المُعادلات

فكرةُ الدّرس:

أحلُّ مُعادلات بخطوتين.

 

المُصطلحات:

المُعادلة، المُعادلة المُكافئة، المُعادلة ذات الخطوتين.

 

تعلم أنّ المعادلة جملة تتضمّن إشارة مُساواة (=) تدلُّ على تساوي المِقدارين في طَرفيْها، وقدْ تتضمّن المُعادلة أعدادا مجهولة تُسمّى مُتغيرات، ويعبر عنها بأحرفٍ مثل: x , y .

مثلا: $\mathbf{3}\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{t}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{=}\mathbf{4}$   تُسمى مُعادلات أما  $\mathbf{3}\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{t}\mathbf{+}\mathbf{1}$ ليست معادلات.

 

وتعلّمت أيضا أنّ حلّ المعادلة هو قيمةٌ عدديّةٌ للمتغير تجعل المساواة صحيحة، ويُمكنُ التحقق ما إذا كانت قيمة عدديّة ما تُمثل حلاً للمعادلة أم لا، وذلك بتعويضها بدلاً من المُتغير في المُعادلة.

 

مثال

أُبيّنُ ما إذا كانت قيمة المُتغير المُعطاة تُمثّل حلاً للمعادلة أم لا:

	$\mathbf{1}\mathbf{)} 3x-1=7 , (x=4)$
عوض عن x بالعدد 4	$3\left(4\right)-1\stackrel{?}{=}7$
العبارة غير صحيحة، إذن x=4 ليست حلاً للمعادلة	$11\ne 7$
عوض عن y بالعدد 2	$\mathbf{2}\mathbf{)} 4y+1=9 , (y=2)$
	$4\left(2\right)+1\stackrel{?}{=}9$
العبارة صحيحة، إذن y=2 حلاً للمعادلة	$9=9$

 

 

  

 

 

 

 

 

تعلمت سابقا كيفية حل مُعادلة تحتوي عمليّة حسابيّة واحدة باستعمال حقائق الجمع والطّرح المُترابطة، ويُمكن أيضا حلّ هذه المعادلات باستعمال خصائص المُساواة؛ إذْ إنّ جمع العدد نفسه لكلا طرفي المُعادلة أو طرحه مِنهما يُبقي طرفي المُعادلة مُتساويين، وتُسمى المعادلة النّاتجة مُعادلة مُكافئة؛ لأنّ لها حل المُعادلة الأصلية نفسه.

 

مفهوم أساسي (خاصيّة المُساواة للجمع والطّرح)

خاصيّة المُساواة للجمع

بالكلمات: إذا جَمعتُ العدد نفسه إلى كلا طرفي المعادلة، فيبقى طرفا المعادلة مُتساويين.

بالرموز: إذا كان $\mathit{a}\mathbf{=}\mathit{b}$ فإنّ $\mathit{a}\mathbf{+}\mathit{c}\mathbf{=}\mathit{b}\mathbf{+}\mathit{c}$

 

خاصيّة المُساواة للطرح

بالكلمات: إذا طَرحتُ العدد نفسه إلى كلا طرفي المعادلة، فيبقى طرفا المعادلة مُتساويين.

بالرموز: إذا كان $\mathit{a}\mathbf{=}\mathit{b}$ فإنّ $\mathit{a}\mathbf{-}\mathit{c}\mathbf{=}\mathit{b}\mathbf{-}\mathit{c}$

 

مثال

أحلّ كلًّ من المُعادلات الآتية:

نطْرح 5 من الطّرفين، ثم نحل المعادلة	$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} y+5=18 \\ \underline{ -5 -5} \\ y=13 \end{gathered}$$
نتحققُ مِن صحّة الْحل
نعوضُ y = 13 في المُعادلة	$13+5\stackrel{?}{=}18$
الطرفان مُتساويان، إِذن، الحل صحيح	$18=18$

 

 

 

 

 

 

 

نضيف 3 إلى الطَّرَفَيْنِ، ثم نحل المعادلة	$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{)} m-3=24 \\ \underline{ +3 +3} \\ m=27 \end{gathered}$$
نتحققُ مِن صحّة الْحل
نعوضُ m = 27 في المُعادلة	$27-3\stackrel{?}{=}24$
الطرفان مُتساويان، إِذن، الحل صحيح	$24=24$

 

 

 

 

 

 

 

إِنَّ ضَربَ العدد نَفسه في كِلا طَرَفيِ المُعادَلةِ أَو قِسمَتهُما علَيه يُبقي طرفي المُعادلة مُتساويين، وَيُمْكنُ استِعْمالُ هذه الخاصِّيَّة لِحلِّ مُعادلاتِ الضَّربِ وَالْقسمةِ الَّتي تعلَّمتُ سابِقًا حَلَّها بِاستعمالِ حقائِق الضَّرْب والقسمة المترابطة.

 

مفهوم أساسي (خاصّيَة المُساواة للضّرب والقسمَة)

خاصّيّة المُساواة لِلضَّرب

بِالكلمات: إِذا ضَرَبتُ العددَ نَفْسَه في كلا طرفيِ المُعادلةِ فيبْقى طَرفا المُعادلَة مُتَساوِيين.

بِالرُّموزِ: إِذا كانَ$\mathit{a}\mathbf{=}\mathit{b}\mathbf{ }$ فَإِنَّ $\mathit{a}\mathbf{\times }\mathit{c}\mathbf{=}\mathit{b}\mathbf{\times }\mathit{c}$

 

خاصّيَّةُ المُساواة للقسمة

بِالكلمات: إِذا قَسَّمْتُ كلا طرفي المُعادلَة على العدَد نَفْسِهِ فيبقى طَرَفا الْمُعادَلَةِ مُتَساوِيَيْنِ.

بِالرُّموزِ: إِذا كانَ $\mathit{a}\mathbf{=}\mathit{b}\mathbf{ }$ فَإِنَّ $\mathit{a}\mathbf{÷}\mathit{c}\mathbf{=}\mathit{b}\mathbf{÷}\mathit{c}$

 

مثال

أحلّ كلًّ من المُعادلات الآتية:

	$\mathbf{1}\mathbf{)} 2x=18$
نقسم الطرفين على 2 ، ثم نحل المعادلة.	$\frac{2x}{2}=\frac{18}{2}$
	$x=9$
	$\mathbf{2}\mathbf{)} \frac{a}{3}=7$
نضرب الطرفين بـ 3 ، ثم نحل المعادلة.	$\cancel{3}\times \frac{a}{\cancel{3}}=7\times 3$
	$a=21$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

تَحتوي بعضُ المُعادلات عمليَّتين حسابيَّتين، وَيتطلَّبُ حلُّها إِلغاءَ هاتيْن الْعمليّتين في خُطْوَتيْنِ مُتتالِيتيْن باسْتعْمال معْكوسِ كلِّ عمليَّة؛ لذا تُسمّى المُعادلات ذات الخُطوتين.

 

مثال

أحلّ كلًّ من المُعادلات الآتية:

	$\mathbf{1}\mathbf{)} 4x+3=19$
نطرحُ 3 من الطَّرفين	$$\begin{gathered} 4x+3=19 \\ \frac{-3 -3}{ 4x=16} \end{gathered}$$
نقسم الطَّرفين على 4	$\frac{4x}{4}=\frac{16}{4}$
	$x=4$
	$\mathbf{2}\mathbf{)} 1-7x=8$
نطرحُ 1 من الطَّرفين	$$\begin{gathered} 1-7x=8 \\ \frac{-1 -1}{ -7x=7} \end{gathered}$$
نقسم الطَّرفين على $-7$	$\frac{-7x}{-7 }=\frac{7}{-7 }$
	$x=-1$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

يُمْكنُ حلُّ كَثيرٍ من المسائل الحياتيَّة بكتابة مُعادلةٍ وحَلِّها، حَيْثُ تُمثِّلُ الْقيمةُ المجهولَةُ في المسأَلَةِ المُتغيّر في المُعادلة.

 

مثال:

ساعاتٌ: ساعَةٌ ذكِيَّةٌ شاشتها عَلى شَكْلِ مُسْتطيل طولهُ $3 cm$ ، ومُحيطه $15 cm$ أَكْتبُ مُعادلةً، ثمَّ أَحُلُّها لجد عرض الشاشة.

الحل:

الخطوة 1: أُكوّن معادلةً:

بالكلماتِ: مُحيطُ الشّاشَةِ يُساوي مِثْلَيْ طولِها مُضافًا إِلَيْهِ مِثْلا عَرْضِها.

وبما أن العرض مجهول في السؤال فنفرضه برمز مثل $w$

بالرُّموز: 15 يُساوي $2\times 3$ مُضافًا إليه $2w$

إذن، تكون المعادلة هي: $2w+6=15$

 

الخطوة 2: أَحُلُّ المُعادلة:

$$\begin{gathered} 2w+6=15 \\ \frac{-6 -6}{2w=9} \end{gathered}$$

$\frac{2}{2}w=\frac{9}{2}$

$w=4.5$

إِذن، عرض الشاشة يُساوي $4.5 cm$