الوزن وقانون الجذب العام

الدرس الاول: الوزن وقانون الجذب العام (الكوني)

الجزء الاول: الوزن والكتلة

سنفرق بين الوزن والكتلة من خلال الجدول التالي:

	الوزن	الكتلة
المفهوم	قوة جذب جسم موجود في مجال جسم آخر، فلك وزن على الارض ووزن على القمر ووزن على المشتري...	مقدار المادة الموجودة في جسم وهي مقياسا لممانعة(مقاومة) الجسم للحركة
الرمز	${}_{\mathbf{g}}\mathit{F}$  وزن الجسم على الارض وهي اختصار (gravitational Force)، وزن الجسم على الارض نرمز له بالرمز ${}_{\mathbf{g}}\mathit{F}$، وزن الجسم على القمر (Moon) ${}_{\mathbf{M}\mathbf{g}}\mathit{F}$، على المشتري (Jupiter)  ${}_{\mathbf{J}\mathbf{g}}\mathit{F}$وهكذا...	m  من mass  وتعني الكتلة
وحدة القياس	نيوتن newton  ورمزها N	الكيلو غرام kilogram ورمزها kg
نوع الكمية الفيزيائية	كمية متجهة (نعبر عنها بمقدار واتجاه) ويكون اتجاهها باتجاه مركز الجسم الجاذب	كمية قياسية( فقط نعبر عنها بمقدار)
ثبات الكمية	يتغير وزن الجسم حسب ؛ بعده عن مركز الجسم الجاذب ، وكتلة الجسم الجاذب.	ثابته لا تتغير طالما الجسم يسير بسرعة اقل بكثير من سرعة الضوء

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

العلاقة بين كتلة الجسم ووزنه:

لو كان الجسم على الارض، وزنه على الارض يعطى بالعلاقة :

$g\chi m={}_{\mathbf{g}}\mathit{F}$

حيث

$g$   هو تسارع الجاذبية الارضية وقيمته حوالي  ${}^{2}s/m10$ 

لو كان الجسم نفسه على القمر فيكون وزنه على القمر

 

${}_{M}g \chi m={}_{\mathbf{M}\mathbf{g}}\mathit{F}$

حيث ${}_{M}g$ هي تسارع الجاذبية على القمر ويساوي تقريبا ${}^{2}s/m 6.1$

فلو كانت كتلتك

60 kg على الارض، فكتلتك على القمر ايضا

60 kg  لأن الكتلة ثابتة طالما انها اقل بكثير من سرعة الضوء.

وزنك على الارض تقريبا:

$,N600= 10 \times 60=g \chi m={}_{\mathbf{g}}\mathit{F}$

باتجاه مركز الارض

أما وزنك على القمر تقريبا:

$N 96= 6.1\times 60={}_{M}g\times m={}_{\mathbf{M}\mathbf{g}}\mathit{F}$

 

طالما ان الكتلة ثابته والنسبة بين تسارع الجاذبية الارضية الى تسارع الجاذبية على القمر هو تقريبا:

$6=\frac{8.9}{6.1}=\frac{g}{{}_{M}g}$

فنستنتج أن: 

وزن الجسم على القمر يساوي تقريبا سدس وزنه على الارض

سنراجع معا بعض الامور لأتأكد من فهمك لها:

-

$g$ : تسارع السقوط الحر للارض (تسارع الجاذبية الارضية)=  ${}^{2}s/ m8.9$ ونقربه الى  ${}^{2}s/m10$، وحرف g من كلمة gravity وتعني الجاذبية.

- ${}_{M}g$ تسارع السقوط الحر على سطح القمر وحرف M  من كلمة Moon  وتعني القمر

-  ${}_{\mathbf{g}}\mathit{F}$ تعني قوة الجذب و حرف F من  Force  بمعنى قوة.

- كتلة الجسم ثابته في اي مكان طالما سرعته اقل من سرعة الضوء حيث انه اذا كانت سرعة الجسم كبيرة جدا فستزيد كتلة الجسم.

- وزن الجسم على اي جرم سماوي (كوكب او قمر..) مرتبطة بتسارع السقوط الحر لذلك الجرم.

- لا ننس ان الكتلة تقاس بالكيلوغرام في النظام الدولي للوحدات والوزن بالنيوتن ، فلو كانت الكتلة بالغرام نحولها بالقسمة على

1000 ليكون الناتج بالكيلو غرام.

 

هناك موازين نابضة تم تدريجها بحيث يكون هناك تدريج للكتلة وتدريج للوزن على الارض ، واذا قارنت الكميتين ستجد ان الوزن هو الكتلة مضروب ب

9.8 وهذه القيمة هي تسارع السقوط الحر للارض.

مثال: حبة تفاح كتلتها

$g 150$  احسب وزنها على سطح :

• الارض، حيث         ${}^{2}s/m10=g$.
• القمر، حيث ${}^{2}s/m 6.1={}_{M}g$.

 

الحل:

قبل ان نبدأ بايجاد الوزن نلاحظ ان الكتلة بوحدة $g$  سنحولها الى kg وذلك بضربها بمعامل التحويل $\frac{gk}{1000}$  لتصبح كالتالي

 

$gk 15.0=gk\frac{150}{1000}=\frac{gk}{1000} \times g150 =m$

 

وزن حبة التفاحة على الارض:

 

$N 5.1=10\times 15.0=g\times m={}_{\mathbf{g}}\mathit{F}$

باتجاه مركز الارض

وزن حبة التفاحة على القمر:

 

$,N 24.0 =6.1\times 15.0= {}_{M}g \times m={}_{\mathbf{M}\mathbf{g}}\mathit{F}$

باتجاه مركز القمر

سأتأكد من الحل بقسمة وزن حبة التفاح على الارض على وزنها على القمر:

 

$6=\frac{5.1}{24.0}$

كما هو متوقع ، حيث ان وزن الجسم على الارض 6 اضعاف وزنه على القمر تقريبا.

 

مثال 2: في المثال السابق احسب وزن التفاحة على سطح كل من :

• المريخ  Mars، حيث: ${}^{2}s/m7.3={}_{sraM}g$
• المشتري Jupiter، حيث${}^{2}s/m8.24={}_{retipuJ}g$

الحل

كتلة التفاحة لا تتغير ،

m= 0.15 kg

• وزن التفاحة على المريخ :

 

$N 56.0=7.3\times 15.0= {}_{sraM}g\times m={}_{\mathbf{s}\mathbf{r}\mathbf{a}\mathbf{M}\mathbf{g}}\mathit{F}$

باتجاه مركز المريخ

-وزن التفاحة على المشتري

 

$N72.3=8.24\times 15.0= {}_{retipuJ}g\times m={}_{\mathbf{r}\mathbf{e}\mathbf{t}\mathbf{i}\mathbf{p}\mathbf{u}\mathbf{J}\mathbf{g}}\mathit{F}$

باتجاه مركز المشتري

 

لاحظ ان وزن التفاحة اكبر على سطح المشتري، فلو قارنا حركتنا على الارض وعلى المشتري ستكون على المشتري اصعب.

الجزء الثاني: قانون الجذب العام لنيوتن

ماذا نعني بقولنا ان قوة الجاذبية الارضية هي قوة مجال؟

معنى ذلك ان الارض تجذب اي جسم موجود في مجالها واذا خرج عن مجالها فلا تجذبه.

ما المقصود بمجال الجاذبية الارضية؟

المنطقة المحيطة بالارض والتي تظهر فيها آثار قوة جذب الارض للأجسام وتكون في اتجاه مركز الارض دائما.

هل يوجد فقط للارض مجال جذب؟

لا، فكل الاجسام يوجد لها مجال جذب فالقمر يجذب الاجسام الموجودة في مجاله والكواكب وحتى الحائط الذي امامك يجذبك بقوة جذب.

توصل نيوتن الى ان قوة الجذب لا يقتصر وجودها على الارض ، بل توجد بين جميع الاجسام في الكون وعبر عن ذلك بقانون يسمى قانون الجذب العام (الكوني)

$\frac{{}_{2}m{}_{1}mG}{{}^{2}r}=\mathit{F}$

        ملاحظات على قانون الجذب العام لنيوتن :

 1- نلاحظ من العلاقة ان هناك قوة جذب بين  أي  كتلتين ${}_{2}m$  و${}_{1}m$  الكون  تسمى  قوة  الجذب الكتلي وسببها كتلة الاجسام .

  2- تتناسب هذه القوة طرديا مع حاصل ضرب  الكتلتين  ${}_{1}m$,${}_{2}m$  وعكسياً مع مربع  البعد بين مركزيهما . 

   3- الثابت ( G ) يسمى ثابت الجذب العام  الكوني  ($G = 6.67\times {10}^{-11} N.m^2/k{g}^2$ )     

   امثلة:

           مع بقاء البعد بين الكتلتين ثابت:

          إذا اصبحت الكتلة الاولى 2${}_{1}m$ والكتلة الثانية بقيت كما هي ، تصبح قوة الجذب 2F

           إذا اصبحت الكتلة الاولى 2${}_{1}m$  والكتلة الثانية 2${}_{2}m$ ، تصبح قوة الجذب 4F

          إذا اصبحت الكتلة الاولى 3${}_{1}m$  والكتلة الثانية  2${}_{2}m$ ، ستصبح قوة الجذب 6F وهكذا..

  ذكرنا أن هذه القوة تتناسب قوة الجذب عكسيا مع مربع المسافة بين مركزي الجسمين ،

 التناسب عكسي لأن مربع المسافة في المقام ، ايضا يجب ان لا تنسى ان التناسب مع مربع المسافة وليس مع المسافة،

 وأخيرا ان المسافة  ( r  )هي بين مراكز الجسمين.

   lمثال: مع بقاء كتل الاجسام ثابته

لو زادت المسافة الى الضعفين ( اي زادت مرتين ) ، قلنا ان التناسب عكسي فبزيادة المسافة ستقل القوة وقلنا ان

التناسب عكسي مع ${}^{2}r$ اي انه من r  الى 2r ستصبح 4${}^{2}r$، وبذا ستقل القوة الى ربع (1/4)  قيمتها الاصلية.

زادت r)  ) ثلاثة اضعاف ، ستصبح 9${}^{2}r$ في القانون   وتقل القوة الى ($\frac{1}{9}$)  قيمتها الاصلية.

 

   4-  ان قوة الجذب  من  أضعف القوى  الأساسية  وهي قوة متبادلة، أي فعل ورد فعل ، وكلاهما متساوٍ في المقدار ومتعاكس في الاتجاه حسب قانون نيوتن الثالث.

       أي ان القوة التي تؤثر بها الكتلة الأولى على الثانية تساوي في المقدار القوة التي تؤثر بها الكتلة الثانية على الأولى ولكن باتجاه معاكس.

          (${\stackrel{\rightharpoonup }{F}}_{12} = -{\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{F}}_{21}$    ) .    لاحظ الشكل التالي: 

                                                                                                                            قانون الجذب العام

  5- اتجاه قوة الجذب يكون على الخط الواصل بين الكتلتين.

سؤال: هل أنت تجذب الارض ام الارض تجذبك؟

من قانون نيوتن الثالث فإن لكل فعل رد فعل مساوٍ له في المقدار ومعاكس له في الاتجاه.

اي انك تجذب الارض بنفس مقدار جذب الارض لك ولكن باتجاه معاكس ، ولكن لأن كتلة الارض اكبر بكثير من كتلتك يظهر اثر جذبها ولا تلاحظ جذبك لها.

-لدينا قمر صناعي Satellite   يدور في مدار حول الارض Earth

سنرمز للقمر الصناعي بالرمز S  وللارض بالرمز E

- عندما نكتب

${}_{\mathbf{S}\mathbf{E}}\mathit{F}$ فتعني انها قوة الجذب  لأرض ( E )  للقمر الصناعي (s)

وكذلك ${}_{\mathbf{E}\mathbf{S}}\mathit{F}$   اي قوة  جذب  القمر  (s )  للأرض (E ).

• كلا القوتين متساويتين حسب قانون نيوتن الثالث ولكنهما متعاكستان بالاتجاه كما هو واضح في الشكل.
• القمر الصناعي موجود في مدار حول الارض على ارتفاعات محددة بدقة كي لا يفلت الى الفضاء.

 

مثال:  أحسب قوة الجذب بينك وبين قطة كتلتها 5kg اذا كانت المسافة بينك وبين القطة 20cm ؟

الحل :

نفترض كتلتك 60kg ، ويجب ان نحول المسافة الى وحدة m بالقسمة على 100 ، تصبح المسافة 0.2m.

بتطبيق قانون الجذب العام (الكوني)

$N{}^{7-}10\times 5=\frac{5\times 60\times {}^{11-}10\times 67.6}{{}^2\left(2.0\right)}=\frac{{}_{\mathbf{2}}\mathbf{m}{}_{\mathbf{1}}\mathbf{m}\mathbf{G}}{{}^{\mathbf{2}}\mathbf{r}}\mathbf{=}\mathit{F}$                            

        وتكون اتجاه القوة من القطة لك.

    لاحظ ان قوة الجذب صغيرة جدا ، لذا لا نشعر بها

• كم قوة جذب القطة لك؟

نفس المقدار ولكن اتجاه القوة من جسدك للقطة.

 

 

مثال :سيارتان A,B كتلة السيارةA = ${}^{3}10\times 2$kg، وكتلة السيارة B =  3x${}^{3}10$kg .

والمسافة بين مركزيهما 50m

احسب ${}_{\mathbf{A}\mathbf{B}}\mathit{F}$ و${}_{\mathbf{B}\mathbf{A}}\mathit{F}$.

الحل:

${}_{\mathbf{A}\mathbf{B}}\mathit{F}$ تعني قوة الجذب من B  الى A

وبتطبيق قانون الجذب العام

$N{}^{-7}10\times 6.1=\frac{{}^{3}10\times 3\times {}^{3}10\times 2\times {}^{11-}10\times 67.6}{{}^{2}50}=\frac{{}_{2}m{}_{1}mG}{{}^{2}r}=\mathit{F}$

ومتجه القوة يكون من  مركز السيارة A الى مركز السيارة B

لا داعي لحساب ${}_{\mathbf{B}\mathbf{A}}\mathit{F}$ ، حيث انها تساوي ${}_{\mathbf{A}\mathbf{B}}\mathit{F}$ في المقدار وتعاكسها في الاتجاه؛ اي ان متجه القوة من مركز السيارة B الى مركز السيارة A.

تسارع الجاذبية الارضية:

اذا سقط جسم سقوطا حرا فإنه يتسارع باتجاه مركز الارض وهذه القوة تساوي وزنه وتعطى حسب قانون نيوتن الثاني بالعلاقة

                      

وسبب هذه القوة هي التجاذب الكتلي حسب ما توصل له نيوتن في قانون الجذب العام

ومن ذلك نتوصل الى ان:

$\frac{{ }_{E}m{}_{ }mG}{{}^{2}r}=gm$                       

حيث m  هي كتلة الجسم و ${}_{E}m$ هي كتلة الارض   و${}_{E}r$ هي نصف قطر الارض.

وبحذف m  من الطرفين نتوصل الى :

$\frac{{}_{E}mG}{{}^2{}_{E}r}=g$                        

وبتعويض كتلة الارض ونصف قطرها نجد ان g=9.8m/${}^{2}s$ تقريبا.

واتجاه تسارع الجاذبية الارضية دائما باتجاه مركز الارض.

ملاحظة مهمة: من العلاقة السابقة نجد ان $g$ تقل كلما ابتعدنا عن سطح الارض كما هو موضح في الشكل التالي :

 

 

لاحظ طول المتجه كيف يقل كلما ارتفعنا الى اعلى، حيث زيادة طول المتجه يعني زيادة مقدار تسارع الجاذبية الارضية.

مثال: احسب مقدار تسارع السقوط الحر على سطح جرم سماوي( A ) كتلته تساوي ضعفي كتلة القمر ونصف قطره يساوي نصف قطر القمر.

كتلة القمر= ${}^{22}10\times 35.7$ kg تقريبا، نصف قطر القمر=${}^{6}10\times 738.1$m

الحل: ضعفي كتلة القمر = 2x7.35x${}^{22}10$kg

نصف قطره = 1.738x${}^{6}10$m

$,{}^{2}s/m25.3=\frac{{}^{22}10\times 35.7\times 2\times {}^{11-}10\times 67.6}{{}^2\left({}^{6}10\times 738.1\right)}=\frac{{}_{A}mG}{{}_A{}^{2}r}=\mathit{g}$

باتجاه مركز الجرم.