تفسيرُ التمثيلاتِ البيانيَّةِ للعلاقاتِ

تفسيرُ التمثيلاتِ البيانيَّةِ للعلاقاتِ

Analyzing Graphs of a Relation

فكرةُ الدرسِ : تفسيرُ التمثيلاتِ البيانيّةِ للعلاقاتِ.

أولًا : كيفيّةَ قراءةِ وتفسيرِ مُنحنياتِ التحويلِ

مُنحنياتِ التحويلِ : هيَ مُنْحَنياتٌ تُستعمَلُ لتمثيلِ العلاقاتِ بينَ وَحداتِ القياسِ المختلفةِ والتحويلِ بينَها.

مثال : 

يبيّنُ مُنحنى التحويلِ المجاورُ العلاقةَ بينَ السنتيمترِ (cm) والإنشِ ( in ). أستعملُ المنحنى للإجابةِ عنْ كلٍّ ممّا يأتي :

 

 

 

 

 

 

 

 

1) أُحوِّلُ $5 in$  إلى وحدةِ السنتيمترِ.

الحل : 

ألاحظُ منَ التمثيلِ البيانيِّ أنَّ $5 in$ على المحور y تقابلُ $12.5 cm$  على المحور x

---

2) أُحوِّلُ $22.5 cm$ إلى وحدة الإنش .

الحل : 

ألاحظُ منَ التمثيلِ البيانيِّ أنَّ $22.5 cm$ على المحور x تقابل $9 in$ على المحور y.

---

3) أُبيّنُ كيفَ أستعملُ المُنحنى المجاورَ لتحويلِ $21 in$  إلى سنتيمتراتٍ.

 

 

 

 

 

 

 

الحل : 

بما أنَّ $21 in$  غير موجودة على التمثيلِ البيانيِّ، أتَّبع الخُطوات الآتية للتحويل :

الْخُطْوَةُ 1 : أجدُ كمْ سنتيمترًا في الإنشِ الواحدِ. ألاحظُ من التمثيل البيانيِّ أنَّ كلَّ $1 in$ على المحور y  يقابل $2.5 cm$ تقريبًا على المحور x الْخُطْوَةُ 2 : أضربُ $21 in$  في 2.5  $21 \times 2.5 = 52.5$ إذن :  $21 in$ تساوي تقريبًا $52.5 cm$

 

 

 

 

 

 

 

---

 

ثانيًا : منحنى المسافة والزمن 

يكونُ منَ الصعبِ في بعضِ الأحيان وصف حركة جسم خلال مدّة زمنية محدّدةٍ بالكلماتِ؛ لذلكَ تُستعملُ المُنحنياتُ لتمثيلِ تلكَ الحركةِ بوضوحٍ.

يُستعملُ مُنْحنى المسافة-الزمن لتمثيلِ المسافةِ التي قطعَها جسمٌ متحركٌ خلالَ مدّةٍ زمنيةٍ معينةٍ (بينَ نقطتينِ زمنيَّتينِ).

يبيّنُ الشكل المجاور كيف يمكن لشكل المُنحنى أن يصف سرعة الجسم، حيث تظهر المسافة على المحور الرأسيّ والزمن على المحور الأفقي. ويمكن إيجاد سرعة الجسم (S) بقسمة التغيُّر في المسافة $(y_2-y_1)$ على التغيُّر في الزمن$(x_2-x_1)$  إذن :        $\mathit{S}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{{\mathbf{y}}_{\mathbf{2}}\mathbf{-}{\mathbf{y}}_{\mathbf{1}}}{{\mathbf{x}}_{\mathbf{2}}\mathbf{-}{\mathbf{x}}_{\mathbf{1}}}$ أُلاحظ أنَّ صيغة السرعة تشبه صيغة الميل، إذن سرعة الجسم تساوي ميل مُنحنى المسافة - الزمن.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

مثال من الحياة

يُبيّنُ التمثيلُ البيانيُّ المجاورُ رحلةَ أحمدَ بسيارتِه منْ منزلِه إلى مطارِ الملكةِ علياءَ الدوليِّ ليستقبلَ أخاهُ العائدَ منَ السفرِ، حيثُ مكثَ بعضَ الوقتِ في المطارِ مُنتظرًا وصولَ أخيهِ، ثمَّ عادا معًا إلى المنزلِ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) في أيِّ ساعة غادر أحمد منزله؟

ــ  غادر أحمد منزله الساعة 9:00 عندما بدأ التمثيل البيانيّ الحركة من المستوى الأفقيِّ.

 

2) ما المسافةُ بينَ منزلِ أحمدَ ومطارِ الملكةِ علياءَ الدوليِّ؟

ــ  أصبحَ مُنحنى المسافةِ - الزمنِ بينَ الساعةِ 11:00 والساعةِ 12:00 أفقيًّا، ما يعني أنَّ المسافةَ بينَ أحمدَ ومنزلِه لا تتغيّرُ في هذهِ المُدَّةِ، إذنْ يكونُ أحمدُ عندَها قَدْ وصلَ إلى المطارِ، وهذا يدلُّ على أنَّ المطارَ يبعدُ عنْ منزلِ أحمدَ  $120 km$

 

3) كمْ أمضى أحمدُ مِنَ الوقتِ في المطارِ؟

ــ تقعُ القطعةُ الأفقيةُ منَ المُنحنى بينَ الساعةِ 11:00 والساعةِ 12:00 وطولُها يساوي الزمنَ الذي أمضاهُ أحمدُ في المطارِ. إذنْ، أمضى أحمدُ

ساعةً واحدةً في المطارِ.

 

4) أجدُ سرعةَ السيارةِ في المدّةِ الزمنيةِ: 11:00 - 9:00

لَِجِدَ سرعةَ السيارةِ في المُدّةِ الزمنيةِ 11:00 - 9:00 ؛ يتطلّبُ أنْ أجِدَ ميلَ المستقيمِ في هذهِ المُدّةِ.

صيغةُ الميلِ	$m = \frac{y_2- y_1}{x_2-x_1}$
أعوّضُ عن $(x_1 , y_1)$  بِـ ( 0 , 9) وعن $(x_2 , y_2 )$  بِـ ( 120 , 11)	$m = \frac{120-0}{ 11-9}$
بالتبسيط	$m = \frac{120}{ 2} = 60$

 

 

 

 

 

 

 

بما أنَّ ميلَ المستقيمِ هو 60 ، إذنْ سرعةُ السيارةِ في المدّةِ الزمنيّةِ 11:00 - 9:00 تساوي  $60 km /h$

---

 

5) أجدُ سرعةَ السيارةِ في المدّةِ الزمنيّةِ 14:00 - 12:00 ، ثمَّ أُبيّنُ ماذا تمثّلُ.

صيغةُ الميلِ	$m = \frac{y_2- y_1}{x_2-x_1}$
أعوّضُ عن $(x_1 , y_1)$ بـ ( 120 , 12) وأعوض عن $(x_2 , y_2 )$ بـ (0 , 14)	$m = \frac{0-120}{14-12}$
بالتبسيط	$m = \frac{-120}{2} = -60$

 

 

 

 

 

 

بما أنَّ ميلَ المستقيمِ هو 60 -؛ فإنَّ القيمةَ السالبةَ للميلِ تعني أنَّ أحمدَ بدأَ بالعودةِ إلى المنزلِ الساعةَ 12:00 بسرعةٍ ثابتةٍ مقدارُها 60 km/ h ، ووصلَ إلى منزلِه الساعةَ 14:00

 

•• أتعلَّمُ : القيمةُ السالبةُ للسرعةِ تعني أنَّ الحركةَ تكونُ باتجاهٍ تتناقصُ فيه المسافةُ.

 

 

يُظهِرُ مُنْحنى المسافةِ - الزمنِ في المثالِ السابقِ المسافةَ التي يقطعُها جسمٌ متحركٌ بينَ أوقاتٍ مختلفةٍ منْ ساعاتِ اليومِ. وتوجدُ أيضًا مُنحَنياتٌ تُظهِرُ المسافةَ التي يقطعُها الجسمُ المتحركُ بعدَ مرورِ مدّةٍ زمنيّةٍ محدّدةٍ منْ لحظةِ انطلاقِه كما هو موضَّحٌ في المثالِ الآتي:

مثال : 

يمثلُ مُنحنى المسافة - الزمن رحلة حافلة نقلت ركّابًا من مدينة إربد إلى مدينة المفرق ؛ حيث توقف سائق الحافلة في الموقف مدّةً من الزمن لتحميل الركّاب، ثمَّ عاد إلى مدينة إربد.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) ما المسافةُ بينَ إربدَ والمفرقِ؟ 

ــ أصبحَ مُنحنى المسافةِ - الزمنِ بعدَ ما يقاربُ 75 دقيقةً أفقيًّا؛ ما يعني أنَّ المسافةَ بينَ إربدَ والمفرقِ لا تتغيرُ، إذنْ تكونُ الحافلةُ عندَها قد وصلتْ

إلى مدينةِ المفرقِ وتوقّفتْ بعضَ الوقتِ، وهذا يدلُّ على أنَّ مدينةَ إربدَ تبعدُ عنْ مدينةِ المفرقِ $50 km$.

 

2) ما المدّةُ الزمنيةُ التي انتظرَها سائقُ الحافلةِ في الموقفِ لتحميلِ الركابِ؟ 

ــ بما أن المُنحنى أفقيٌّ بينَ 75 دقيقةً و 105 دقائقَ منَ انطلاقِ الحافلةِ منْ إربدَ إلى المفرقِ ، فهذا يعني أنَّ الحافلةَ توقَّفتْ 30 دقيقةً في المفرقِ لتحميلِ الركابِ.

 

3) ما زمنُ الرحلةِ كلِّها ؟

ــ أُلاحظُ منَ المُنحنى أنَّ زمنَ الرحلةِ كلِّها 195 دقيقةً تقريبًا ؛ أيْ 3 ساعاتٍ وربعٌ.

 

4) ماذا يمكنُنا القولُ عمّا يتعلّقُ برحلةِ الحافلةِ منَ النقطةِ E إلى النقطةِ F ؟

ــ بدأتِ الحافلةُ بالعودةِ منْ مدينةِ المفرقِ إلى مدينةِ إربدَ بينَ هاتينِ النقطتينِ، واستغرقتْ رحلةُ العودةِ 90 دقيقةً.بدأتِ الحافلةُ بالعودةِ منْ مدينةِ المفرقِ إلى مدينةِ إربدَ بينَ هاتينِ النقطتينِ، واستغرقتْ رحلةُ العودةِ 90 دقيقةً.

5) أحسُبُ سرعةَ الحافلةِ في المدّةِ منْ C إلى D.

ــ لَِأجِدَ سرعةَ الحافلةِ في المدّةِ منْ C إلى D ؛يتطلبُ أنْ أجِدَ مَيلَ المستقيمِ في هذهِ المدةِ : 

صيغةُ الميلِ	$m = \frac{y_2- y_1}{x_2-x_1}$
أعوّضُ عن $(x_1 , y_1)$ بـ ( 35 , 45)  وأعوض عن $(x_2 , y_2 )$ بـ ( 50 , 75)	$m = \frac{50-35}{75-45}$
بالتبسيط	$m = \frac{15 km}{30 min}$

 

 

 

 

 

 

 

 

وبما أنَّ الحافلةَ قطعَتْ $15 km$  في  $30 min$ ، إذن يمكنُني إيجادُ سرعةِ الحافلةِ في الساعةِ الواحدةِ.

سرعةُ السيّارةِ بوحدةِ $km l min$	$\frac{15 km}{30 min}$
أضربُ في 2 لتحويلِ سرعةِ الحافلةِ بوَحدةِ الكيلومترٍ لكلِّ ساعةٍ	$\frac{15 \times 2km}{30 \times 2min}$
بالتبسيط	$\frac{30 km}{60 min}$
كل $60 min$ تساوي ساعة	$\frac{30 km}{1 h}$

 

 

 

 

 

 

 

إذنْ، سرعةُ الحافلةِ منْ C إلى D تساوي $30 km l h$

---

تعلَّمْتُ في الأمثلةِ السابقةِ قراءةَ وتفسيرَ التمثيلِ البيانيِّ لمُنحنًى واحدٍ، ولكنْ تُظهِرُ بعضُ التمثيلاتِ أكثرَ منْ مُنحنًى في التمثيلِ البيانيِّ نفسه 

مثل مُنحنى المسافةِ - الزمنِ لأكثرَ منْ شخصٍ ، وعندئذٍ نكونُ في حاجةٍ إلى المقارنةِ بينَ المُنحنَيَينِ.

مثال : 

يبيّنُ التمثيلُ البيانيُّ المجاورُ سباقًا بينَ روانَ وهالةَ، حيثُ ركَضَتا إلى نهايةِ الطريقِ المُحاذي لمنزلهِما، وأخذَتْ كلٌّ منهُما استراحةً قصيرةً، ثمَّ عادَتا ركضًا إلى نقطةِ البدايةِ، وفي طريقِ العودةِ الْتَوى كاحلُ روانَ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) أيُّهُما أنهتِ السباقَ بوقتٍ أقصرَ: روانُ أمْ هالةُ؟ ولماذا؟

ــ أنهتْ هالةُ السباقَ أوّلًا ، حيثُ يظهرُ منَ التمثيلِ البيانيِّ أنَّ مُنحنى هالةَ عادَ إلى المحورِ x قبلَ مُنحنى روانَ ، حيثُ أنهتْ هالةُ السباقَ في 75 ثانيةً تقريبًا، في حينِ أنهتْ روانُ السباقَ في 90 ثانيةً.

 

2) ما مقدارُ الوقتِ الذي استراحتْ فيهِ هالةُ؟

ــ ألاحظُ أنَّ كلَّ خطوةٍ أفقيّةٍ في المستوى الإحداثيِّ تمثلُ ثانيتينِ؛ لذا استراحتْ هالةُ مدةَ 12 ثانيةً كما يظهرُ في الشكلِ المجاورِ.

 

 

 

 

 

3) بعدَ كم ثانيةً من بدءِ السباقِ التوى كاحلُ روانَ؟

ــ التوى كاحلُ روانَ بعدَ 48 ثانيةً، وذلكَ لأنَّ سرعتَها قلَّتْ فجأةً عندَ الثانيةِ 48 ، ويظهرُ ذلكَ في التمثيلِ البيانيِّ، حيثُ قلَّ مَيلُ المُنحنى بعدَ الثانيةِ 48 .

 

4) ماذا حدثَ بعدَ 68 ثانيةً منْ بدءِ السباقِ؟

ــ ألاحظُ أنَّ المُنحَنَيينِ تقاطَعا في الثانيةِ 68 ، وهذا يدلُّ على أنَّ هالةَ وروانَ كانتا على البعدِ نفسِه منْ نقطةِ البدايةِ/ النهايةِ في تلكَ اللحظةِ.