المتتاليات والمتسلسلات

نتاجات الدرس: 
- نتعرف على المتتالية المنتهية وغير المنتهية .
- نتعرف على المتسلسلة المنتهية وغير المنتهية .

المتتاليات والمتسلسلات ، ورمز المجموع: 
تعلمنا سابقاً مفهوم المتتالية ، وأن كل عدد فيها يسمى حداً 
تكون المتتالية منتهية : اذا حوت عدداً منتهياً من الحدود ، مثلاً : $2,4,6,8,10$
وتكون متتالية غير منتهية اذا حوت عدداً لا نهائياً من الحدود ،  مثلاً : $5,10,15,20,25,30,\dots \dots$

 

المتتاليات بوصفها اقترانات: أي أن المتتالية اقتران مجاله مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة ، أو مجموعة جزئية منها،

ومداه مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية ، حيث يرتبط كل عدد صحيح في المجال بعدد حقيقي في المدى ، هو أحد حدود المتتالية.

حيث: a₁ : الحد الأول للمتتالية ، و a₂ : الحد الثاني للمتتالية ، و a_n : الحد العام للمتتالية .

تذكر أن: الحد العام هو علاقة جبرية تربط كل حد في المتتالية برتبته . ويمكن استعمال الحد العام لإيجاد قيمة أي حد في المتتالية، وذلك بتعويض رتبة ذلك الحد في الحد العام .

---

يطلق على مجموع حدود المتتالية اسم المتسلسلة ويمكن إيجاد هذا المجموع بوضع اشارة (+)  بين حدود المتتالية بدلاً من الفواصل.
ويمكن التعبير عن المتسلسلة مثل المتتالية إلى:

• متسلسلة غير منتهية: مثلاً : $1+2+3+4+5+....$
• متسلسلة منتهية: مثلاً : $1+2+3+4+5$
 

- يمكننا التعبير عن المتسلسلة بطريقة مختصرة باستعمال رمز المجموع والذي يقرأ سيغما ، على النحو الآتي: $\sum _{k=1}^n{a}_k$ حيث: n: آخر قيم k ، و k=1 : اول قيم k ، و ak : الحد العام للمتتالية .

- مثال (1) : أكتب كل متسلسلة مما يأتي باستعمال رمز المجموع : 
1) $\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{5}+\cdots +\sqrt{68}$

2) $5+10+15+\cdots$

الحل:

1) نلاحظ أن الحد الاول يساوي $\sqrt{2+1}$  ، والحد الثاني يساوي $\sqrt{2+2}$ ، وأن الحد الثالث يساوي $\sqrt{2+3}$ ، والحد الاخير يساوي $\sqrt{2+66}$ .
أذن ، يمكن كتابة الحد العام لهذه المتتالية على النحو الآتي: $a_k=\sqrt{2+k}$
وكتابة المتسلسلة باستعمال رمز المجموع كما يأتي : $\sum _{k=1}^{66}\sqrt{2+k}$

2) نلاحظ أن الحد الول يساوي $5\left(1\right)$ ، والحد الثاني يساوي $5\left(2\right)$ ، والحد الثالث يساوي $5\left(3\right)$ .
أذن ، يمكن كتابة الحد العام للمتتالية على النحو الآتي: $a_k=5k$
وكتابة المتسلسلة باستعمال رمز المجموع كما يأتي : $\sum _{k=1}^{\infty }5k$

- تدريب: أكتب كل متسلسلة مما يأتي باستعمال رمز المجموع : 

1) $7+10+1+16+\cdots .+25$

2) $2+4+6+\cdots ..+20$

---

• إيجاد مجموع المتسلسلة : يمكننا إيجاد مجموع المتسلسلة المنتهية بجمع حدودها ، اما اذا كتبت المتسلسلة باستعمال رمز المجموع ، فأننا نستعمل الحد العام لإيجاد حدودها ثم أجمعها .

- مثال (2): جد مجموع المتسلسلة : $\sum _{k=1}^4{k}^2$

الإجابة:

نعوض القيم $k=1,2,3,4$ في الحد العام للمتسلسلة: $a_k=k^2$

$=1+4+9+16=30$

---

- مثال (3): جد مجموع المتسلسلة : $\sum _{k=1}^6\frac{k^2}{2}$

الإجابة:

نعوض القيم $k=1,2,3,4,5,6$ في الجد العام للمتسلسلة: $a_k=\frac{k^2}{2}$

$=\frac{1}{2}+2+\frac{9}{2}+4+\frac{25}{2}+18=\frac{91}{2}$

---

- تدريب :جد مجموع كل متسلسلة في ما يأتي: 

1) $\sum _{k=1}^7\frac{5k-2}{2}$                            2) $\sum _{k=1}^5(k+1{)}^2$

---

• حالات خاصة من المتسلسلات:  في ما يأتي بعض خصائص رمز المجموع : اذا كان ak و bk الحدين العامين لمتتاليتين ، وكان c عدداً حقيقياً ، فإنّ:
$\sum _{k=1}^n(a_k\pm b_k)=\sum _{k=1}^n{a}_k\pm \sum _{k=1}^n{b}_k$ $\sum _{k=1}^{n}c{a}_k=c\left(\sum _{k=1}^n{a}_k\right)$

---

- إذا كان في المتسلسلة عدد كبير من الحدود ، فإن إيجاد مجموعها لن يكون سهلاً .
ولكن يوجد قواعد يمكن استعمالها لإيجاد مجموع بعض المتسلسلات الخاصة على نحو سهل كما يأتي : 

$\sum _{k=1}^{n}c=n\times c$	$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$
$\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$	$\sum _{k=1}^n{k}^3={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2$

---

- مثال (4) : جد مجموع كل متسلسلة مما يأتي : 

1) $\sum _{k=1}^{20}2k$                   2) $\sum _{k=1}^{10}(k^3+2)$                  3) $\sum _{k=1}^{25}(k^2-1)$

الإجابة:

1) $\sum _{k=1}^{20}2k=2\left(\sum _{k=1}^{20}k\right)=2\left(\frac{20(20+1)}{2}\right)=420$

2) $\sum _{k=1}^{10}(k^3+2)=\sum _{k=1}^{10}{k}^3+\sum _{k=1}^{10}2=(\frac{10(10+1)}{2}{)}^2+2(10)=3045$

3) $\sum _{k=1}^{25}(k^2-1)=\sum _{k=1}^{25}{k}^2-\sum _{k=1}^{25}1=\left(\frac{25(25+1)\left(2\right(25)+1)}{6}\right)-1\left(25\right)=5500$

---

- تدريب : جد مجموع كل متسلسلة مما يأتي : 

1) $\sum _{k=1}^{20}(7k-2)$              2) $\sum _{k=1}^5(-4k^3)$              3) $\sum _{k=1}^6\frac{k^2}{2}$

---

المتتاليات الحسابية : إذا كان الفرق بين كل حديّن متتاليين في متتالية عددية يساوي قيمة ثابتة ، فإن هذه المتتالية تسمى متتالية حسابية ، ويسمى الفرق الثابت أساس المتتالية الحسابية ويرمز إليه بالرمز d . مثلا: $2 ,4 ,6 ,8 ,\dots \dots$ - تكون المتتالية: $a_1,a_2,a_3,..........,a_n$ حسابية إذا كان: $a_2-a_1=a_3-a_2=\cdots \cdots =a_n-a_{n-1}=d$

- مثال (5) : حدد اذا كانت كل متتالية مما يأتي حسابية أم لا : 

1) $5,9,13,17,\dots .$                2) $23,15,9,5,\dots .$

الإجابة:

1)  $$\begin{gathered} a_2-a_1=9-5=4 \\ {a}_3-a_2=13-9=4 \\ {a}_4-a_3=17-13=4 \end{gathered}$$ نلاحظ أن الفرق ثابت وأنه يساوي 4 ، أي أن أساس المتتالية هو : d=4 اذن ، المتتالية حسابية .

2)  $$\begin{gathered} a_2-a_1=15-23=-8 \\ {a}_3-a_2=9-15=-6 \\ {a}_4-a_3=5-9=-4 \end{gathered}$$ نلاحظ أن الفرق غير ثابت. اذن ، المتتالية غير حسابية .

---

- تدريب : حدد إذا كانت كل متتالية  مما ياتي حسابية أم لا : 

1) $7,4,1,-2,\dots$                  2) $0,6,13,19,\dots$

 

صيغة الحد العام للمتتالية الحسابية:  الحد العام للمتتالية الحسابية التي حدها الأول a1 ، وأساسها d ، يعطى بالصيغة الآتية : $a_n=a_1+(n-1)d$ حيث n عدد صحيح موجب.

- مثال (6) : جد الحد العام لكل متتالية حسابية مما يأتي ، ثم جد الحد العاشر منها : 

1) $20,13,6,\dots .$                       2) $a_7=27 , a_{15}=59$

الإجابة:

1) نجد الحد العام للمتتالية : 
نعوض قيمة كل من الحد الأول: $a_1=20$ ، والاساس $d=13-20=-7$ في صيغة الحد العام للمتتالية : 
$a_n=a_1+(n-1)d=20+(n-1)(-7)=-7n+27$

إذن ، الحد العام للمتتالية الحسابية هو : $a_n=-7n+27$
 

نجد الحد العاشر للمتتالية : 
نعوض $n=10$ في صيغة الحد العام للمتتالية : $a_{10}=-7\left(10\right)+27=-43$
 

2)

$$\begin{gathered} \Rightarrow a_n=a_1+(n-1)d \\ 27=a_1+(7-1)d \\ 27=a_1+6d\dots \dots \left(1\right) \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \Rightarrow a_n=a_1+(n-1)d \\ 59=a_1+(15-1)d \\ 59=a_1+14d\dots \dots \left(2\right) \end{gathered}$$
- نحل المعادلة (1) و (2) بالحذف:  $$\begin{gathered} 32=8d⟹d=4 \\ 27=a_1+6\times 4\to a_1=3 \end{gathered}$$ - نعوض قيمة كل من $a_1،d$ في صيغة الحد العام للمتتالية:  $a_n=a_1+(n-1)d$ $a_n=3+(n-1)4⟹a_n=4n-1\Rightarrow a_{10}=4\left(10\right)-1=39$

- تدريب: جد الحد العام لكل متتالية حسابية مما يأتي ، ثم جد الحد الخامس عشر منها .

1) $1,-2,-5,\dots .$                2) $a_7=71, a_{16}=26$ 

---

المتسلسلات الحسابية : تنتج المتسلسلة الحسابية من جمع حدود المتتالية الحسابية ويسمى مجموع أول n حداً من حدود هذه المتسلسلة مجموعاً جزئياً ويرمز إليه بالرمز $S_n$.  المجموع الجزئي للمتسلسلة الحسابية :  يمكن إيجاد مجموع أول n حداً من حدود متتالية حسابية باستعمال إحدى الصيغتين الآتيتين: $S_n=n\left(\frac{a_1+a_n}{2}\right)$ $S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1\left)d\right)$

---

مثال (7) : جد مجموع حدود المتسلسلة الحسابية: $60+64+68+72+\cdots ..+120$

الإجابة:
اولاً: نجد عدد حدود المتتالية n .
نعوض قيمة كل من الحد الأول $a_1=60$ ، والاساس $d=64-60=4$
والحد الآخير  $a_n=120$ في صيغة الحد العام للمتتالية الحسابية : 
$$\begin{gathered} \Rightarrow a_n=a_1+(n-1)d \\ 120=60+(n-1)\left(4\right) \\ 0=4(n-1) \\ 15=n-1 \\ n=16 \end{gathered}$$

ثانياً: أستعمل إحدى صيغتي المجموع الجزئي للمتسلسلة الحسابية لإيجاد $S_n$ .

$S_n=n\left(\frac{a_1+a_n}{2}\right)$

$S_{16}=\left(16\right)\left(\frac{60+120}{2}\right)=1440$

---

- مثال (8) : جد مجموع الحدود الخمسة عشر الأولى من المتسلسلة الحسابية : $7+12+17+22+\cdots$

الإجابة:

نعوض قيمة كل من الحد الأول $a_1=7$ ، والاساس $d=12-7=5$ في الصيغة الثانية للمجموع الجزئي للمتسلسلة الحسابية $S_n$: 

$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1\left)d\right)$

$S_{15}=\frac{15}{2}\left(2\right(7)+(15-1\left)\right(5\left)\right)=630$

اذن ، مجموع الحدود الخمسة عشر الأولى من هذه المتسلسلة الحسابية هو: 630

---

- تدريب: 
a) جد مجموع حدود المتسلسلة الحسابية : $7+15+2+\cdots +159$
b) جد مجموع الحدود السبعة عشر الأولى من المتسلسلة الحسابية : $8+5+2+\cdots$
 

---

- يمكن استعمال مجموع المتسلسلة الحسابية في كثير من التطبيقات الحياتية والعلمية.

 

مثال (9) : ضمن خطة إحدى المؤسسات الخيرية لزيادة التوعية بالاضرار الاقتصادية للتدخين ، أنفقت المؤسسة $300 JD$ في السنة الأولى على حملات التوعية ، وخططت لزيادة إنفاقها السنوي على هذه الحملات بنحو $400 JD$ سنوياً على مدار $10$ أعوام :  1) بين أن إنفاق الجمعية السنوي يمثل متتالية حسابية . 2) جد الحد العام للمتتالية الحسابية . 3) ما قيمة المبلغ الذي سوف تنفقه المؤسسة في آخر عام من الخطة ؟  4) جد مجموع ما سوف تنفقه المؤسسة في 10 أعوام . الإجابة: 1) بما أن الزيادة السنوية ثابتة وتساوي 400 ، فإنّ انفاق الجمعية السنوي يشكل متتالية حسابية أساسها 400  2) $a_n=400n-100$ 3) $a_{10}=3900$ 4) $S_{10}=\frac{10}{2}(300+3900)=21000$