حجم الكرة ومساحة سطحها

حجم الكرة ومساحة سطحها

مفاهيم أساسية :

الكرة  : هي مجموعة النقاط جميعها في الفضاء التي تبعد بعداً ثابتاً عن نقطة معلومة تسمى المركز  .

نصف قطر الكرة : هو قطعة مستقيمة تصل بين مركز الكرة وأي نقطة على الكرة . 

قطر الكرة : وتر يمر في المركز .

 

 

 

 

---

 

يمكن إستنتاج صيغة لحساب مساحة سطح كرة وذلك عن طريق قص كرة إلى أربع دوائر متطابقة طول نصف قطر كل منها r ; كما في الشكل المجاور  ، 

وبما أن مساحة الدائرة $A={\mathrm{\pi r}}^2$ ، والكرة تتشكل من أربع دوائر ، فإن مساحة سطح الكرة ستكون : $4{\mathrm{\pi r}}^2$

 

 

 

---

أتعلم :
قانون مساحة سطح الكرة  $\mathit{S}\mathbf{.}\mathit{A}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{4}\mathit{\pi }{\mathit{r}}^{\mathbf{2}}$ :  حيث

1- r نصف قطر الكرة .

2-$\mathrm{\pi }$ عدد غير نسبي قيمته التقريبية تساوي 3.14 أو $\frac{\mathbf{22}}{\mathbf{7}}$ .

---

مثال 1 : أجدُ مساحةَ سطحِ كلِّ كرة مما يأتي، وأقربُ إجابتي لأقربِ جزءٍ مِنْ عشرة :

الحل :

1- نكتب قانون مساحة سطح الكرة :  $\mathit{S}\mathbf{.}\mathit{A}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{4}\mathit{\pi }{\mathit{r}}^{\mathbf{2}}$

2-نعوض قيمة نصف القطر المعطاة بالرسم :  $\mathbf{=}\mathbf{4}\mathbf{\pi }{\mathbf{\left(}\mathbf{7}\mathbf{\right)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{196}\mathbf{\pi }$

3- باستعمال الآلة الحاسبة نعوض قيمة $\mathbf{\pi }\mathbf{ }\mathbf{\approx }\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{14}$ وعليه ستكون مساحة سطح الكرة تساوي تقريباً 615.8

---

نلاحظ أن المعطى في الشكل هو القطر ويساوي 10 ، لذلك فإن نصف القطر يساوي 5 

1- نكتب قانون مساحة سطح الكرة : $\mathit{S}\mathbf{.}\mathit{A}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{4}\mathit{\pi }{\mathit{r}}^{\mathbf{2}}$

2-نعوض قيمة نصف القطر المعطاة بالرسم : $\mathbf{=}\mathbf{4}\mathbf{\pi }{\mathbf{\left(}\mathbf{5}\mathbf{\right)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{100}\mathbf{\pi }$

3- باستعمال الآلة الحاسبة نعوض قيمة $\mathbf{\pi }\mathbf{ }\mathbf{\approx }\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{14}$ وعليه ستكون مساحة سطح الكرة تساوي تقريباً 314.2 

 

ملاحظات :

1- يمكن التعبير عن المساحة بالصيغة التي تحتوي $\mathrm{\pi }$ دون الحاجة للخطوة الأخيرة.

2- يمكن إيجاد طول القطر أو نصف القطر لدائرة  إذا علمت مساحة سطحها .

 

مثال 2 : أجدُ طولَ قُطرِ الكرةِ المجاورةِ إذا علمْتُ أنَّ مساحةَ سطحِها  $\mathbf{30}\mathbf{\pi }\mathbf{ }{\mathbf{m}}^{\mathbf{2}}$  وأقرّبُ إجابتي لأقربِ جزءٍ مِنْ عشرةٍ.

1- نكتب قانون مساحة سطح الكرة :  $\mathit{S}\mathbf{.}\mathit{A}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{4}\mathit{\pi }{\mathit{r}}^{\mathbf{2}}$

2-نعوض قيمة  مساحة سطح الكرة $\mathbf{30}\mathbf{\pi }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{4}{\mathbf{\pi r}}^{\mathbf{2}}$ 

3- بقسمة طرفي المعادلة على $\mathbf{4}\mathbf{\pi }$  : فتصبح المعادلة : ${\mathit{r}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{5}$

4-وبأخذ الجذر للطرفين لإيجاد قيمة r   فينتج إجابتين لطول نصف القطر  $\mathit{r}\mathbf{=}\mathbf{\pm }\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{7}$  

ولأنه لا يوجد طول بالسالب ، فإن الإجابة السالبة ستهمل .
5- نضرب نصف القطر ب 2 لنجد طول القطر ، وعليه فإن طول القطر سيكون 5.4m

 

---

أتعلم :
1- إذا قطعَ مستوى كرة فإنَّه يقطعُها في نقطة أو في دائرة.

2- إذا كانَ المستوى يحتوي مركزَ الكرة فعندها يُسمّى هذا القطع الدائرةُ الكُبرى.

3- ما يميز الدائرة الكبرى  أنَّ : 

أ) مركزها هو مركز الكرة نفسه  .

ب) طولُ نصفِ قُطرِها مساوٍ لطول نصف قُطرِ الكرةِ. 

ج) محيطها هو محيط الكرةِ نفسه.

د) تقسم الكرة إلى نصفين متطابقين يسمى كل منهما نصف كرة.

 

4- تحتوي الكرة عدد لا نهائي من الدوائر الكبرى . 

 

 

 

 

---

مثال 3 (من الحياة ) :

يبلغُ طولُ خطِّ استواءِ الكرةِ الأرضيةِ حوالَيْ 40070km تقريباً ، أجدُ مساحةَ سطحِ الكرةِ الأرضيةِ التقريبيةَ، مقرّبًا إجابتي لأقربِ جزءٍ مِنْ عشرةٍ.

الحل : 
بِما أنَّ خطَّ الاستواءِ يمثّلُ محيط دائرة كبرى للكرةِ الأرضيةِ ، فطوله يمثّل محيط الكرة الأرضية.

لذا سنستخدم قانون محيط الدائرة لإيجاد نصف القطر  كالتالي :
 $$\begin{gathered} \mathit{C}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathit{\pi }\mathit{r} \\ \mathbf{40070}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathit{\pi }\mathit{r} \\ \mathbf{r}\mathbf{ }\mathbf{\approx }\mathbf{6377}\mathbf{.}\mathbf{3} \end{gathered}$$
 ثم نستعمل نصف القطر لإيجاد مساحة سطح الكرة .

$$\begin{gathered} \mathit{S}\mathbf{.}\mathit{A}\mathbf{=}\mathbf{4}{\mathbf{\pi r}}^{\mathbf{2}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{4}\mathbf{\pi }{\mathbf{(}\mathbf{6377}\mathbf{.}\mathbf{3}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ } \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\approx }\mathbf{511073731}\mathbf{ } \end{gathered}$$
إذن ، مساحة سطح الكرة الأرضية $k{m}^2$ 511073731 تقريباً .

---

أتعلم :

قانون حجم الكرة    : $\mathit{V}\mathbf{=}\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{3}}{\mathbf{\pi r}}^{\mathbf{3}}$           

                                             

 

 

 

 

---

مثال 4 :   أجدُ حجمَ كلِّ كرةٍ أَوْ نصفِ كرةٍ ممّا يأتي، مقرّبًا إجابتي لأقربِ عددٍ صحيحٍ:

 
نكتب قانون حجم الكرة ثم نعوض نصف القطر 8

$$\begin{gathered} \mathit{V}\mathbf{=}\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{3}}{\mathbf{\pi r}}^{\mathbf{3}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{3}}\mathbf{\pi }{\mathbf{\left(}\mathbf{8}\mathbf{\right)}}^{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{ } \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\frac{\mathbf{2048}}{\mathbf{3}}\mathbf{\pi } \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{2145} \end{gathered}$$

إذن ، حجم الكرة  $c{m}^3$2148 تقريباً

---

نكتب قانون حجم نصف الكرة ثم نعوض نصف القطر 4 .
$$\begin{gathered} \mathit{V}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{\left(}\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{3}}{\mathbf{\pi r}}^{\mathbf{3}}\mathbf{\right)} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{(}\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{3}}\mathbf{\pi }{\mathbf{\left(}\mathbf{4}\mathbf{\right)}}^{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{)} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\frac{\mathbf{120}}{\mathbf{3}}\mathbf{\pi } \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{134} \end{gathered}$$

إذن ، حجم نصف الكرة  $\mathit{c}{\mathit{m}}^{\mathbf{3}}$ 134 تقريباً

---

أتعلم :

يمكنُ إيجادُ حجمِ المجسّمِ المركّبِ بتحديدِ الأشكالِ الهندسيةِ الّتي يتكوّنُ مِنْها والعمليةِ الحسابيةِ اللازمةِ لإيجادِ حجمِهِ.

مثل :
1-  أن نطرح (حجم المجسم الكبير - حجم المجسم الصغير )  ونستخدمها عادةً إذا فرغنا مجسم صغير من مجسم كبير.

2- أن نجمع (حجم المجسم الأول + حجم المجسم الثاني) ونستخدمها عادةً إذا كان المجسم مركباً من أكثر من مجسم .

---

مثال 5 :  المجسّمُ المجاورُ أُسطوانةٌ تحتوي نصفَ كرةٍ مفرغةٍ، أجدُ حجمَ الجزءِ المتبقي من الأُسطوانةِ دونَ نصفِ الكرةِ مقرّبًا إجابتي لأقربِ جزء مِنْ مئة . 

بالاعتماد على الملاحظة السابقة سنقوم بطرح حجم نصف الكرة من حجم الأسطوانة كالتالي :

$$\begin{gathered} \mathit{V}\mathbf{=}\mathit{V}\mathbf{1}\mathbf{-}\mathit{V}\mathbf{2}\mathbf{ } \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}{\mathbf{\pi r}}^{\mathbf{2}}\mathbf{h}\mathbf{ }\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{\left(}\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{3}}{\mathbf{\pi r}}^{\mathbf{3}}\mathbf{\right)} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{\pi }{\mathbf{\left(}\mathbf{2}\mathbf{\right)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{\left(}\mathbf{2}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{(}\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{3}}\mathbf{\pi }{\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{)}}^{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{ } \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{8}\mathbf{\pi }\mathbf{ }\mathbf{-}\frac{\mathbf{18}}{\mathbf{3}}\mathbf{\pi } \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\frac{\mathbf{8}}{\mathbf{3}}\mathrm{\pi } \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\approx }\mathbf{ }\mathbf{8}\mathbf{.}\mathbf{38} \end{gathered}$$ 
 إذن ، حجم المجسم  $\mathbf{8}\mathbf{.}\mathbf{38}\mathbf{ }\mathit{d}{\mathit{m}}^{\mathbf{3}\mathbf{ }}$ تقريباً

---