حل المتباينات بالضرب والقسمة

حل المتباينات بالضرب والقسمة 

أولاً : خاصية الضرب للمتباينة: 

1) الضرب في عدد موجب : 

إذا ضرب طرفي كل متباينة صحيحة في عدد موجب فإن المتباينة الناتجة تبقى صحيحة .

مثال:   أعلم أن        $\mathbf{7}\mathbf{ }\mathbf{>}\mathbf{ }\mathbf{5}$

أضرب طرفي المتباينة بالعدد الموجب ( 3 ) فتصبح المتباينة: 

$$\begin{gathered} \mathbf{7}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{>}\mathbf{ }\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }\mathbf{3} \\ \mathbf{21}\mathbf{ }\mathbf{>}\mathbf{ }\mathbf{15}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{صحيحة}\mathbf{ }\mathbf{المتباينة} \end{gathered}$$

...............................................................................................................................................................................................................................................................................

2) الضرب بعدد سالب: 

إذا ضرب طرفي المتباينة الصحيحة بعدد سالب فإنه يتعين تغيير اتجاه رمز المتباينة لجعل المتباينة الناتجة صحيحة.

مثال:  أعلم أن      $\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{<}\mathbf{ }\mathbf{9}$

أضرب طرفي المتباينة بالعدد السالب ( 2- ) فتصبح المتباينة: 

$$\begin{gathered} \mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{>}\mathbf{ }\mathbf{9}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{)}\mathbf{ } \\ \mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{8}\mathbf{ }\mathbf{>}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{18}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{صحيحة}\mathbf{ }\mathbf{المتباينة} \end{gathered}$$

ألاحظ أنه عند الضرب بعدد سالب يتعين تغيير رمز المتباينة لتصبح المتباينة الناتجة صحيحة.

...............................................................................................................................................................................................................................................................................

مثال ( 1 ) :  

أحل كل متباينة مما يأتي وأمثل الحل على خط الأعداد ، ثم أتحقق من صحة الحل : 

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{9}}\mathbf{ }\mathbf{<}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{4}$                                المتباينة الأصلية

$\mathbf{9}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{9}}\mathbf{ }\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{<}\mathbf{ }\mathbf{9}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{)}\mathbf{ }$                أضرب طرفي المتباينة في  9

x < - 36                                            حل المتباينة

التمثيل على خط الأعداد: 

أتحقق من صحة الحل : 

بما أن الحل     x < - 36  أختار عدد أصغر من  36 - 

مثلاً ( x = - 45 )  وأعوضه في المتباينة الأصلية

$\mathbf{ }\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{9}}\mathbf{ }\mathbf{<}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{4}$                                    المتباينة الأصلية

$\frac{\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{45}}{\mathbf{9}}\mathbf{ }\mathbf{<}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{4}$                         - 45 ب  x   أعوض عن 

- 5 < - 4                                          المتباينة صحيحة

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{5}}\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{ }\mathbf{3}$                                        المتباينة الأصلية

$\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{-}\mathbf{5}}\mathbf{ }\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{)}$                   -أضرب طرفي المتباينة ب 5 

                                                               وأغير اتجاه رمز المتباينة

 

$\mathbf{m}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{15}$                                          حل المتباينة

التمثيل على خط الأعداد: 

أتحقق من صحة الحل : 

بما أن حل المتباينة  $\mathbf{m}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{15}$ أختار عدد أقل أو يساوي 15-

مثلاً ( m = - 20 )  وأعوضه في المتباينة الأصلية 

$\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{-}\mathbf{5}}\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{ }\mathbf{3}$                           المتباينة الأصلية

$\frac{\mathbf{-}\mathbf{20}}{\mathbf{-}\mathbf{5}}\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{ }\mathbf{3}$                     - ب 20  m أعوض عن  

4 $\mathbf{\ge }$ 3                                 المتباينة صحيحة

..................................................................................................................................................................................................................................................................................

ثانياً: خاصية القسمة للمتباينات: 

1) القسمة على عدد موجب : 

إذا قسم كل من طرفي المتباينة الصحيحة على عدد موجب فإن المتباينة الناتجة تبقى صحيحة .

مثال: أعلم أن              10 > 6   : 

اقسم طرفي المتباينة على عدد موجب مثلاً  ( 2 ) فتصبح المتباينة : 

$$\begin{gathered} \frac{\mathbf{6}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{<}\mathbf{ }\frac{\mathbf{10}}{\mathbf{2}} \\ \mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{<}\mathbf{ }\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{صحيحة}\mathbf{ }\mathbf{المتباينة} \end{gathered}$$

...............................................................................................................................................................................................................................................................................

2) القسمة على عدد سالب : 

اذا قسم طرفي المتباينة الصحيحة على عدد سالب فإنه يتعين تغيير اتجاه رمز المتباينة لجعل المتباينة الناتجة صحيحة .

مثال:  أعلم أن            15-  <  12 -

أقسم طرفي المتباينة على عدد سالب مثلاً  ( 3 - ) فتصبح المتباينة : 

$$\begin{gathered} \frac{\mathbf{-}\mathbf{12}}{\mathbf{-}\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{<}\mathbf{ }\frac{\mathbf{-}\mathbf{15}}{\mathbf{-}\mathbf{3}} \\ \mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{<}\mathbf{ }\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{صحيحة}\mathbf{ }\mathbf{المتباينة} \end{gathered}$$

ألاحظ عند القسمة على عدد سالب فإنه يتعين تغيير رمز المتباينة لتصبح المتباينة الناتجة صحيحة.

...............................................................................................................................................................................................................................................................................

مثال ( 2 ) : أحل كل متباينة مما يأتي وأمثل الحل على خط الاعداد ثم أتحقق من صحة الحل: 

1)  7y  $\mathbf{\ge }$  -28                           المتباينة الأصلية

$\frac{\mathbf{7}\mathbf{y}}{\mathbf{7}}\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{ }\frac{\mathbf{-}\mathbf{28}}{\mathbf{7}}$                اقسم طرفي المتباينة على 7                 

y $\mathbf{\ge }$ -4                                     حل المتباينة

التمثيل على خط الأعداد: 

بما أن حل المتباينة        $\mathbf{y}\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{4}$       أختار عدد أكبر من أو يساوي  4 - 

مثلاً ( 1 = y ) وأعوضه في المتباينة الأصلية .

7y  $\mathbf{\ge }$ -28

7 ( 1 )  $\mathbf{\ge }$  -28

7   $\mathbf{\ge }$  --28

...............................................................................................................................................................................................................................................................................

2) - 9z > - 63                                     المتباينة الأصلية

 $\frac{\mathbf{-}\mathbf{9}\mathbf{z}}{\mathbf{-}\mathbf{9}}\mathbf{ }\mathbf{<}\mathbf{ }\frac{\mathbf{-}\mathbf{63}}{\mathbf{-}\mathbf{9}}$                    -اقسم طرفي المتباينة على 9

                                                       وأغير رمز المتباينة

z < + 7                                               حل المتباينة

التمثيل على خط الأعداد : 

أتحقق من صحة الحل : 

بما أن الحل  7 + > z    أختار عدد أصغر من 7

مثلاً ( 5 = z )  وأعوضه في المتباينة الأصلية .

- 9z  > - 63                         المتباينة الأصلية

- 9 ( 5 ) > - 63                     ب 5   z  أعوض 

- 45 > - 63                         المتباينة صحيحة

...............................................................................................................................................................................................................................................................................

مسألة حياتية : 

تملك سارة  100  JD  وترغب بشراء سجادة جديدة على أرضية غرفتها المبينة أبعادها في الشكل المجاور:

                                                                                                                                                                                                                                

اكتب متباينة وأحلها لتمثل ثمن المتر المربع الواحد من السجاد الذي يمكن لسارة أن تشتريه.

الحل: 

المعطيات: - تملك سارة   100 JD

                   - أرضية الغرفة مربعة طول ضلعها ( s = 4m )

                   - مساحة الغرفة  A = s² = 4² = 16

المطلوب: متباينة تمثل ثمن المتر المربع الواحد

المتغير :  أفرض أن   x  ثمن المتر المربع الواحد فيكون ثمن السجادة 16x

المتباينة: 

$$\begin{gathered} \mathbf{16}\mathbf{ }\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\mathbf{100} \\ \frac{\mathbf{16}\mathbf{x}}{\mathbf{16}}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\frac{\mathbf{100}}{\mathbf{16}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{16}\mathbf{ }\mathbf{على}\mathbf{ }\mathbf{المتباينة}\mathbf{ }\mathbf{طرفي}\mathbf{ }\mathbf{أقسم} \\ \mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{25}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{المتباينة}\mathbf{ }\mathbf{حل} \end{gathered}$$

إذن يمكن لسارة شراء سجادة ثمن المتر المربع الواحد منها على الأكثر  6.25 JD