تطبيقات القيم القصوى

تعلمت سابقاً إيجاد القيم القصوى المطلقة لاقتران محدد باستخدام التفاضل،

و تٌعدّ تطبيقات هذا الموضوع من أهم موضوعات التفاضل في الحياة العملية.
و يمكنك اتباع الاستراتيجية الآتية في حل مسائل القيم القصوى:

1. أفهم المسألة: عن طريق قراءتها جيداً و تحديد المعطيات و المطلوب

2. أرسم مخططاً: أرسم مخططاً يمثّل المسألة، موضحاً عليه معلومات المسألة،

    و مستخدماً رموزاً مناسبة للكمية المراد إيجاد قيمتها القصوى، و للكميات الأخرى،

    و كتابة الاقتران الذي يمثل الكمية المراد ايجاد قيمتها القصوى، و بدلالة متغير واحد.

3. أحدد مجال الاقتران: أحدد مجال الاقتران (إن أمكن) لمعرفة منطقية و صحة الحل.

4. أجد قيم الاقتران الحرجة و قيمتيه عند طرفي الفترة.

5. أجد القيمة القصوى المطلوبة باستخدام اختبار المشتقة الأولى او اختبار المشتقة الثانية.

     و من المهم في مسائل القيم القصوى، تحديد الاقتران المراد ايجاد قيمته العظمى او الصغرى

     بدلالة متغير واحد فقط، و ذلك باستخدام معلومات المسألة، و كذلك تحديد مجاله ( إن أمكن).

     * فإذا كان المطلوب إيجاد أكبر حجم ممكن،

        يكون الاقتران الذي يمثل الحجم (V) . هو الاقتران المطلوب قيمته العظمى المطلقة.

     * وإذا كان المطلوب أقل بعد ممكن بين شخصين،

        فيكون الاقتران يمثل المسافة (d) هو الاقتران المطلوب إيجاد قيمته الصغرى المطلقة، و هكذا.

       ولتوضيح خطوات الحل، دعنا ندرس هذه الأمثلة:

مثال 1:

صندوق على شكل متوازي مستطيلات قاعدته مربعة الشكل،

ومجموع ابعاده 30cm، أجد أبعاد الصندوق ليكون حجمه اكبر ما يمكن

الخطوة 1: أرسم مخططاً

                  افرض أن طول ضلع القاعدة المربعة x، و ارتفاع الصندوق y،

                  ويكون مجموع أبعاد الصندوق 30cm.

x + x + y = 30

y = 30 - 2x

الخطوة 2: المطلوب:ايجاد ابعاد الصندوق ليكون حجمه اكبر ما يمكن

                ( أي: القيمة العظمى المطلقة لحجم الصندوق)

نكتب الاقتران الذي يمثل حجم الصندوق بدلالة متغير واحد.

$$\begin{gathered} v = L.w.h \\ L = w = x \\ h = y \\ v = x^{2}y \\ v = x^2.(30 - 2x) but y = 30 -2x \\ v\left(x\right) = 30x^2-2x^3 \\ Range : 0 \le x\le 15 and y\ge 0 \\ 30 - 2x \ge 0 \\ x\ge 15 \end{gathered}$$             

الخطوة 3: إيجاد القيم الحرجة للاقتران، ثم تحديد القيمة العظمى المطلقة

             $$\begin{gathered} v^{\text{'}}\left(x\right) = 60x - 6x^2 \\ 0 = 6x(10-x) \\ x = 0, x=10 \end{gathered}$$               

قيم x الحرجة في الفترة(0,15) هي x = 10

v(0) = 0 , x=0

v(15) = 0 , x=15

 القيمة العظمى المطلقة         v(10) = 1000 , x=10 

إذن: أبعاد الصندوق ذي أكبر حجم $1000c{m}^3$ هي:

x = 10cm , y = 10cm

---

مثال2: انطلق القارب A من النقطة Q في البحر غرباً نحو النقطة P .والتي تبعد 20km عن Q

           وسرعة 2km/min، وفي اللحظة نفسها انطلق القارب B من النقطةP في مسار مستقيم

            بزاوية ${60}^{\circ }$ شمال الشرق بسرعة 3km/min. بعد كم دقيقة من انطلاق القاربين

            تكون المسافة بينهما أقل ما يمكن، علماً بأن القاربين سارا مدة 10min.

الخطوة 1: أرسم مخططاً 

              يمكن رسم المخطط المجاور الذي يمثل المسألة بعد مرور t من الدقائق، بعد الانطلاق يكون: 

QA = 2t km

PB = 3t km

المطلوب: القيمة الصغرى المطلقة للمسافة s بين القاربين A و B

الخطوة 2: الاقتران الذي يمثل المسافة s هو: 

$$\begin{gathered} s = \sqrt{P{A}^2+P{B}^2-2\left(PA\right)\left(PB\right) cos\left({60}^{\circ }\right)} \\ s\left(t\right) = \sqrt{{(20 - 2t)}^2 + {\left(3t\right)}^2- 2(20-2t)\left(3t\right)\left(\frac{1}{2}\right)} \\ s\left(t\right) = \sqrt{400 -80t + 4t^2+9t^2-60t +6t^2} \\ s\left(t\right) =\sqrt{19t^2 - 140t + 400} \end{gathered}$$           

المجال: $0\le t\le 10$

الخطوة 3:

             $$\begin{gathered} s^{\text{'}}\left(t\right) = \frac{38t - 140}{2\sqrt{19t^2-140t + 400}} \\ 0 = 38t - 140 \\ t = \frac{140}{38} = \frac{70}{19} = 3.7min \end{gathered}$$

نقارن:

s(0) = 20km , t=0min

s(10) = 30km, t=10min

s($\frac{70}{19}$) = 11.9 km

فتكون القيمة الصغرى المطلقة للمسافة هي 11.9km تقريباً بعد مرور min $\frac{70}{19}$ من الانطلاق.

---

و يمكن استخدام تطبيقات القيم القصوى في ايجاد اكبر ربح ممكن

او اكبر ايراد ممكن او اقل تكلفة ممكنة في المسائل الاقتصادية حيث أن:

p(x) = R(x) - C(x)

حيث: 

P(x): هو اقتران الربح عند بيع x من القطع.

R(x): هو اقتران الايراد عند بيع x من القطع.

C(x): هو اقتران التكلفة عند انتاج x من القطع.

مثال 3:

يمثل الاقتران $z = 300 - 0.4x$ سعر الشاشة بالدينار الذي حددته الشركة عند بيع x من الشاشات،

ويمثل الاقتران $C\left(x\right) = 6000 + 0.2x^2$تكلفة انتاج x شاشة. 

ما عدد الشاشات اللازم بيعها لتحقيق اكبر ربح؟

الخطوة 1: نجد اقتران الربح و الذي نريده أن يكون قيمة عظمى مطلقة،

                  نفرض أن x يمثل عدد الشاشات المبيعة.

                   اقتران الايراد هو: سعر الشاشة x عددها:

$$\begin{gathered} R\mathit{\left(}x\mathit{\right)}\mathit{ }\mathit{=}\mathit{ }z\mathit{.}x \\ R\mathit{\left(}x\mathit{\right)}\mathit{ }\mathit{=}\mathit{ }\mathit{(}\mathit{300}\mathit{-}\mathit{0}\mathit{.}\mathit{4}x\mathit{)}x \\ R\mathit{\left(}x\mathit{\right)}\mathit{ }\mathit{=}\mathit{ }\mathit{300}x\mathit{ }\mathit{-}\mathit{ }\mathit{0}\mathit{.}\mathit{4}{x}^{\mathit{2}} \\ C\mathit{\left(}x\mathit{\right)}\mathit{ }\mathit{=}\mathit{ }\mathit{6000}\mathit{ }\mathit{+}\mathit{ }\mathit{0}\mathit{.}\mathit{2}{x}^{\mathit{2}}\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ } \\ P\mathit{\left(}x\mathit{\right)}\mathit{ }\mathit{=}\mathit{ }R\mathit{\left(}x\mathit{\right)}\mathit{ }\mathit{-}\mathit{ }C\mathit{\left(}x\mathit{\right)}\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ } \\ P\mathit{\left(}x\mathit{\right)}\mathit{ }\mathit{=}\mathit{ }\mathit{(}\mathit{300}x\mathit{-}\mathit{0}\mathit{.}\mathit{4}{x}^{\mathit{2}}\mathit{)}\mathit{-}\mathit{(}\mathit{6000}\mathit{ }\mathit{+}\mathit{ }\mathit{0}\mathit{.}\mathit{2}{x}^{\mathit{2}}\mathit{)} \\ P\mathit{\left(}x\mathit{\right)}\mathit{ }\mathit{=}\mathit{ }\mathit{-}\mathit{0}\mathit{.}\mathit{6}{x}^{\mathit{2}}\mathit{ }\mathit{+}\mathit{ }\mathit{300}x\mathit{ }\mathit{-}\mathit{6000}\mathit{ }\mathit{,}\mathit{ }x\mathit{\ge }\mathit{0} \end{gathered}$$          

الخطوة 2: 

                 $$\begin{gathered} P^{\text{'}}\left(x\right) = -1.2x + 300 \\ 0 = -1.2x + 300 \\ x = \frac{300}{1.2} \Rightarrow x =250 \end{gathered}$$            

نستخدم اختبار المشتقة الثانية لتحديد نوع القيمة القصوى عند x = 250

$P^{\text{'}\text{'}}\left(x\right) = -1.2 < 0$

إذن عند x = 750، اقتران الربح يكون له قيمة عظمى مطلقة،

إذن تحقق الشركة اكبر ربح ممكن عند بيع 250 شاشة