المماس والعمودي على المماس

الدرس الأول: المماس والعمودي على المماس

                        

سنتعرف في درس المماس والعمودي على المماس إلى:

1)  ميل المماس لمنحنى الاقتران عند نقطة ما.

2) ميل العمودي على المماس لمنحنى الاقتران عند نقطة ما.

3) نقطة التماس.

4)  معادلة المماس لمنحنى الاقتران عند نقطة ما.

5) معادلة العمودي على المماس لمنحنى الاقتران عند نقطة ما.

 

 

ميل المنحنى للاقتران $\left(x\right)f$ عند $x= a$ هو $\left(a\right)\text{'}f$   

أولا: إيجاد ميل المنحنى

مثال 1:

إذا كان الاقتران: $1+x4-{}^{2}x=\left(x\right)f$ ، فجد كلا مما يأتي: 

1) ميل منحنى الاقتران $\left(x\right)f$ عند النقطة $\left(2-,1\right)$.

2) قيمة $x$ التي يكون عندها ميل منحنى الاقتران يساوي صفرًا.   

الحل:

1) ميل المنحنى للاقتران عند قيمة $x$ المعطاة

 

الاقتران المعطى	$1+x4-{}^{2}x=\left(x\right)f$
نشتق الاقتران	$4-x2=\left(x\right)\text{'} f$
نعوض  في المشتقة $1=x$	$4-\left(1\right)2=\left(1\right)\text{'} f$
بالتبسيط ينتج	$2-=\left(1\right)\text{'} f$

    إذًا ، ميل منحنى الاقتران $\left(x\right)f$ عند النقطة $\left(2-,1\right)$ يساوي $\left(2-\right)$ .

 

2)  قيمة $x$ التي يكون ميل المنحنى عندها يساوي صفرًا

نضع المشتقة تساوي صفرًا	$f \text{'}\left(x\right)=0$
نعوض	$2x-4=0$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} 2x=4 \\ x=2 \end{gathered}$$

إذًا قيمة $x$ التي عندها المشتقة تساوي صفرًا هي: $2$

---

مثال2: إذا كان الاقتران:    $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ ، فجد ميل المنحنى عند النقطة $\left(4, 2\right)$.

الحل:

 ميل المنحنى للاقتران عند  قيمة $x$ المعطاة

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\sqrt{x}$
نشتق الاقتران	$f \text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
نعوض في المشتقة $x=4$	$f \text{'}\left(4\right)=\frac{1}{2\sqrt{4}}$
بالتبسيط	$f \text{'}\left(4\right)=\frac{1}{4}$

إذًا ميل منحنى الاقتران $f\left(x\right)$ عند النقطة $\left(4, 2\right)$ هو $\frac{1}{4}$

---

مثال 3 : إذا كان الاقتران :$f\left(x\right)=\frac{3}{x^2-4}$ ،  فجد ميل منحنى الاقتران $\left(x\right)f$ عند $1=x$

الحل:

ميل المنحنى للاقتران عند قيمة $x$ المعطاة

الاقتران المعطى	$\frac{3}{4-{}^{2}x}=\left(x\right)f$
نشتق الاقتران	$\frac{x6-}{{}^2\left(4-{}^{2}x\right)}=\left(x\right)\text{'} f$
نعوض في المشتقة $1=x$	$\frac{\left(1\right)6-}{{}^2\left(4-{}^2\left(1\right)\right)}=\left(1\right)\text{'} f$
بتبسيط الناتج	$\frac{2-}{3}=\frac{6-}{9}=\left(1\right)\text{'} f$

إذًا ميل منحنى الاقتران $\left(x\right)f$ عند $1=x$ يساوي $\frac{2-}{3}$ 

---

مثال 4: إذا كان الاقتران: $f\left(x\right)=\frac{2x}{3x+1}$ ، فجد ميل المنحنى عند النقطة $\left(-1, 1\right)$.

الحل:

 ميل منحنى الاقتران عند قيمة $x$ المعطاة

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\frac{2x}{3x+1}$
نشتق الاقتران	$f \text{'}\left(x\right)= \frac{2}{{\left(3x+1\right)}^2}$
نعوض في المشتقة $x=-1$	$f \text{'}(-1)= \frac{2}{{\left(3(-1)+1\right)}^2}$
بالتبسيط	$f \text{'}(-1)= \frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

إذًا ، ميل  منحنى الاقتران $f\left(x\right)$ عند  $x=-1$   هو $\frac{1}{2}$ 

---

أتحقق من فهمي

1) جد ميل منحنى الاقتران:  $f\left(x\right)=3 x^2-5$ عند النقطة $\left(-2, 7\right)$.                               الإجابة:  الميل هو   $-12$             

2) جد ميل منحنى الاقتران: $f\left(x\right)=\sqrt{2x-3}$   عند $x=2$.                                            الإجابة:   الميل  هو $1$

3) جد قيمة $x$ التي يكون عندها ميل منحنى الاقتران: $f\left(x\right)=x^2+6x-1$  عند النقطة $\left(-2,-3\right)$ يساوي $4$.  الإجابة: $x=-1$.

 

---

ثانيا: إيجاد ميل العمودي

• المماس: هو خط مستقيم يلامس منحنى الاقتران في نقطة.
• العمودي على المماس:  هو مستقيم يكون عموديًا على المماس عند نقطة التماس،          $\mathrm{ميل} \mathrm{العمودي}=\frac{1-}{\mathrm{ميل} \mathrm{المماس}}$             

                                                                                                         

ميل العمودي على المماس لمنحنى الاقتران $f\left(x\right)$ عند نقطة التماس $A\left(\mathrm{a},\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)\right)$ هو:

                                          $\mathbf{ميل}\mathbf{ }\mathbf{العمودي}\mathbf{=}\frac{1-}{(\mathrm{a}{\displaystyle )\text{'}\mathrm{f}}}$

مثال1: إذا كان الاقتران: $f\left(x\right)=2 x^3+x$ ، فجد ميل العمودي على المماس عند النقطة $\left(-1,-3\right)$.

الحل:

 ميل العمودي لمنحنى الاقتران عند قيمة $x$ المعطاة

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=2 x^3+x$
نشتق الاقتران	$f \text{'}\left(x\right)= 6x^2+1$
نعوض في مشتقة الاقتران $x=-1$	$f \text{'}(-1)=6{\left(-1\right)}^2+1$
بالتبسيط ينتج	$f \text{'}(-1)= 7$
ميل العمودي	$\frac{-1}{{\displaystyle f \text{'}(-1) }}=\frac{-1}{7}$

إذًا، ميل العمودي على المماس لمنحني الاقتران $f\left(x\right)$ عند النقطة $\left(-1,-3\right)$ هو $\frac{-1}{7}$.

---

مثال2:  إذا كان الاقتران: $f\left(x\right)={\left(2x-5\right)}^3$ ، فجد ميل العمودي على المماس عند النقطة $\left(2,-1\right)$.

الحل: 

 ميل العمودي لمنحنى الاقتران عند قيمة $x$ المعطاة

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)={\left(2x-5\right)}^3$
نشتق الاقتران	$$\begin{gathered} f \text{'}\left(x\right)= 3{\left(2x-5\right)}^2\left(2\right) \\ =6{\left(2x-5\right)}^2 \end{gathered}$$
نعوض في المشتقة $x=2$	$f \text{'}\left(2\right)= 6{\left(2\left(2\right)-5\right)}^2$
بالتبسيط	$f \text{'}\left(2\right)= 6{\left(-1\right)}^2=6$
ميل العمودي	$\frac{-1}{{\displaystyle f \text{'}\left(2\right)}}=\frac{-1}{6}$

إذًا ميل العمودي على المماس لمنحنى الاقتران $f\left(x\right)$ عند النقطة $\left(2,-1\right)$ هو $\frac{-1}{6}$

---

مثال3: إذا كانت :$f \text{'}\left(x\right)= \frac{3x-5}{{\left(x^3+x\right)}^2}$ ، فجد ميل العمودي على المماس لمنحنى الاقتران$f\left(x\right)$ عند $x=-1$

الحل:

نعوض في المشتقة $x=-1$	$f \text{'}(-1)= \frac{3\left(-1\right)-5}{{\left({\left(-1\right)}^3+\left(-1\right)\right)}^2}$
بالتبسيط	$f \text{'}(-1)=\frac{-3-5}{{\left(-1-1\right)}^2} =\frac{-8}{4}=-2$
ميل العمودي	$\frac{-1}{{\displaystyle f \text{'}(-1) }}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}$

إذًا ميل العمودي على المماس لمنحنى الاقتران $f\left(x\right)$ عند $x=-1$ هو $\frac{1}{2}$

---

أتحقق من فهمي

1) جد ميل العمودي على المماس لمنحنى الاقتران: $f\left(x\right)=x^3-2x+1$ عند النقطة $\left(2, 5\right)$.                      الإجابة: $\frac{-1}{10}$ 

2) جد ميل العمودي على المماس لمنحنى الاقتران: $f\left(x\right)=\sqrt{5x+4 }$ عند النقطة $\left(1, 3\right)$.                     الإجابة:   $\frac{-6}{5}$

3) جد ميل العمودي على المماس لمنحنى الاقتران$f\left(x\right)$ إذا كانت  $f\text{'}\left(x\right)= \frac{x-6}{{\left(3x^2+2\right)}^2}$   عند $x=1$            الإجابة:   $5$

 

---

ثالثا: معادلة المماس

  إذا كان الاقتران $f\left(x\right)$ قابلًا للاشتقاق عندما $x=a$ ، فإن معادلة مماس منحنى الاقتران $f\left(x\right)$ عند نقطة التماس $\left(a,f\left(a\right)\right)$ هي:          $y-f\left(a\right)=f\text{'}\left(a\right)\left(x-a\right)$                                         

 

مثال1: جد معادلة المماس لمنحنى الاقتران:  $f\left(x\right)=x^3-x+1$ عند النقطة $\left(2, 7\right)$.

الحل:

الخطوة 1 : أجد ميل المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة المعطاة:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=x^3-x+1$
نشتق الاقتران	$f \text{'}\left(x\right)= 3x^2-1$
نعوض في المشتقة $x=2$	$f \text{'}\left(2\right)=3{\left(2\right)}^2-1$
بالتبسيط	$f \text{'}\left(2\right)=11$

إذًا، ميل المماس لمنحنى الاقتران $f\left(x\right)$ عند النقطة $\left(2, 7\right)$ يساوي $11$

الخطوة 2 : أجد معادلة المماس

معادلة المماس	$y-f\left(a\right)=f \text{'}\left(a\right)\left(x-a\right)$
بالتعويض $a=2$	$y-f\left(2\right)=f \text{'}\left(2\right)\left(x-2\right)$
بتعويض $f\text{'}\left(2\right)=11$	$y-7=11(x-2)$
بالتبسيط  بالضرب وإضافة  $7$ لطرفي المعادلة نحصل على معادلة المماس	$$\begin{gathered} y-7=11x-22 \\ y=11x-15 \end{gathered}$$

إذًا، معادلة المماس لمنحنى الاقتران $f\left(x\right)$ عند النقطة $\left(2, 7\right)$ هي: $y=11x-15$

 

مثال 2 : جد معادلة المماس لمنحنى الاقتران : $f\left(x\right)=x{(x^2-5)}^3$   عند النقطة $\left(2,-2\right)$.

الحل:

الخطوة 1 : أجد ميل المماس لمنحنى الاقتران عند قيمة $x$المعطاة

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=x{\left(x^2-5\right)}^3$
نشتق الاقتران مستعملا قاعدتي الضرب، والسلسلة	$f \text{'}\left(x\right)= x\left(3{\left(x^2-5\right)}^2\left(2x\right)\right)+{\left(x^2-5\right)}^3\left(1\right)$
نعوض في المشتقة $x=2$	$f \text{'}\left(2\right)= 2\left(3{\left(2^2-5\right)}^2\right)\left(2\left(2\right)\right)+{\left(2^2-5\right)}^3$
بالتبسيط	$f \text{'}\left(2\right)=2\left(3\right) \left(4\right)+\left(-1\right)=24-1=23$

إذًا، ميل المماس لمنحنى الاقتران $f\left(x\right)$ عند النقطة $\left(2,-2\right)$ هو $23$

الخطوة 2 : أجد معادلة المماس

معادلة المماس	$y-f\left(a\right)=f \text{'}\left(a\right)\left(x-a\right)$
بتعويض $a=2$	$y-f\left(2\right)=f \text{'}\left(2\right)\left(x-2\right)$
بتعويض $f\left(2\right)=-2 , f\text{'}\left(2\right)=23$	$y-\left(-2\right)=23\left(x-2\right)$
بالتبسيط  بالضرب وإضافة $-2$ لطرفي المعادلة	$$\begin{gathered} y+2=23x-46 \\ y=23x-48 \end{gathered}$$

إذًا معادلة المماس لمنحنى الاقتران $f\left(x\right)$ عند النقطة $\left(2,-2\right)$ هي : $y=23x-48$

 

مثال 3 : جد معادلة المماس لمنحنى الاقتران :$f\left(x\right)=\sqrt{3x^2+1}$ عند النقطة $\left(-1, 2\right)$.

الحل :

الخطوة 1 : أجد ميل المماس عند النقطة المعطاة

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\sqrt{3x^2+1}$
نشتق الاقتران	$f \text{'}\left(x\right)= \frac{6x}{2\sqrt{3x^2+1}}$
نعوض في المشتقة $x=-1$	$f \text{'}(-1)= \frac{6\left(-1\right)}{2\sqrt{3{\left(-1\right)}^2+1}}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} f\text{'}(-1)= \frac{-6}{2\sqrt{3{\left(-1\right)}^2+1}} \\ =\frac{-6}{2\sqrt{4}} \\ =\frac{-6}{4} =\frac{-3}{2} \end{gathered}$$

إذًا ، ميل المماس لمنحنى الاقتران $f\left(x\right)$ عند النقطة $\left(-1, 2\right)$ هو $\frac{-3}{2}$

الخطوة 2 : أجد معادلة المماس

معادلة المماس	$y-f\left(a\right)=f \text{'}\left(a\right)\left(x-a\right)$
بتعويض $a=-1$	$y-f(-1)=f \text{'}\left(-1\right)\left(x-\left(-1\right)\right)$
بتعويض $f(-1)=2 , f\text{'}(-1)=\frac{-3}{2}$و التبسيط من خلال الضرب وإضافة $2$ لطرفي المعادلة ينتج	$$\begin{gathered} y-2=\frac{-3}{2}\left(x+1\right) \\ y-2=\frac{-3}{2}x-\frac{3}{2} \\ y=\frac{-3}{2}x+\frac{1}{2} \end{gathered}$$

إذًا، معادلة المماس لمنحنى الاقتران $f\left(x\right)$ عند النقطة المعطاة هي: $y=\frac{-3}{2}x+\frac{1}{2}$

 

مثال 4 : أجد معادلة المماس لمنحنى الاقتران: $f\left(x\right)=\frac{4}{x^2+3}$ عند النقطة $\left(-1, 1\right)$.

الحل :

الخطوة 1: أجد ميل المماس عند النقطة $\left(-1, 1\right)$

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\frac{4}{x^2+3}$
نشتق الاقتران	$$\begin{gathered} f \text{'}\left(x\right)=\frac{-4\left(2x\right)}{{\displaystyle {\left(x^2+3\right)}^2}} \\ f \text{'}\left(x\right)=\frac{-8x}{{\displaystyle {\left(x^2+3\right)}^2}} \end{gathered}$$
بتعويض $x=-1$	$f \text{'}\left(-1\right)=\frac{-8\left(-1\right)}{{\displaystyle {\left({\left(-1\right)}^2+3\right)}^2}}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} f \text{'}\left(-1\right)=\frac{8}{{\displaystyle {\left(1+3\right)}^2}} \\ =\frac{8}{16} =\frac{1}{2} \end{gathered}$$

إذًا، ميل المماس لمنحنى الاقتران $f\left(x\right)$ عند النقطة $\left(-1, 1\right)$ هو $\frac{1}{2}$

الخطوة 2 : أجد معادلة المماس 

معادلة المماس	$y-f\left(a\right)=f \text{'}\left(a\right)\left(x-a\right)$
نعوض $a=-1$	$y-f\left(-1\right)=f \text{'}\left(-1\right)\left(x-\left(-1\right)\right)$
بالتبسيط   من خلال الضرب والاضافة لطرفي المعادلة	$$\begin{gathered} y-1=\frac{1}{2}\left(x-\left(-1\right)\right) \\ y-1=\frac{1}{2}(x+1) \\ y-1=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2} \\ y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2} \end{gathered}$$

إذًا، معادلة المماس لمنحنى الاقتران $f\left(x\right)$ عند النقطة $\left(-1, 1\right)$ هي: $y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$

 

مثال 5 : جد معادلة المماس لمنحنى الاقتران: $f\left(x\right)=x^3-3x+1$ عند $x=2$

الحل :

الخطوة 1 : أجد ميل المماس لمنحنى الاقتران عند قيمة $x=2$

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=x^3-3x+1$
نشتق الاقتران	$f \text{'}\left(x\right)=3x^2-3$
نعوض $x=2$	$f \text{'}\left(2\right)=3{\left(2\right)}^2-3$
بالتبسيط	$f \text{'}\left(2\right)=12-3=9$

إذًا، ميل المماس لمنحنى الاقتران $f\left(x\right)$  عند $x=2$ هو $9$

الخطوة 2 : أجد قيمة الإحداثي $y$ لنقطة التماس عندما $x=2$

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=x^3-3x+1$
نعوض $x=2$	$f\left(2\right)={\left(2\right)}^3-3\left(2\right)+1$
بالتبسيط نجد $y=f\left(2\right)$	$$\begin{gathered} f\left(2\right)=8-6+1 \\ f\left(2\right)=3 \\ y=f\left(2\right) \\ y=3 \end{gathered}$$

     إذًا، $y=3$ عندما $x=2$   ونقطة التماس $\left(2, 3\right)$.

الخطوة 3 : أجد معادلة المماس

معادلة المماس	$y-f\left(a\right)=f \text{'}\left(a\right)\left(x-a\right)$
بتعويض $a=2$	$$\begin{gathered} y-f\left(2\right)=f \text{'}\left(2\right)\left(x-2\right) \\ y-3 =9\left(x-2\right) \end{gathered}$$
بالتبسيط من خلال الضرب وإضافة $3$ لطرفي المعادلة	$$\begin{gathered} y-3=9x-18 \\ y=9x-15 \end{gathered}$$

   إذًا، معادلة المماس لمنحنى الاقتران $f\left(x\right)$ عند النقطة $\left(2,3\right)$ هي: $y=9x-15$

أتحقق من فهمي

1) أجد معادلة المماس لمنحنى الاقتران: $f\left(x\right)=e^{3x}+1$ عند النقطة $\left(0, 2\right)$               الإجابة:  $y=3x+2$

2) أجد معادلة المماس لمنحنى الاقتران: $f\left(x\right)=3x+\ln \left(x\right)$ عند $x=1$                        الإجابة: $y=4x-1$

 

إيجاد نقطة التماس إذا علم ميل المماس

مثال 1 : جد إحداثيي نقطة (نقاط)التماس الواقعة على منحنى الاقتران: $f\left(x\right)=x^2-6x+1$ ، التي يكون عندها ميل المماس  يساوي $2$. 

الحل: 

الخطوة 1: أجد قيمة $x$ التي عندها ميل المماس يساوي $2$

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=x^2-6x+1$
نشتق الاقتران	$f \text{'}\left(x\right)=2x-6$
نضع $f \text{'}\left(x\right)=2$	$2x-6=2$
بالتبسيط من خلال إضافة$6$ لطرفي المعادلة والقسمة على $2$	$$\begin{gathered} 2x=2+6 \\ 2x=8 \\ x=4 \end{gathered}$$

إذًا  $x=4$  عندما ميل المماس لمنحنى الاقتران يساوي $2$. 

الخطوة 2 : أجد إحداثي $y$ عندما $x=4$

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=x^2-6x+1$
نعوض $x=4$	$f\left(4\right)={\left(4\right)}^2-6\left(4\right)+1$
بالتبسيط ينتج أن $y$	$$\begin{gathered} f\left(4\right)=16-24+1 \\ =-7 \\ y=f\left(4\right) \\ y=-7 \end{gathered}$$

إذًا، $y=-7$ عند ما $x=4$ ونقطة التماس هي: $\left(4,-7\right)$

مثال 2 : جد إحداثيي النقطة الواقعة على منحنى الاقتران: $f\left(x\right)=\sqrt{3x+1}$  التي يكون عندها ميل المماس يساوي$\frac{3}{8}$

الحل : 

الخطوة 1: أجد قيمة $x$ التي عندها ميل المماس يساوي$\frac{3}{8}$

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\sqrt{3x+1}$
نشتق الاقتران	$f \text{'}\left(x\right)=\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$
نضع $f \text{'}\left(x\right)=\frac{3}{8}$	$\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}=\frac{3}{8}$
بالتبسيط من خلال الضرب التبادلي والقسمة على $6$ ثم تربيع الطرفين ، وإضافة $-1$ لطرفي المعادلة  والقسمة على $3$	$$\begin{gathered} 24=6\sqrt{3x+1} \\ 4=\sqrt{3x+1} \\ 16=3x+1 \\ 3x=15 \\ x=5 \end{gathered}$$

إذًا، $x=5$ عندما ميل المماس يساوي $\frac{3}{8}$

الخطوة 2 : أجد قيمة $y$ عندما $5=x$

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\sqrt{3x+1}$
نعوض$x=5$	$f\left(5\right)=\sqrt{3\left(5\right)+1}$
بالتبسيط ينتج $y=f\left(5\right)$	$$\begin{gathered} f\left(5\right)=\sqrt{15+1 } \\ =\sqrt{16} \\ =4 \\ y=f\left(5\right) \\ y=4 \end{gathered}$$

إذًا، $y=4$  عندما $x=5$ ونقطة التماس هي: $\left(5, 4\right)$

المماس الأفقي

المماس الأفقي: هو مماس لمنحنى الاقتران يوازي محور  $x$

                            

 

 

 

 

 

مثال 2 : جد إحداثيي النقطة (النقاط) الواقعة على منحنى الاقتران:$f\left(x\right)=x^3-3x+1$ التي يكون عندها المماس أفقيًا

الحل :

الخطوة 1 : أجد الإحداثي $x$ لنقطة (لنقاط) التماس

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=x^3-3x+1$
نشتق الاقتران	$f \text{'}\left(x\right)=3x^2-3$
نساوي المشتقة بالصفر لأن المماس أفقي	$$\begin{gathered} f \text{'}\left(x\right)=0 \\ 3x^2-3=0 \end{gathered}$$
بالتبسيط من خلال القسمة على $3$ والتحليل ، وخاصية الضرب الصفري	$$\begin{gathered} x^2-1=0 \\ \left(x-1\right)\left(x+1\right)=0 \\ x-1=0 or x+1=0 \\ x=1 or x=-1 \end{gathered}$$

إذًا، $x=1$  أو $x=-1$  لنقط التماس التي عندها المماس أفقي

الخطوة 2 : أجد الإحداثي $y$ لنقط التماس عندما $x=1$ ، $x=-1$

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=x^3-3x+1$
بتعويض $x=1$ ، $x=-1$	$$\begin{gathered} f\left(1\right)={\left(1\right)}^3-3\left(1\right)+1 \\ f(-1)={\left(-1\right)}^3-3\left(-1\right)+1 \end{gathered}$$
بالتبسيط من خلال الأسس والجمع والطرح تنتج قيم $y$	$$\begin{gathered} f\left(1\right)=1-3+1 \\ =-1 \\ f\left(-1\right)=-1+3+1 \\ =3 \\ y=f\left(1\right) \\ y=-1 \\ y=f\left(-1\right) \\ y=3 \end{gathered}$$

إذًا، $y=-1$ عندما $x=1$ ، $y=3$ عندما $x=-1$ ، وبالتالي فإن نقط التماس التي يكون عندها المماس أفقي هي: $\left(1, -1\right) ,\left(-1, 3\right)$

مثال 3: جد إحداثيي النقطة (النقاط) الواقعة على منحنى الاقتران: $f\left(x\right)=\frac{2}{3x^2+6x-1}$ ، التي يكون عندها المماس أفقيًا.

الحل:

الخطوة 1: أجد الإحداثي $x$ لنقطة (لنقاط) التماس

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\frac{2}{3x^2+6x-1}$
نشتق الاقتران	$f \text{'}\left(x\right)= \frac{-2\left(6x+6\right)}{{\left(3x^2+6x-1\right)}^2}$
نساوي المشتقة بالصفر لأن المماس أفقي	$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)= 0 \\ \frac{-2\left(6x+6\right)}{{\left(3x^2+6x-1\right)}^2}=0 \end{gathered}$$
بالتبسيط من خلال خاصية الكسر يساوي صفرًا عندما بسطة يساوي صفرًا ، ثم توزيع الضرب على القوس وإضافة $12$ لطرفي المعادلة وأخيرا القسمة على 12 (معامل x)	$$\begin{gathered} -2\left(6x+6\right)=0 \\ -12x-12=0 \\ -12x=12 \\ x=-1 \end{gathered}$$

إذًا، $x=-1$ لنقطة التماس التي عندها المماس أفقي

الخطوة 2: أجد لإحداثي $y$ لنقطة التماس

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\frac{2}{3x^2+6x-1}$
نعوض $x=-1$	$f\left(-1\right)=\frac{2}{3{\left(-1\right)}^2+6\left(-1\right)-1}$
بالتبسيط من خلال الأسس والضرب والجمع والقسمة تنتج $y$	$$\begin{gathered} f\left(-1\right)=\frac{2}{3-6-1} \\ =\frac{2}{-4} \\ =-\frac{1}{2} \\ y=f\left(-1\right) \\ y=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

إذًا، $y=-\frac{1}{2}$ عندما $x=-1$ ، ونقطة التماس هي:$\left(-1,-\frac{1}{2}\right)$

أتحقق من فهمي

1)جد النقطة (النقاط) الواقعة على منحنى الاقتران: $f\left(x\right)=x^3-12x+5$ ، والتي يكون عندها المماس أفقيًا. 

 الإجابة $\left(2,-11\right) , \left(-2,21\right)$

2) أجد النقطة (النقط) الواقعة على منحنى الاقتران:$f\left(x\right)=x+\sqrt{2x-1}$ ، والتي يكون عندها المماس أفقيًا.   الإجابة: $\left(1,2\right)$

معادلة العمودي على المماس

 إذا كان الاقتران $f\left(x\right)$ قابلًا للاشتقاق عند $x=a$ ، وكان $f\text{'}\left(a\right) \ne 0$ ، فإن معادلة العمودي على المماسلمنحنى الاقتران $f\left(x\right)$ عند نقطة التماس$\left(a,f\left(a\right)\right)$ هي:

                                                                           $y-f\left(a\right)=\frac{-1}{{\displaystyle f\text{'}\left(a\right) }}\left(x-a\right)$

مثال 1: جد معادلة العمودي على المماس لمنحنى الاقتران: $f\left(x\right)=2x^2-4x+3$  عند النقطة $\left(2, 3\right)$

الحل: 

الخطوة 1: أجد ميل العمودي المماس عند النقطة $\left(2, 3\right)$

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=2x^2-4x+3$
نشتق الاقتران	$f \text{'}\left(x\right)= 4x-4$
نعوض $x=2$	$f \text{'}\left(2\right)=4\left(2\right) -4$
بالتبسيط من خلال الضرب والطرح	$$\begin{gathered} f \text{'}\left(2\right)= 8-4=4 \\ =4 \end{gathered}$$
ميل العمودي	$\frac{-1}{{\displaystyle f \text{'}\left(x\right) }}$
ميل العمودي عند النقطة $\left(2,3\right)$	$\frac{-1}{{\displaystyle f \text{'}\left(2\right)}}=\frac{-1}{4}$

إذًا، ميل العمودي على المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة$\left(2, 3\right)$ يساوي $\frac{-1}{4}$

الخطوة 2: أجد معادلة العمودي على المماس

معادلة العمودي على المماس	$y-f\left(a\right)=\frac{-1}{{\displaystyle f \text{'}\left(a\right)}}\left(x-a\right)$
بالتعويض $a=2$	$$\begin{gathered} y-f\left(2\right)=\frac{-1}{{\displaystyle f \text{'}\left(2\right)}}\left(x-2\right) \\ y-3=\frac{-1}{4}\left(x-2\right) \end{gathered}$$
بالتبسيط من خلال توزيع الضرب والإضافة لطرفي المعادلة تنتج معادلة العمودي على المماس $\frac{2}{4} + 3 = \frac{2}{4}+ \frac{12}{4}= \frac{14÷2}{4÷ 2}= \frac{7}{2}$	$$\begin{gathered} y-3=\frac{-1}{4}x+\frac{2}{4} \\ y=\frac{-1}{4}x+\frac{2}{4}+3 \\ y=\frac{-1}{4}x+\frac{7}{2} \end{gathered}$$

إذًا، معادلة العمودي على المماس لمنحنى الاقتران$f\left(x\right)$ عند النقطة $\left(2, 3\right)$ هي: $y=\frac{-1}{4}x+\frac{7}{2}$

 

مثال 2: جد معادلة العمودي على المماس لمنحنى الاقتران:$f\left(x\right)= x\ln \left(x^2\right)$ عند النقطة $\left(1, 0\right)$ 

الحل: 

الخطوة 1: أجد ميل العمودي على المماس عند النقطة $\left(1, 0\right)$

الاقتران المعطى أكتب الاقتران مستعملا قوانين اللوغاريتمات	$$\begin{gathered} f\left(x\right)=x\ln \left(x^2\right) \\ f\left(x\right)=2xln\left(x\right) \end{gathered}$$
أشتق الاقتران	$f \text{'}\left(x\right)= \left(2x\right)\left(\frac{1}{x}\right)+\left(ln\left(x\right)\right)\left(2\right)$
بالتبسيط	$f \text{'}\left(x\right)= 2+2\ln \left(x\right)$
بتعويض $x=1$	$f \text{'}\left(1\right)= 2+2\ln \left(1\right)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} f \text{'}\left(1\right)=2+2\left(0\right) \\ =2 \end{gathered}$$
ميل العمودي	$\frac{-1}{{\displaystyle f \text{'}\left(x\right)}}$
ميل العمودي	$\frac{-1}{{\displaystyle f \text{'}\left(1\right) }}=\frac{-1}{2}$

إذًا، ميل العمودي على المماس لمنحنى الاقتران$f\left(x\right)$ عند النقطة $\left(1, 0\right)$  هو: $\frac{-1}{2}$

الخطوة 2: إيجاد معادلة العمودي على المماس

معادلة العمودي على المماس	$y-f\left(a\right)=\frac{-1}{{\displaystyle f \text{'}\left(a\right)}}\left(x-a\right)$
بتعويض $a=1$	$$\begin{gathered} y-0=\frac{-1}{{\displaystyle f \text{'}\left(1\right)}}\left(x-1\right) \\ y=\frac{-1}{2}\left(x-1\right) \end{gathered}$$
بالتبسيط من خلال توزيع الضرب تنتج معادلة العمودي على المماس	$y=\frac{-1}{2}x+\frac{1}{2}$

إذًا، معادلة العمودي على المماس لمنحنى الاقتران $f\left(x\right)$ عند النقطة $\left(1, 0\right)$ هي: $y=\frac{-1}{2}x+\frac{1}{2}$

أتحقق من فهمي

جد معادلة العمودي على المماس لمنحنى الاقتران: $f\left(x\right)=e^{2x}+1$ عند النقطة $\left(0, 2\right)$.         الإجابة:   $y=\frac{-1}{2}x + 2$