المتتاليات

فكرةُ الدّرس:

أَتعرَّفُ المُتتالِياتِ، وَأُكمِلُ مُتتالِيات مُعطاة.

 

المُصطلحات:

المُتتاليةُ، الحدُّ.

 

المُتتالِيةُ: مَجموعةٌ منَ الأعدادِ تَتبَعُ تَرتيبًا مُعَيَّنًا، وَيُسَمّى كُلُّ عَدَدٍ فيها حَدًّا. ويُمْكِنُ إِكمالُ حُدودِ مُتَتالِيَةٍ إِذا عُلِمت القاعدَةَ الَّتي تَرْبِطُ كُلَّ حَدٍّ في الْمُتَتالِيَةِ بِالحَدِّ الَّذي يَليهَ.

مثال:

أَجِدُ الْحُدودَ الْخَمْسَةَ الأولى لِكُلِّ مُتَتالِيَةٍ مِمّا يَأْتي:

1) الْحَدُّ الأوَّلُ في مُتَتالِيَةٍ ($-7$)، وَالْقاعِدَةُ الَّتي تَرْبِطُ كُلَّ حَدٍّ بِالْحَدِّ الَّذي يَليهِ هِيَ إِضافَةُ (3).

الحل:

أَبْدَأُ بِالْحَدِّ الأوَّلِ، وَأَجْمَعُ 3 كُلَّ مَرَّةٍ حَتّى أَصِلَ إِلى الْحَدِّ الْخامِسِ:

إِذَنْ، الْحُدودُ الْخَمْسَةُ الأولى هِيَ: $-7 , -4 , -1 , 2 , 5$

 

2) الْحَدُّ الأوَّلُ في مُتَتالِيَةٍ (11)، وَالْقاعِدَةُ الَّتي تَرْبِطُ كُلَّ حَدٍّ بِالْحَدِّ الَّذي يَليهِ هِيَ طرح (2).

الحل:

أَبْدَأُ بِالْحَدِّ الأوَّلِ، وأطرح منه 2 كُلَّ مَرَّةٍ حَتّى أَصِلَ إِلى الْحَدِّ الْخامِسِ:

إِذَنْ، الْحُدودُ الْخَمْسَةُ الأولى هِيَ: $11 , 9 , 7 , 5 , 3$

---

قد تحتوي القاعِدَةُ الَّتي تربِطُ كُلّ حدٍّ في المُتتالِيَة بِالحَدِّ الذي يَليه عَملِيّتيْن حسابِيَّتين.

مثال:

أَجِدُ الْحُدودَ الأربعة الأولى لِكُلِّ مُتَتالِيَةٍ مِمّا يَأْتي:

1) الْحَدُّ الأوَّلُ في مُتَتالِيَةٍ (3)، وَالْقاعِدَةُ الَّتي تَرْبِطُ كُلَّ حَدٍّ بِالْحَدِّ الَّذي يَليهِ هِيَ الضَّرْبُ في (2) ثُمَّ إِضافَةُ (1).

إِذَنْ، الْحُدودُ الأربعةُ الأولى هِيَ: $3 , 7 , 15 , 31$

 

2) الْحَدُّ الأوَّلُ في مُتَتالِيَةٍ (1-)، وَالْقاعِدَةُ الَّتي تَرْبِطُ كُلَّ حَدٍّ بِالْحَدِّ الَّذي يَليهِ هِيَ الضَّرْبُ في (3) ثُمَّ طرح (2).

إِذَنْ، الْحُدودُ الأربعةُ الأولى هِيَ: $-1 , -5 , -17 , -53$

---

يُمْكِنُنا إيجادُ الْقاعِدَةِ الَّتي تَرْبِطُ كُلَّ حَدٍّ في الْمُتَتالِيَةِ بِالْحَدِّ الَّذي يَليهِ إِذا عُلِم مِنْها ثَلاثَةَ حُدودٍ مُتَتالِيَةٍ عَلى الأقَلِّ.

مثال:

أَجِدُ الْقاعِدَةَ الَّتي تَرْبِطُ كُلَّ حَدٍّ بِالْحَدِّ الَّذي يَليهِ في كُلٍّ مِنَ الْمُتَتالِياتِ الآتِيَةِ، ثُمَّ أُكْمِلُ الْمُتَتالِيَةَ بِكِتابَةِ ثَلاثَةِ حُدودٍ أُخْرى:

$\mathbf{1}\mathbf{)} 4, 1, -2, -5, ...$

عِندما أَنتقلُ من حَدٍّ إِلى الحد الذي يَليه، أجدُ أَنّ 3 طُرحت كلّ مرّةٍ.

 

 

 

 

 

إذن؛ القاعدة التي تربطُ كلّ حد بالحدّ الذي يليه هِي طرحُ 3 كُلَّ مرَّة.

أُكملُ النَّمط لإيجاد الحُدود الثَّلاثة التاليةِ في المتتالية:  $-5-3=-8 , -8-3=-11 , -11-3=-14$

الحدود الثلاثة التالية في المُتتالِيَةِ هيَ: $-8 , -11 , -14$

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }2, 10, 50, ...$

عِندما أَنتقلُ من حَدٍّ إِلى الحد الذي يَليه، أجدُ أَنّ 5 ضُربت كلّ مرّةٍ.

 

 

 

 

إذن؛ القاعدة التي تربطُ كلّ حد بالحدّ الذي يليه هِي ضرب 5 كُلَّ مرَّة.

أُكملُ النَّمط لإيجاد الحُدود الثَّلاثة التاليةِ في المتتالية: $50\times 5=250 , 250\times 5=1250 , 1250\times 5=6250$

الحدود الثلاثة التالية في المُتتالِيَةِ هيَ: $250 , 1250 , 6250$