المعادلات الأسية

الدرس الخامس: المعادلات الأسية:

سنتعلم في هذا الدرس ثلاث أفكار رئيسية هي:

1) اللوغاريتم الاعتيادي واللوغاريتم الطبيعي.

2) تغيير الأساس.

3) المعادلات الأسية.

4) التطبيقات الحياتية للمعادلات الأسية.

أولًا: اللوغاريتم الاعتيادي واللوغاريتم الطبيعي:

اللوغاريتم الاعتيادي:

- تعريفه: لوغاريتم للأساس 10 أو ${\log }_{10}$ ، ويكتب عادة من دون أساس. 

- يعد اقتران اللوغاريتم الاعتيادي:$y= \log x$ الاقتران العكسي للاقتران الأسي $y={10}^x$

              أي أنّ: ${\mathbf{10}}^{{}^{\mathbf{y}\mathbf{ }}}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{x}\mathbf{>}\mathbf{0}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\iff }\mathbf{ }\mathit{y}\mathbf{=}\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_{\mathbf{10}}\mathbf{ }\mathit{x}$

 

                  

- تنطبق خصائص اللوغاريتمات التي تعلمناها سابقًا على الاقتران اللوغاريتمي الاعتيادي، ويمكن استعمالها لإيجاد قيمته.

- تحوي الآلة الحاسبة على زر خاص باللوغاريتم الاعتيادي هو $\left(log\right)$يستخدم لإيجاد القيمة التقريبية للوغاريتم الاعتيادي لأي عدد حقيقي موجب.

 

- خطوات إيجاد قيمة اللوغاريتم الاعتيادي باستخدام الآلة الحاسبة:

1) اضغط على زر $\mathbf{\left(}\mathbf{log}\mathbf{\right)}$ الموجود بالآلة الحاسبة .

2) أدخل القيمة المطلوب إيجادها.

3) اضغط على زر المساواة (=)

4) قرب إجابتك للمنزلة المطلوبة.

 

مثال: استعمل الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة كل مما يأتي، مقربًا إجابتك إلى أقرب جزء من عشرة:

$a) \log 35 b) \log 5.3 c) \log \left(2.5 \times {10}^6\right)$                                                                                                                                   

الحل: 

       $$\begin{gathered} a) \log 35 =1.4313637642... \approx 1.4 \\ b) \log 5.3 = 0.7242758696 \approx 0.7 \\ c) \log (2.5 \times {10}^6)= 6.3979400087 \approx 6.4 \end{gathered}$$ 

اللوغاريتم الطبيعي:

- تعريفه: لوغاريتم للأساس $e$ أو  $\log { }_e$

- يرمز له: بالرمز $\ln$

- يعد اقتران اللوغاريتم الطبيعي:$y= \ln x$ الاقتران العكسي للاقتران الأسي الطبيعي $y= e^x$ .

   أي أنّ: ${\mathit{e}}^{{}^{\mathbf{y}\mathbf{ }}}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{x}\mathbf{>}\mathbf{0}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\iff }\mathbf{ }\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{ln}\mathbf{ }\mathit{x}$

   

                  

- تنطبق خصائص اللوغاريتمات التي تعلمناها سابقًا على الاقتران اللوغاريتمي الطبيعي، ويمكن استعمالها لإيجاد قيمته.

- تحوي الآلة الحاسبة على زر خاص باللوغاريتم الطبيعي هو $\left(\ln \right)$ يستخدم لإيجاد القيمة التقريبية للوغاريتم طبيعي لأي عدد حقيقي موجب.

 

مثال: استعمل الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة كل مما يأتي، مقربًا إجابتك إلى أقرب جزء من عشرة:

                                                                                    $a) \ln 24 b) \ln 7.8$

 

الحل:

      $$\begin{gathered} a) \ln 24= 3.1780538303 \approx 3.2 \\ b) \ln 7.8 = 2.0541237337 \approx 2.1 \end{gathered}$$

---

 ثانيًا: تغيير الأساس

كيف تجد قيمة لوغاريتم له أساس غير العدد (10) ؟

1- غير الأساس غير المرغوب به إلى حاصل قسمة لوغاريتمين للأساس نفسه.

2- باستعمال الآلة الحاسبة جد قيمة اللوغاريتم المطلوبة.

 

صيغة تغيير الأساس إذا كانت $a , b , x$ أعدادًا حقيقية موجبة، حيث: $b \ne 1 , a\ne 1$ ، فإنَّ:   ${\log }_{b}x = \frac{{\log }_a x}{{\log }_{a}b}$

 

 

 

 

 

 

 

 

مثال: جد قيمة كل مما يأتي، مقربًا إجابتك إلى أقرب جزء من مئة(إن لزم):

                    $a) {\log }_3 29 b) {\log }_{\frac{1}{3}} 18$

 

الحل:  

$b) {\log }_{\frac{1}{3}} 18$
${\log }_{\frac{1}{3}} 18 =\frac{\log 18}{\log {\displaystyle \frac{1}{3}}}$	صيغة تغيير الأساس
$=\frac{\log 18 }{\log 1 - \log 3}$	قانون القسمة في اللوغاريتمات
$=\frac{\log 18 }{ - \log 3}$	$log 1 = 0$
$=-2.6309297536 \approx -2.63$	باستعمال الآلة الحاسبة

$a) {\log }_3 29$
${\log }_3 29 =\frac{\log 29}{\log 3}$	صيغة تغيير الأساس
$= 3.0650447521\approx 3.07$	باستعمال الآلة الحاسبة

            

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

ثالثًا: المعادلة الأسية

- تعريفها: معادلة تتضمن قوى أسسها متغيرات.

- حلها:

1)إذا كان من الممكن كتابة طرفي المعادلة في صورة قوتين للأساس نفسه :(مثل المعادلة $7{ }^{3X} =343$)

   قارن بين أسي الطرفين وفق القاعدة الآتية:  

إذا كان $a^x=a^y$ ، فإن :$x=y$ ، حيث: $a >0 ,a \ne 1$

 

 

 

 

مثال: جد حل المعادلة $2^{4x} = 256$

الحل:

$2^{4x} = 256$	المعادلة الأصلية
$2^{4x} = 2^8$	بمساواة الأساسين
$4x=8$	بمساواة الأسس
$x=2$	بحل المعادلة

 

 

 

 

 

2)إذا كان من غير الممكن كتابة طرفي المعادلة في صورة قوتين للأساس نفسه :(مثل المعادلة $2^{{}^x}=7$)

   استخدم قاعدة المساواة اللوغاريتمية: بأخذ اللوغاريتم نفسه لطرفي المعادلة.

   ثم استعمال  قانون القوة للوغاريتمات.

خاصية المساواة اللوغاريتمية: إذا كان $b >0$ ،حيث: $b\ne 1 , x>0 , y>0$ ،فإن:  $x= y \iff {\log }_b x = {\log }_b y$

 

 

 

 

 

مثال: حل المعادلات الأسية الآتية، مقربًا إجابتك إلى أقرب منزلتين عشريتين:

                               $$\begin{gathered} 1) 7^x = 17 2) 8 e^{2x} = 128 \\ 3) 3^{x+5} = 7^{2x} 4) 49{ }^{x }+ 7^x -20= 0 \end{gathered}$$

الحل:

 

$1) 7^x = 17$
$7^x = 17$	المعادلة الأصلية
$log 7^x = log 17$	بأخذ اللوغاريتم الاعتيادي لكلا الطرفين
$x log 7 = log 17$	قانون القوة في اللوغاريتمات
$x = \frac{\log 17}{log 7}$	بقسمة طرفي المعادلة على $log 7$
$x \approx 1.46$	باستعمال الآلة الحاسبة
إذن، حل المعادلة هو : $x \approx 1.46$

$2) 8 e^{2x} = 128$
$8 e^{2x} = 128$	المعادلة الأصلية
$e^{2x} = 16$	بقسمة طرفي المعادلة على 8
$\ln e^{2x} =\ln 16$	بأخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين
$2x =\ln 16$	$lo{g}_b{b}^x = x$
$x =\frac{\ln 16}{2}$	بقسمة طرفي المعادلة على 2
$x \approx 1.39$	باستعمال الآلة الحاسبة
إذن، حل المعادلة هو : $x \approx 1.39$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$3) 3^{x+5} = 7^{2x}$
$3^{x+5} = 7^{2x}$	المعادلة الأصلية
$log 3^{x+5} =log 7^{2x}$	بأخذ اللوغاريتم الاعتيادي لكلا الطرفين
$\left(x+5\right) log 3 =2x log 7$	قانون القوة في اللوغاريتمات
$x log 3 +5 log 3 =2x log 7$	خاصية التوزيع
$x log 3 -2x log 7 =-5 log 3$	بإعادة ترتيب المعادلة
$x \left(\log 3 -2 \log 7\right) =-5 log 3$	بإخراج x كعامل مشترك
$x =\frac{-5 \log 3}{\log 3 -2 \log 7}$	بقسمة طرفي المعادلة على $\left(\log 3 -2 \log 7\right)$
$x \approx 1.97$	باستعمال الآلة الحاسبة
إذن، حل المعادلة هو :$x \approx 1.97$

$4) 49{ }^{x }+ 7^x -20= 0$
$49{ }^{x }+ 7^x -20= 0$	المعادلة الأصلية
${\left(7^x\right)}^{2 }+ 7^x -20= 0$	$49{ }^{x }={\left(7{ }^2\right)}^x={\left(7{ }^x\right)}^2$
$u^2 +u -20=0$	بافتراض أن $7^{x }= u$
$\left(u-4\right)\left(u+5\right)=0$	بتحليل المعادلة التربيعية
$u=4 or u = -5$	باستخدام خاصية الضرب الصفري: $$\begin{gathered} u-4 = 0 \to u = 4 \\ or u+5 = 0 \to u = -5 \end{gathered}$$
$7^{x }=4 7^{x }=-5$	باستبدال $7^x$ بـــ $u$
بما أن $4^x$ موجبة لأي قيمة $x$ ، فإنه لا يوجد حل للمعادلة :$(7^{x }=-5 )$ ، ونكتفي بأخذ حل  المعادلة $(7^{x }=4)$
$log 7^{x }=log 4$	بأخذ اللوغاريتم الاعتيادي لكلا الطرفين
$x log 7^{ }=log 4$	قانون القوة في اللوغاريتمات
$x{ }^{ }=\frac{\log 4}{log 7}$	بقسمة طرفي المعادلة على $log 7$
$x \approx 0.71$	باستعمال الآلة الحاسبة
إذن، حل المعادلة هو :$x \approx 0.71$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

* ملاحظة :

يمكن استخدام برمجية جيوجيبرا لحل المعادلات الأسية باتباع الخطوات الآتية:

1) مَثِّل الاقتران بيانيًا باستخدام البرمجية.

2) حدد نقاط تقاطع منحنى الاقتران مع محور السينات (محور x).

3) نقطة (نقاط) تقاطع منحنى الاقتران مع محور x  هي حلول المعادلة الأسية.

 

مثال: استخدم برمجية جيوجبرا لحل المعادلة الأسية :$\left(49{ }^{x }+ 7^x -20= 0\right)$

الحل:

         

 

         يتضح من الرسم أن حل المعادلة الأسية هو $x \approx 0.712474$

 

---

 

رابعًا:التطبيقات الحياتية للمعادلات الأسية:

تستعمل المعادلات الأسية في كثير من التطبيقات الحياتية والعملية.

مثال: يمثل الاقتران $P=50 e^{0.1t}$  عدد نوع معين من النباتات التي يتم زراعتها في حقل تجريبي لتحسين صفاتها بعد t  من الأسابيع من بداية التجربة.

         1) ما عدد النباتات المزروعة عند بدء التجربة؟

         2) بعد كم أسبوع يصبح عدد النباتات 300 نبتة؟

الحل:

1)  عدد النباتات المزروعة عند بدء التجربة (t=0)

                                                     $$\begin{gathered} P=50 e^{0.1\left(0\right)} \\ =50 \end{gathered}$$

50 نبتة عدد النباتات المزروعة عند بدء التجربة

2) بعد كم أسبوع يصبح عدد النباتات 300 نبتة؟

                           

                              $$\begin{gathered} 300=50 e^{0.1t} \\ 6= e^{0.1t} \\ ln 6=ln e^{0.1t} \\ ln 6=0.1 t \\ t=\frac{ln 6}{0.1}\approx 17.9176 \end{gathered}$$

بعد حوالي 18  أسبوع يصبح عدد النباتات 300 نبتة.

---