسري $1\frac{5}{6}$  هو العدد الكسري الاصغر .

2- نقارن الكسور في العددين الكسريين الآخرين .

نقوم باستعمال الكسور المتكافئة للحصول على مقامين متساويين و ذلك بضرب بسط و مقام العدد الكسري $2\frac{3}{4}$   في العدد 2 حتى يصبح المقام يساوي 8 كما في العدد الكسري الآخر .

$2\frac{3\times 2}{4\times 2}=2\frac{6}{8}$

نلاحظ أن العدد الكسري

 $2\frac{6}{8}>2\frac{5}{8}$

الترتيب تصاعدياً : 

$1\frac{5}{6} , 2 \frac{5}{8} , 2\frac{3}{4}$