تمييز متوازي الأضلاع

تمييز متوازي الأضلاع 

شروط متوازي الأضلاع : 

• عكس نظرية الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع:

إذا كان كل ضلعين متقابلين متطابقين في الشكل الرباعي ، فإن الشكل الرباعي متوازي أضلاع.

مثال : إذا كان  $\mathit{A}\mathit{B}\mathbf{\cong }\mathit{D}\mathit{C}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{B}\mathit{C}\mathbf{\cong }\mathit{A}\mathit{D}$   ، فإن  ABCD متوازي أضلاع .

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................

• عكس نظرية الزوايا المتقابلة في متوازي الأضلاع: 

إذا كانت كل زاويتين متقابلتين متطابقتان في الشكل الرباعي ، فإن الشكل الرباعي متوازي أضلاع .

مثال : إذا كان  $\mathbf{\angle }\mathit{A}\mathbf{\cong }\mathbf{\angle }\mathit{C}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathit{B}\mathbf{\cong }\mathbf{\angle }\mathit{D}$   فإن الشكل الرباعي ABCD  متوازي أضلاع 

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................

مثال ( 1 ) : برهان نظرية : 

في الشكل المجاور ، إذا كان  $\mathit{B}\mathit{C}\mathbf{\cong }\mathit{A}\mathit{D}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{A}\mathit{B}\mathbf{\cong }\mathit{C}\mathit{D}$  فأثبت أن  ABCD متوازي أضلاع باستعمال البرهان ذي العمودين : 

الحل : 

أخطط للبرهان باستعمال الخطوات الاتية : 

1- أرسم القطر  AC ، لينتج   $\mathbf{△}\mathit{C}\mathit{D}\mathit{A}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{△}\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}$   

2- أستعمل حالة تطابق مثلثين بثلاثة أضلاع ( SSS ) ، لأثبت أن $\mathbf{△}\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathbf{\cong }\mathbf{△}\mathit{C}\mathit{D}\mathit{A}$

3- أستعمل الزوايا المتبادلة داخلياً ، لأثبت أن الاضلاع المتقابلة متوازية .

البرهان :

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................

مثال ( 2 ) : مسألة حياتية : 

يبين الشكل المجاور رافعة للمركبات الثقيلة : 

( 1 ) : هل الشكل الرباعي QRSP  متوازي أضلاع ؟ أبرر إجابتي .

الحل : 

بما أن كل ضلعين متقابلين في الشكل الرباعي QRSP  متطابقان ، فإنه متوازي أضلاع .

( 2 ) : هل الشاحنة موازية للأرض ؟ أبرر إجابتي .

الحل : 

بما أن  QRSP متوازي أضلاع ، فإن   $\mathit{Q}\mathit{R}\mathbf{ }\mathbf{\parallel }\mathbf{ }\mathit{P}\mathit{S}$  ، وبما أن  QR  يمثل المنصة التي تستقر عليها الشاحنة ، و  PS يقع على الأرض ، فإن الشاحنة موازية للأرض.

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................

شروط متوازي الأضلاع : 

• عكس نظرية قطري متوازي الأضلاع :

إذا كان قطرا شكل رباعي ينصف كل منهما الاخر ، فإن الشكل الرباعي متوازي أضلاع .

مثال : إذا كان  AC  و  BD  ينصف كل منهما الآخر، فإن  ABCD  متوازي أضلاع .

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................

• نظرية الأضلاع المتوازية والمتطابقة :

إذا توازى وتطابق ضلعان متقابلان في شكل رباعي ، فإن الشكل الرباعي متوازي أضلاع .

مثال:  إذا كان $\mathit{B}\mathit{C}\mathbf{ }\mathbf{\parallel }\mathbf{ }\mathit{A}\mathit{D}$  و  $\mathit{B}\mathit{C}\mathbf{\cong }\mathit{A}\mathit{D}$ فإن  ABCD  متوازي أضلاع .

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................

مثال ( 3 ) : 

أجد قيمة  x التي تجعل الشكل الرباعي  FCDE المجاور متوازي أضلاع : 

الحل: 

بناءً على عكس نظرية قطري متوازي الأضلاع ، فإنه إذا كان قطرا شكل رباعي  ينصف كل منهما الآخر ،

فإن الشكل الرباعي متوازي أضلاع ،

وبما أنه معطى في الشكل أن   $\mathit{C}\mathit{N}\mathbf{\cong }\mathit{E}\mathit{N}$   ، أجد قيمة  x التي تجعل  $\mathit{F}\mathit{N}\mathbf{\cong }\mathit{D}\mathit{N}$

$$\begin{gathered} \mathit{F}\mathit{N}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathit{D}\mathit{N} \\ \mathbf{5}\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{8}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{3}\mathit{x} \\ \mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{8}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{3}\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{3}\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{3}\mathit{x} \\ \mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{8}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{0} \\ \mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{8}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{8}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{0}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{8} \\ \mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{8} \\ \frac{\mathbf{2}\mathbf{x}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{8}}{\mathbf{2}} \\ \mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{4} \end{gathered}$$

عندما  x = 4   ، فإن : 

$$\begin{gathered} \mathit{F}\mathit{N}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{8}\mathbf{ } \\ \mathit{F}\mathit{N}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{12} \\ \mathit{D}\mathit{N}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{)}\mathbf{ } \\ \mathit{D}\mathit{N}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{12} \end{gathered}$$

إذن ، عندما تكون  x = 4   ، يكون الشكل الرباعي   FCDE  متوازي أضلاع .

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................

طرائق إثبات أن الشكل الرباعي متوازي أضلاع : 

يكون الشكل الرباعي متوازي أضلاع إذا حقق أياً من الشروط الآتية :

1- إذا كان كل ضلعين متقابلين فيه متوازيين       

2- إذا كان كل ضلعين متقابلين فيه متطابقين

3- إذا كانت كل زاويتين متقابلتين فيه متطابقتين 

4- إذا كان قطراه ينصف كل منهما الآخر 

5- إذا كان فيه ضلعان متقابلان متوازيان ومتطابقان

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................

مثال ( 4 ) : 

أثبت أن  $\mathit{A}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{B}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{C}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{6}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{D}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{7}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{)}$ تمثل رؤوس متوازي أضلاع : 

الحل : 

يمكن إثبات أن الأضلاع المتقابلة متوازية إذا كان لها الميل نفسه 

(1 ) أمثل الشكل الرباعي في المستوى الاحداثي 

( 2) أجد ميل كل ضلع من أضلاع الشكل الرباعي 

$$\begin{gathered} \mathit{m}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{{\mathbf{y}}_{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }{\mathbf{y}}_{\mathbf{1}}}{{\mathbf{x}}_{\mathbf{2}\mathbf{ }}\mathbf{-}\mathbf{ }{\mathbf{x}}_{\mathbf{1}}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{الميل}\mathbf{ }\mathbf{صيغة} \\ \mathit{m}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{)}}{\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{A}\mathit{B}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ميل} \\ \mathit{m}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{5}}{\mathbf{7}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{6}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{C}\mathit{D}\mathbf{ }\mathbf{ميل} \\ \mathit{m}\mathbf{ }\mathbf{=}\frac{\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{3}}{\mathbf{6}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{5}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{B}\mathit{C}\mathbf{ }\mathbf{ميل} \\ \mathit{m}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{1}}{\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{7}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{-}\mathbf{2}}{\mathbf{-}\mathbf{5}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{5}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{D}\mathit{A}\mathbf{ }\mathbf{ميل} \end{gathered}$$

بما أن الضلعين المتقابلين   AB  و  CD  لهما الميل نفسه ، إذن فهما متوازيان ، وبما أن الضلعين المتقابلين  DA  و   BS   لهما الميل نفسه ، إذن فهما متوازيان،

وبما أن الأضلاع المتقابلة متوازية ، إذن فالشكل الرباعي ABCD   متوازي أضلاع .

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................