حل نظام من معادلتين خطيتين بالتعويض

حل نظام من معادلتين خطيتين بالتعويض

خطوات الحل : 

1- أحل احدى المعادلتين بالنسبة لأحد المتغيرين  " ويكون ذلك بعزل احدى المتغيرين في طرف واحد " 

2- أعوض المقدار الناتج في المعادلة الأخرى ثم أحلها 

3- أعوض قيمة المتغير الناتجة في احدى المعادلتين لأحصل على قيمة المتغير الثانية ، ثم أكتب الحل في صورة زوج مرتب.

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

مثال 1 : استعمل التعويض لحل نظام المعادلات الاتي : 

y = 2x + 3 

3x + 4y = 1

نلاحظ من المعادلة الأولى أن المعادلة مكتوبة بالنسبة الى  y  ،

إذن أعوض عن  y  ب ( 2x + 3 )  :

3x + 4 ( 2x + 3 ) = 1

3x + 8x + 12 = 1                                                خاصية التوزيع

11x + 12 = 1                                                                   أبسط

11 x + 12 - 12 = 1 - 12                أطرح  12 من طرفي المعادلة 

$\frac{\mathbf{11}\mathbf{x}}{\mathbf{11}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{-}\mathbf{11}}{\mathbf{11}}$                      اقسم طرفي المعادلة على 11

x = -1

أعوض  1-  بدلاً من  x في احدى المعادلتين الاصليتين 

المعادلة الاولى : 

y = 2x + 3

y = 2 ( - 1 ) + 3

y = -2 + 3

y = 1

إذن حل النظام ( 1 , 1- ) 

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

مثال 2 : استعمل التعويض لحل نظام المعادلات الآتي : 

3x +y = 5                      المعادلة الأولى 

5x - 2y = 12                 المعادلة الثانية 

أحل المعادلة الأولى مثلاً بالنسبة للمتغير  y  وذلك بعزل  y  في طرف والباقي في طرف آخر.

3x + y = 5                                     المعادلة الأولى

3x + y - 3x = 5 - 3x                     $\mathbf{3}\mathbf{x}$ أطرح من طرفي المعادلة

y = 5 - 3x

أعوض       ( $\mathbf{3}\mathbf{x}$ - 5 )     الناتجة من المعادلة الأولى في المعادلة الثانية

5x - 2y = 12                                   المعادلة الثانية

5x -2 ( 5 - 3x ) = 12                 $\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{)}\mathbf{ }$ أعوض عن $\mathbf{y}$  ب

5x - 10 + 6x = 12

11x - 10 = 12

11x - 10 + 10 = 12 + 10                     أضيف  10  الى طرفي المعادلة 

$\frac{\mathbf{11}\mathbf{x}}{\mathbf{11}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{22}}{\mathbf{11}}$                                  اقسم طرفي المعادلة على 11

x = 2

أعوض  2  بدلاً من  x  في احدى المعادلتين 

3x + y = 5

3 ( 2 ) + y = 5

6 + y = 5

6 + y - 6 = 5 - 6                       أطرح  6  من طرفي المعادلة

y = -1

إذن حل النظام  ( 1- , 2 ) 

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

مثال 3 :  أحل كلاً من أنظمة المعادلات الآتية مستعملاً التعويض : 

1 )  x - 4y = 12

8y - 2x = 20

أحل المعادلة الأولى بالنسبة للمتغير  x  فيكون : 

x - 4y = 12

x - 4y + 4y = 12 + 4y 

x = 12 + 4y

أعوض   $\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{12}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{4}\mathbf{y}\mathbf{ }\mathbf{)}$ بدلاً من x  في المعادلة الثانية : 

8y - 2x = 20                       المعادلة الثانية

8y - 2 ( 12 + 4y) = 20 

8y - 24 - 8y = 20               توزيع الضرب على الجمع

-24  = 20                               أبسط

ألاحظ أن الجملة الرياضية الناتجة خاطئة ، إذن لا يوجد حل لهذا النظام 

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

2 ) x - y = 5

2x = 2y + 10 

أحل المعادلة الأولى بالنسبة ل x  مثلاً : 

x - y = 5                                              المعادلة الأولى

x - y + y = 5 + y                                أضيف  $\mathbf{y}$  الى طرفي المعادلة

x = 5 + y                                            أبسط

أعوض $\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{y}\mathbf{ }\mathbf{)}\mathbf{ }$    بدلاً من  x  في المعادلة الثانية : 

2x = 2y + 10                                         المعادلة الثانية

2 ( 5 + y ) = 2y + 10                         $\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{y}\mathbf{ }\mathbf{)}\mathbf{ }$  أعوض عن $\mathbf{x}$  ب

10 + 2y = 2y + 10 

10 + 2y - 2y = 2y + 10 - 2y                 أطرح $\mathbf{2}\mathbf{y}$ من طرفي المعادلة

10 = 10                                                أبسط

ألاحظ أن الجملة الأخيرة صحيحة دوماً ولا تحوي على متغير ، إذن عدد لانهائي من الحلول.

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

مسألة حياتية : 

اختبارات : تقدمت أماني لاختبار مكون من  50  سؤالاً تحصل فيه على علامتين عن كل سؤال اجابته صحيحة، وتخسر علامة عن كل سؤال اجابته خطأ ، 

فإذا أجابت أماني عن اسئلة الاختبار جميعها وحصلت على  67  علامة ، فكم سؤالاً أجابت عنه إجابة صحيحة؟ 

الحل : 

المعطيات : - عدد أسئلة الاختبار  50  سؤال

                     - تحصل اماني على  2  علامة للسؤال عند الاجابة الصحيحة 

                    - تخسر أماني علامة واحدة عن كل سؤال اجابته خطأ 

                   - حصلت أماني على  67  علامة 

المطلوب :  عدد الاسئلة التي تمت الاجابة عنها اجابة صحيحة 

المتغيرات :   x  :  عدد الاسئلة التي تمت الاجابة عنها اجابة صحيحة

                      y   :  عدد الاسئلة التي تمت الاجابة عنها اجابة خاطئة

المعادلات : 

x + y = 50

2x - y = 67

أحل المعادلة الاولى بالنسبة للمتغير  y

x + y = 50

x + y - x = 50 - x          أطرح $\mathbf{x}$ من طرفي المعادلة

y = 50 - x                         أبسط

أعوض $\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{50}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{)}$ بدلاً من  y  في المعادلة الثانية : 

2x - y = 67                                     المعادلة الثانية

2x - ( 50 - x ) = 67                       y  أعوض عن $\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{50}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{)}\mathbf{ }$  بدلاً من 

2x - 50 + x = 67                             خاصية التوزيع 

3x - 50 = 67

3x - 50 + 50 = 67 + 50                   اجمع  50  الى طرفي المعادلة

$\frac{\mathbf{3}\mathbf{x}}{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{117}}{\mathbf{3}}$                                  اقسم طرفي المعادلة على 3

x = 39                  

إذن : أجابت أماني على  39  سؤالاً اجابة صحيحة .

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ملاحظة هامة : 

1- عندما أحل معادلة بالنسبة لمتغير فانني أعوض في المعادلة الأخرى وليس في نفس المعادلة .

أي أنه اذا عزلت المتغير في المعادلة الأولى ، فانني أعوض في المعادلة الثانية 

وإذا عزلت المتغير في المعادلة الثانية فانني أعوض الناتج في المعادلة الأولى .

2- إذا حصلت على عبارة رياضية خاطئة في نهاية حل المعادلتين عندئذ لا يوجد حل مشترك لنظام المعادلتين .

3-  أما إذا حصلت على عبارة صحيحة خالية من المتغيرات عندئذ يوجد عدد لا نهائي من الحلول .

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................