حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف

حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف

 

أستند في طريقة الحل بالحذف على جمع المعادلتين أو طرحهما بحيث يؤدي ذلك الى حذف أحد المتغيرات

وتسمى هذه الطريقة : حل المعادلات الخطية بطريقة الحذف .

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

خطوات حل معادلتين خطيتين بالحذف : 

1- أرتب النظام بحيث تكون الحدود المتشابهة فوق بعضها .

2- أضرب ان لزم الأمر احدى المعادلتين أو كليهما بعدد ثابت بحيث يكون هناك حدان متشابهان معاملاهما متساويان أو متعاكسان.

3- اجمع المعادلتين او اطرحهما للتخلص من احدى المتغيرات.

4- تنتج قيمة احدى المتغيرات وأعوضها في احدى المعادلتين لأحصل على المتغير الاخر

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

مثال ( 1 ) : استعمل الحذف لحل نظام المعادلات الاتي :

 

ألاحظ أن الحدود الجبرية المتشابهة مرتبة فوق بعضها

5x + y = 22

2x - y = 6                                  أجمع المعادلتين

---------------------

7x = 28                                     أقسم طرفي المعادلة على 7

$\frac{\mathbf{7}\mathbf{x}}{\mathbf{7}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{28}}{\mathbf{7}}$

x = 4

أعوض ( 4 ) بدلاً من x في المعادلة الثانية:

2x - y = 6                                   المعادلة الثانية

2 ( 4 ) - y = 6                             x  أعوض ( 4) بدلاً من 

8 -- y = 6                                     أبسط

8 - y - 8 = 6 - 8                         اطرح  8  من الطرفين

$\frac{\mathbf{-}\mathbf{y}\mathbf{ }}{\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{-}\mathbf{2}}{\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{على}\mathbf{ }\mathbf{المعادلة}\mathbf{ }\mathbf{طرفي}\mathbf{ }\mathbf{اقسم}$

y = 2

اذن حل النظام  ( 2 , 4 ) 

..................................................................................................................................................................................................................................................................................

مثال ( 2 ) : استعمل الحذف لحل نظام المعادلات الاتي : 

12x + 2y = 30

8x + 2y = 22

ألاحظ أن المعادلات الجبرية المتشابهة مرتبة فوق بعضها البعض

12x + 2y = 30

8x + 2y = 22            أطرح

----------------------

4x = 8

$\frac{\mathbf{4}\mathbf{x}}{\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{8}}{\mathbf{4}}$

x = 2

أعوض  2  بدلاً من  في المعادلة الثانية : 

8x + 2y = 22                                        المعادلة الثانية

8 ( 2 ) + 2y = 22                                 x اعوض  2  بدلاً من  

16 + 2y = 22                                       ابسط

16 + 2y - 16 = 22 - 16                        اطرح  16  من الطرفين

2y = 6

$\frac{\mathbf{2}\mathbf{y}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{6}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{على}\mathbf{ }\mathbf{المعادلة}\mathbf{ }\mathbf{طرفي}\mathbf{ }\mathbf{اقسم}$

y = 3 

حل النظام  ( 3 , 2 ) 

..................................................................................................................................................................................................................................................................................

مثال ( 3 ) : استعمل الحذف لحل نظام المعادلات الاتي : 

3x + 2y = 18

2x - y = 5

الحل : ألاحظ أن الحدود الجبرية المتشابهة فوق بعضها

اضرب المعادلة الثانية ب 2 فتكون المعادلتين : 

3x + 2y = 18

4x - 2y = 10

----------------------

7x = 28

$\frac{\mathbf{7}\mathbf{x}}{\mathbf{7}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{28}}{\mathbf{7}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{7}\mathbf{ }\mathbf{على}\mathbf{ }\mathbf{المعادلة}\mathbf{ }\mathbf{طرفي}\mathbf{ }\mathbf{اقسم}$

x = 4

أعوض 14 بدلاً من x في المعادلة الثانية :

3x + 2y = 18                                          المعادلة الثانية

3 ( 4 ) + 2y = 18                                  x أعوض 4 بدلاً من 

12 + 2y = 18                                         

12 + 2y - 12 = 18 - 12                         اطرح 12 من طرفي المعادلة

2y = 6

$\frac{\mathbf{2}\mathbf{y}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{6}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{على}\mathbf{ }\mathbf{المعادلة}\mathbf{ }\mathbf{طرفي}\mathbf{ }\mathbf{اقسم}$

y = 3

إذن حل النظام ( 3 , 4 )

..................................................................................................................................................................................................................................................................................

مثال ( 4 ) : استعمل الحذف لحل نظام المعادلات الاتي : 

4x + 3y = 27

5x - 2y = 5

الحل : 

ألاحظ أن الحدود الجبرية المتشابهة مرتبة فوق بعضها 

لحل نظام المعادلات السابق أضرب المعادلة الاولى ب 2 وأضرب المعادلة الثانية ب 3

ليصبح نظام المعادلتين : 

8x + 6y = 54

15x - 6y = 15          أجمع

-----------------------

23 x        = 69

$\frac{\mathbf{23}\mathbf{x}}{\mathbf{23}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{69}}{\mathbf{23}}$                 اقسم طرفي المعادلة على 23

x =3                                ابسط

أعوض 3  بدلاً عن  x  في المعادلة الثانية

5x - 2y = 5                            المعادلة الثانية 

5 ( 3 ) - 2y = 5

15 - 2y = 5

15 - 2y - 15 = 5 - 15               اطرح 15  من طرفي المعادلة

- 2y = - 10 

$\frac{\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{y}}{\mathbf{-}\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{-}\mathbf{10}}{\mathbf{-}\mathbf{2}}$                  - اقسم طرفي المعادلة على 2

y = 5                                     ابسط

اذن حل النظام  ( 5 , 3 )

....................................................................................................................................................................................................................................................................................

مسألة حياتية: 

يعمل ماجد وحازم أثناء عطلة الجامعة في محطتين مختلفتين لوقود السيارات، ويتقاضى كل منهما أجرته على عدد ساعات العمل.

في أحد الايام عمل ماجد  6  ساعات وعمل حازم 7 ساعات، فكان مجموع ما تقاضياه معاً 36 دينار ،

وفي اليوم التالي عمل ماجد 8 ساعات وعمل حازم 6 ساعات فكان مجموع ما تقاضياه 38 دينار ، كم يتقاضى كل منهما عن كل ساعة عمل ؟

الحل : 

المعطيات : - في أحد  الايام : 

                     عمل ماجد  6 ساعات

                    عمل حازم  7  ساعات

                   مجموع ما تقاضياه معاً 36 دينار

              - في اليوم التالي:

                  عمل ماجد  8 ساعات

                عمل حازم  6 ساعات

مجموع ما تقاضياه معاً  38 دينار

المطلوب : كم يتقاضى كل من ماجد وحازم عن كل ساعة عمل 

المتغيرات :    x  : الاجرة التي يتقاضاها ماجد عن كل ساعة عمل

                       y  : الاجرة التي يتقاضاها حازم عن كل ساعة عمل

المعادلات:

6x + 7y = 36

8x + 6y = 38

أضرب المعادلة الاولى ب 4 والمعادلة الثانية ب 3- لتصبح المعادلتين :

24x + 28y = 144

- 24x - 18y = - 114                 اجمع

---------------------------

10y = 30

$\frac{\mathbf{10}\mathbf{y}}{\mathbf{10}}\mathbf{ }\mathbf{=}\frac{\mathbf{30}}{\mathbf{10}}$

y = 3

أعوض 3 بدلاً من  y  في المعادلة الاولى:

6x + 7y = 36

6x + 7 ( 3 ) = 36

6x + 21 = 36

6x + 21 - 21 = 36 - 21             اطرح 21 من طرفي المعادلة

6x = 15

$\frac{\mathbf{6}\mathbf{x}}{\mathbf{6}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{15}}{\mathbf{6}}$                          اقسم طرفي المعادلة على 6

x = 2.5                                    أبسط 

إذن يتقاضى ماجد عن كل ساعة   2.5 دينار

ويتقاضى حازم عن كل ساعة  3 دنانير

..................................................................................................................................................................................................................................................................................-'