حل المعادلات

مفاهيم أساسية : 

يُمكنُني حلُّ معادلةٍ تحتوي على متغيّرٍ واحدٍ في أحدِ طَرَفَيْها باستخدامِ خصائصِ المساواةِ. 

 مثال 1: أَحُلُّ المعادلةَ $\mathbf{3}\mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{42}$ ، ثمَّ أتحقَّقُ منْ صحَّةِ الحلِّ:

2 x x x 2 x x x 2 x x x 42	المعادلةُ الأصليّةُ	$3(3\mathrm{x}+2)=42$
2 2 2 x x x x x x x x x 42  9x+6=42	خاصيَّةُ التوزيعِ أضربُ	$$\begin{gathered} 3\times 3\mathrm{x}+3\times 2=42 \\ 9\mathrm{x}+6=42 \end{gathered}$$
$\cancel{\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{6}\mathbf{ }\mathbf{ }}$ x x   x x x x x x x $\cancel{\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{6}\mathbf{ }\mathbf{ }}$ 36   9x=36	أطرحُ 6 منْ كِلا الطرفَيِْن	$$\begin{gathered} 9\mathrm{x}+6=42 \\ \frac{ \mathbf{-}\mathbf{6}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{6}}{ 9\mathrm{x}=36} \end{gathered}$$
x x x x x x x x x x 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 x=4	أقسمُ كِلا الطرفَيِْن على 9	$$\begin{gathered} 9\mathrm{x} = 36 \\ \frac{\mathbf{÷}\mathbf{9}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{÷}\mathbf{9}}{\mathrm{x}=4} \end{gathered}$$
	أتحقَّقُ منْ صحَّةِ الحلِّ: بتعويضِ x=4 في المعادلة  أُبسِّطُ  الطرفانِ متساويانِ. إذنْ، الحلُّ صحيحٌ	$$\begin{gathered} 3(3\left(4\right)+2)\stackrel{??}{=}42 \\ 3\left(14\right)\stackrel{??}{=}42 \\ 42=42 \mathbf{✓} \end{gathered}$$

 

يمكنُني أيضًا استخدامُ خصائصِ المساواةِ لحلِّ معادلةٍ تحتوي على متغيٍِّرين  على طَرَفَِ المساواةِ.

مثال 2: أحلُّ المعادلةَ $\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{5}\mathbf{+}\mathbf{x}\mathbf{)}$، ثمَّ أتحقَّقُ منْ صحَّةِ الحلِّ: 

$$\begin{gathered} \cancel{\mathbf{3}}\mathbf{\times }\frac{2}{\cancel{3}}(\mathrm{x}-5)=-(5+\mathrm{x})\mathbf{\times }\mathbf{3} \\ 2(\mathrm{x}-5)=-3(5+\mathrm{x}) \end{gathered}$$                                        أضرب طرفي المعادلة في 3 

$2\mathrm{x}-10=-15-3\mathrm{x}$                                        خاصية التوزيع 

$$\begin{gathered} \frac{2\mathrm{x}-10=-15-3\mathrm{x}}{\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{x}\mathbf{ }} \\ 5\mathrm{x}-10=-15 \end{gathered}$$                                     أجمع  3x لكلا الطرفين         

$$\begin{gathered} \frac{5\mathrm{x}-10=-15}{ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{10}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{10}\mathbf{ }} \\ 5\mathrm{x}=-5 \end{gathered}$$                                    أجمع 10 لكلا الطرفين         

$$\begin{gathered} \frac{5\mathrm{x}}{\mathbf{5}}=\frac{-5}{\mathbf{5}} \\ \mathrm{x}=-1 \end{gathered}$$                                  أقسمُ طرَفَِ المعادلةِ على 5                       

$$\begin{gathered} \frac{2}{3}(\left(-1\right)-5)\stackrel{??}{=}-(5+(-1)) \\ -4=-4 \end{gathered}$$                                 أتحقق من صحة الحل بتعويض قيمة  x=-1 في المعادلة ، الطرفان متساويان إذنْ، الحلُّ صحيحٌ 

 

يمكنُني كتابةُ معادلاتٍ خطيّةٍ لتمثيلِ مواقفَ حياتيّةٍ، ثمَّ أحلُّها. 

مثال 3: منَ الحياةِ لدى عليٍّ 4 علبٍ مليئةٍ بالأقلامِ، وقلمانِ إضافيّانِ، ولدى خالدٍ علبتانِ مليئتانِ بالأقلامِ وَ 10 أقلامٍ إضافيّةٍ. كمْ قلمًا في العلبةِ الواحدةِ إذا كانَ لدى كلٍّ منْهُما العددُ نفسُهُ منَ الأقلامِ؟

ليكنْ عددُ الأقلامِ في كلِّ علبةٍ هوَ x إذنْ، لدى عليٍّ 4x+2 قلمً، ولدى خالدٍ 2x+10 قلمً، وبِما أنَّ لدى كلٍّ منْ عليٍّ وخالدٍ العددَ نفسَهُ منَ الأقلامِ، فإنَّ 4x+2=2x+10

أحلُّ المعادلةَ لأجدَ قيمةَ المتغيِّ الذي يمثِّلُ عددَ الأقلامِ في كلِّ علبةٍ. 

$$\begin{gathered} 4\mathrm{x}+2=2\mathrm{x}+10 \\ \frac{\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{ }}{2\mathrm{x}+2=10} \end{gathered}$$                                                         أطرح 2x من الطرفين 

$$\begin{gathered} 2\mathrm{x}+2=10 \\ \frac{ \mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{ }}{2\mathrm{x}=8} \end{gathered}$$                                                        أطرح 2 من الطرفين 

$$\begin{gathered} \frac{2\mathrm{x}}{\mathbf{2}}=\frac{8}{\mathbf{2}} \\ \mathrm{x}=4 \end{gathered}$$                                                       أقسم كلا الطرفين على 2   

إذنْ، تحتوي كلُّ علبةٍ على 4 أقلامٍ.

 $$\begin{gathered} 4\left(2\right)+2\stackrel{??}{=}2\left(2\right)+10 \\ 10=10 \end{gathered}$$                                                أتحقق من صحة الحل