الوسيط والمنوال والمدى

مفاهيم أساسية : 

يمكنُ وصفُ مركزِ البياناتِ بِاستعمالِ الوسيطِ : وَهُوَ العددُ الأوسطُ في البياناتِ المرتَّبةِ تصاعديًّا أَوْ تنازليًّا عندَما يكونُ عددُها فرديًّا، أَوْ هُوَ الوسطُ الحسابيُّ لِلعددَينِ الأوسطَينِ عندَما يكونُ عددُ البياناتِ زوجيًّا. 

عددُ البياناتِ فرديٌّ 1, 3, 3, 6, 7, 8, 9 الوسيطُ يساوي 6

عددُ البياناتِ زوجيٌّ 2, 2, 3, 5, 9, 11, 12, 15  الوسيطُ هُوَ $\frac{\mathbf{5}\mathbf{+}\mathbf{9}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{7}$

 يمكنُ أيضًا وصفُ مركزِ البياناتِ بِاستعمالِ المنوالِ :وَهُوَ القيمةُ الأكثرُ تَكرارًا في البياناتِ

مثال 1: منَ الحياةِ: الرفقُ بِالحيوانِ : يبيّنُ الجدولُ المجاورُ عددَ الحيواناتِ المريضةِ الّتي عالجَتْها جمعيةٌ لِرعايةِ الحيواناتِ في 8 أشهرٍ. أَجِدُ الوسيطَ وَالمنوالَ لِهذِهِ البياناتِ.

عددُ الحيواناتِ المريضةِ
38	50	44	29
94	56	38	47

لِحسابِ الوسيطِ أتّبعُ الخُطواتِ الآتيةَ:

الْخُطْوَةُ 1: أرتّبُ البياناتِ تصاعديًّا.

29, 38, 38, 44, 47, 50, 56, 94

الْخُطْوَةُ 2 :أُحدّدُ موقعَ الوسيطِ.

بِما أنَّ عددَ البياناتِ زوجيٌّ فَإنَّ الوسيطَ يقعُ بينَ العددَينِ الأوسطَينِ. أُحدّدُ العددَينِ الأوسطَينِ، ثمّ أحسب الوسطَ الحسابيَّ لَهُما.

29, 38, 38, 44, 47, 50, 56, 94

$\frac{44+47}{2}=45.5$

إذنْ، الوسيطُ يساوي 45.5

لِإيجادِ المِنوالِ، أُحدّدُ القيمةَ الأكثرَ تَكرارًا وَهِيَ 38 . إذنْ، المِنوالُ يساوي 38

 

معلومٌ أنَّ الوسطَ الحسابيَّ وَالوسيطَ وَالمِنوالَ مقاييسُ نزعةٍ مركزيةٍ تصفُ مركزَ البياناتِ بِطرائقَ مختلفةٍ، 

إلّا أَنَّها لا تقدّمُ أيَّ معلومةٍ حولَ تشتّتِ البياناتِ وَتباعُدِها. ولقياسِ مقدارِ تشتُّتِ البياناتِ وَتباعُدِها نستعملُ المَدى : وَهُوَ يساوي الفرقَ بينَ أكبرِ قِيَمِ البياناتِ وَأصغرِها. وَتدلُّ القيمةُ الكبيرةُ لِلمَدى على أنَّ البياناتِ متباعدةٌ، أمّا القيمةُ الصغيرةُ لَهُ فَتدلُّ على أنَّ البياناتِ قريبةٌ مِنْ بعضِها بعضًا.

مثال 2: منَ الحياةِ: يبيّنُ الجدولُ المجاورُ كُتلَ الأطفالِ الّذينَ وُلدوا في أحدِ المستشفياتِ يومَيِ الثلاثاءِ وَالأربعاءِ بِالكيلوغرامِ. أَجِدُ مدى كُتلِ المواليدِ في كلِّ يومٍ ، ثمَّ أحددُ اليومَ الّذي كانَتْ فيهِ كُتلُ المواليدِ أكثرَ تجانسًا.

الثلاثاءُ	الأربعاءُ
4.6       3.8        2.8    3.9       3.5        3.3    2.9       4.1	4.8       3.8         2.7     4.2       1.9          3.1     3.1        3.9

4.6 – 2.9 = الثلاثاءُ: أكبرُ قِيَمِ البياناتِ هِيَ 4.6 ، وَأصغرُ القِيَمِ هِيَ 2.9 ، إذنْ، المدى هُوَ: 1.7

4.8 – 1.9 = الأربعاءُ: أكبرُ قِيَمِ البياناتِ هِيَ 4.8 ، وَأصغرُ القِيَمِ هِيَ 1.9 ، إذنْ، المدى هُوَ: 2.9

إذنْ، كُتلُ الأطفالِ الّذين وُلدوا يومَ الثلاثاءِ أكثرُ تجانسًا؛ لأنَّ قيمةَ المدى لِكُتلِهِمْ أقلُّ.

 

 في بعضِ الأحيانِ يكونُ استخدامُ أحدِ المقاييسِ مناسبًا أكثرَ مِنِ استخدامِ المقاييسِ الأُخرى، وَذلكَ بِحسبِ نوعِ البياناتِ (عدديةً أَوْ غيرَ عدديةٍ) أَوْ بِحسبِ تباعُدِها وَاحتوائِها عَلى قِيَمٍ متطرِّفةٍ.

مثال 3:أحدّدُ ما إذا كانَ يجبُ استعمالُ الوسطِ الحسابيِّ أَوِ الوسيطِ أَوِ المِنوالِ أوِ المدى في كلٍّ مِنَ المواقفِ الآتيةِ:

1) تحديدُ لونِ الأفاعي السامةِ الأكثرِ شيوعًا:

ألوانُ الأفاعي بياناتٌ غيرُ عدديةٍ، لِذلكَ لا يمكنُ وصفُها بِاستعمالِ الوسطِ الحسابيِّ أَوِ الوسيطِ أَوِ المَدى. إذنْ، المقياسُ الوحيدُ الّذي يمكنُ استعمالُهُ لِوصفِ هذِهِ البياناتِ هُوَ المِنوالُ. مِنوالُ هذِهِ البياناتِ هُوَ اللونُ الأخضرُ؛ لِأنَّهُ الأكثرُ تَكرارًا.

 

2) تحديدُ الرياضيِّ الّذي رَمياتُهُ أكثرُ تجانسًا في لعبةِ رميِ الرُّمحِ:

الرّمياتُ القريبةُ مِنْ بعضِها بعضًا هِيَ الأكثرُ تجانسًا. أستعملُ المَدى لِأحدّدَ مقدارَ تباعُدِ الرّمياتِ.

 

3) وصفُ مركزِ القِيَمِ في الشكلِ الآتي وَالّتي تمثّلُ رواتبَ عشرةِ موظَّفينَ، أحدُهُمْ مُديرٌ:

تحتوي البياناتُ قيمةً متطرِّفةً إلى أقصى اليمينِ، وَيبدو أنَّها راتبُ المديرِ. إذنْ، استعمالُ الوسيطِ أنسبُ في هذِهِ الحالةِ مِنِ استعمالِ الوسطِ الحسابيِّ؛ لِأنَّهُ لا يتأثرُ بِالقِيَمِ المتطرِّفةِ.