حل نظام من معادلتين خطيتين بيانياً

حل نظام من معادلتين خطيتين بيانياً

يتكون نظام المعادلات الخطية من معادلتين خطيتين أو أكثر لها المتغيرات نفسها.

مثال: نظام مكون من معادلتين خطيتين 

                                                                    y = 2x - 5

                                                                   y = 3x + 4

.............................................................................................................................................................................................................................................

تعريف حل نظام المعادلات الخطية بمتغيرين: هو زوج مرتب يحقق كل معادلة في النظام .

.............................................................................................................................................................................................................................................

مثال ( 1 ) : أحدد إذا كان الزوج المرتب يمثل حلاً لنظام المعادلات الخطية المعطى في كل مما يأتي : 

1) ( 3 , 2 )                   3x + y = 11

                                   2x - 2y = 2

أعوض الزوج المرتب  ( 2 , 3 ) في كلا المعادلتين:

حيث :    y = 2   ,    x = 3

المعادلة ( 2 )	المعادلة ( 1 )
2x - 2y = 2 2 ( 3 ) - 2 ( 2 ) = 2 6 - 4 = 2 2 = 2   صحيح	3x + y = 11 3 ( 3 ) + 2 = 11 9 + 2 = 11  11 = 11    صحيح

 

2)  ( 7 , 2 )       ,       x - y = 5

                               -5x + y = 4

أعوض الزوج المرتب في كلا المعادلتين حيث     y = 2 , x = 7

المعادلة ( 2 )	المعادلة ( 1 )
- 5 x + y = 4 -5 ( 7 ) + 2 = 4 - 35 + 2 = 4 -33 = 4        خطأ	x - y = 5 7 - 2 = 5 5 = 5      صحيح

ألاحظ أن الزوج المرتب ( 2 , 7 ) يمثل حلاً للمعادلة الأولى ، ولكنه لا يمثل حلاً للمعادلة الثانية ، 

إذن ( 2 , 7 ) لا يمثل حلاً لنظام المعادلتين.

.............................................................................................................................................................................................................................................

مثال ( 2 ) : أحل نظام المعادلات الآتي بيانياً 

y = x - 3 

y = - x - 1 

أحدد نقطتين من المعادلة الاولى       y = x - 3 

أفرض مثلاً    x = 0  فتكون : 

y = 0 - 3

y = -3

النقطة  ( 3- ، 0 )

ثم أفرض مثلاً  x = 1 فتكون

y = 1 - 3

y = - 2

النقطة ( 2- , 1 )

أحدد نقطتين من المعادلة الثانية :             y = -x - 1 

أفرض مثلاً   x = 0 فتكون : 

y = 0 - 1

y = -1

النقطة (1- , 0 )

ثم أفرض مثلاً  x = 1  فتكون: 

y = -1 -1 

y = -2

النقطة ( 2- , 1)

تمثيل المعادلتين على المستوى الاحداثي:

ألاحظ أن المستقيمين تقاطعا في النقطة ( 2- , 1 ) 

إذن الحل هو :                                   x = 1 

                                                       y = -2

أتحقق من صحة الحل : 

أعوض الزوج المرتب ( 2- , 1 ) في المعادلتين : 

المعادلة ( 2 )	المعادلة ( 1 )
y = - x - 1 - 2 = -1 -1  -2 = -2              صحيح	y = x - 3  -2 = 1 - 3 -2 = -2               صحيح

إذن حل النظام  ( 2- , 1 ) 

..........................................................................................................................................................................................................................................................

مثال ( 3 ) : أحل كلاً من أنظمة المعادلات الآتية بيانياً : 

1 ) y = 2x + 4

     y = 2x - 1

أحدد نقطتين من المعادلة الأولى            y = 2x + 4

أفرض مثلاً    x = 0     فتكون  :

y = 2x + 4 

y = 2 ( 0 ) + 4

y = 4        

النقطة ( 4 , 0 ) 

أفرض مثلاً     x = 1    فتكون: 

y = 2x + 4

y = 2 ( 1 ) + 4

y = 2 + 4 

y = 6 

النقظة  ( 6 , 1 )

أحدد نقطتين من المعادلة الثانية               y = 2x - 1

أفرض مثلاً    x = 0      فتكون :

y = 2x -1 

y = 2 ( 0 ) -1 

y = 0 - 1 

y = -1

النقطة ( 1- , 0 ) 

أفرض مثلاً     x = 1   فتكون :

y = 2x - 1 

y = 2 ( 1 ) -1

y = 2 - 1

y = 1

النقطة ( 1+ , 1+ ) 

تمثيل المعادلتين على المستوى الاحداثي: 

                                                                                                                          

ألاحظ أن المستقيمين متوازيان إذن لا يوجد حل لهذا النظام .

............................................................................................................................................................................................................................................

2 ) 9x - 6y = 24

     6x - 4y = 16

أحدد نقطتين من المعادلة الأولى                                            9x - 6y = 24

أفرض مثلاً    x = 0   فيكون :

9 ( 0 ) - 6 y = 24

$\frac{\mathbf{-}\mathbf{6}\mathbf{y}\mathbf{ }}{\mathbf{-}\mathbf{6}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{24}}{\mathbf{-}\mathbf{6}}$

y = -4 

النقطة ( 4- , 0 ) 

أفرض مثلاً    x = 2   فيكون :

9 ( 2 ) - 6 y = 24

18 - 6 y = 24

18 - 6y - 18 = 24 - 18

- 6y = 6

$\frac{\mathbf{-}\mathbf{6}\mathbf{y}}{\mathbf{-}\mathbf{6}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{6}}{\mathbf{-}\mathbf{6}}$

y = -1 

النقطة   ( 1- , 2 ) 

الاحظ أن كلا المعادلتين لهما التمثيل البياني ذاته ، إذن يوجد عدد لا نهائي من الحلول .

............................................................................................................................................................................................................................................................

مسألة حياتية : 

منطاد : منطادان ارتفاع أحدهما  4m  عن سطح الارض ، ويزداد ارتفاعه بمعدل ثابت مقداره 5m لكل دقيقة ، والمنطاد الاخر ارتفاعه   10m  عن سطح الارض ، 

ويزداد ارتفاعه بمعدل ثابت مقداره  3m  لكل دقيقة ، بعد كم دقيقة يصبح للمنطادين الارتفاع نفسه ؟

الحل: 

المعطيات : المنطاد الأول : 1- ارتفاعه  4m  عن سطح الارض

                                              2- يزداد ارتفاعه بمعدل  5m  لكل دقيقة 

                    المنطاد الثاني : 1- ارتفاعه  10m عن سطح الارض

                                             2- يزداد ارتفاعه بمعدل  3m  لكل دقيقة 

المطلوب: كم دقيقة يصبح للمنطادين الارتفاع نفسه 

المتغير : أفرض x  عدد الدقائق

               أفرض y   ارتفاع المنطاد

المعادلات:                                   y = 5x + 4

                                                     y = 3x + 10

لايجاد متى يصبح للمنطادين الارتفاع نفسه أمثل المعادلتين بيانياً لحلهما : 

المعادلة الأولى :                              y = 5x + 4

أفرض     x = 0   فتكون: 

y = 5 ( 0 ) + 4

y = 0 + 4

y = 4

النقطة ( 4 , 0 ) 

أفرض مثلاً     x = 1     فتكون:

y = 5 ( 1 ) + 4

y = 5 + 4

y = 9 

النقطة ( 9 , 1 ) 

 

المعادلة الثانية :                              y = 3x + 10

أفرض     x = 0   فتكون: 

y = 3 ( 0 ) + 10

y = 0 + 10

y = 10

النقطة ( 10 , 0 ) 

أفرض مثلاً     x = 1     فتكون:

y = 3 ( 1 ) + 10

y = 3 + 10

y = 13

النقطة ( 13 , 1 ) 

ألاحظ أن النقطتين تتقاطعان عند النقطة ( 19 , 3 ) 

               x = 3

               y = 19

إذن يصبح للمنطادين الارتفاع نفسه بعد 3 دقائق ويكون ارتفاعهما على سطح الارض  19m

.............................................................................................................................................................................................................................................