الزخم الزاوي

الزخم الزاوي  Angular Momentum

تلزم معرفة الزخم الزاوي وحفظه لتفسير مشاهدات في الحياة اليومية، وأستفيد  منه في تطوير  مهارتي  في مجالات

محتلفة، منها  الألعاب الرياضية . 

الطاقة الحركية الدورانية Rotational Kinetic Energy

ترتبط الطاقة الحركية الخطية لجسم بحركته الانتقالية، أما الجسم الذي يدور حول محور ثابت فإنه

لا ينتقل من مكان إلى آخر، ولكنه يمتلك  طاقة حركية دورانية.

يوضح الشكل المجاور جسما يتحرك حركة دورانية حول محور ثابت (محور y) بسرعة زاوية ثابتة$\left(\omega \right)$.

تحسب الطاقة الحركية الدورانية $\left(K E_{\mathrm{R}}\right)$لهذا الجسم بالعلاقة الآتية:

 $\mathit{K}\mathbf{ }{\mathit{E}}_{\mathbf{R}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{I}\mathbf{ }\mathbf{\omega }{\mathbf{ }}^{\mathbf{2}}$

حيث $\left(\mathrm{I}\right)$ عزم القصور الذاتي للجسم، و $\left(\omega \right)$: سرعته الزاوية. ومثل أشكال الطاقة الأخرى؛ تقاس 

 الطاقة الحركية الدورانية بوحدة الجول$\left(\mathrm{J}\right)$.  

ألاحظ التناظر بين الطاقة الحركية الخطية$\left(\frac{1}{2} m v{ }^2 \right)$ والطاقة الحركية الدورانية $\left(\frac{1}{2} \mathrm{I} \omega { }^2\right)$، حيث 

تقابل الكميتان $\left(\omega ,\mathrm{I}\right)$ في الحركة الدورانية الكميتين $\left(v, m\right)$في الحركة الخطية على الترتيب. 

أتحقق: علام تعتمد الطاقة الحركية الدورانية لجسم وما  وحدة قياسها؟

الحل:

تعتمد على كل من : عزم القصور الذاتي للجسم، وعلى سرعته الزاوية. وتقاس بوحدة الجول. 

المثال (8) ( صفحة 60 في الكتاب) 

يتحرك جزيء أكسجين حركة دورانية حول محور ثابت باتجاه عمودي على محور (z)، عمودي على منتصف 

المسافة بين ذرتي الأكسجين المكونتين له، بسرعة زاوية ثابتة مقدارها  $\left(4.6 \times {10}^{12} \mathrm{rad}/\mathrm{s}\right)$. إذا علمت 

أن عزم القصور الذاتي لجزيء الأكسجين حول محور دورانه يساوي $\left(1.95 \times {10}^{-46 }\mathrm{kg}.{\mathrm{m}}^2\right)$ عند درجة حرارة

الغرفة؛ فاحسب مقدار الطاقة الحركيةالدورانية للجزيء. 

المعطيات:

$\omega =4.6 \times {10}^{12} \mathrm{rad}/\mathrm{s}, \mathrm{I} = 1.95\times {10}^{-46} \mathrm{kg}.{\mathrm{m}}^2$

المطلوب: 

$K E_{\mathrm{R}} = ?$

الحل:

تحسب الطاقة الحركية الدورانية كما يأتي: 

$$\begin{gathered} K{E}_{\mathrm{R}} = \frac{1}{2} \mathrm{I} {\mathrm{\omega }}^{2 } = \frac{1}{2}\times 1.95\times {10}^{-46} \times {\left(4.6\times {10}^{12}\right)}^2 \\ = 2.06 \times {10}^{-21 }\mathrm{J} \end{gathered}$$

أفكر (صفحة 59) 

في مثال (8) إذا تغير موقع محور الدوران مع بقاء مقدار السرعة الزاوية ثابتة، فهل يتغير

 مقدار الطاقة الحركية الدورانية؟ 

الحل:

وفقا للعلاقة $\left(K E_{\mathrm{R}} =\frac{1}{2} I {\omega }^2\right)$فإن الطاقة الحركية الدورانية تعتمد على عزم القصور الذاتي.

وبما أن عزم القصور يعتمد على موقع محور الدوران فإذا تغير موقعه يتغير مقدار ($\mathrm{I}$)، وبالتالي

  يتغير مقدار الطاقة الحركية الدورانية. 

تمرين (صفحة 60)  

قرص مصمت منتظم متماثل كتلته $\left(2.0 \mathrm{kg}\right)$ونصف قطره $\left(0.50 \mathrm{m}\right)$يتحرك حركة دورانية بسرعة زاوية ثابتة

حول محور ثابت عمودي على مركزه أحسب الطاقة الحركية الدورانية للقرص. 

(ملاحظة : عزم القصور الذاتي لقرص مصمت يعطى بالعلاقة: $\left(\frac{1}{2} \mathrm{m} {\mathrm{r}}^2\right)$  

الحل: 

تحسب الطاقة الحركية الدورانية من العلاقة : 

$$\begin{gathered} K{E}_R=\frac{1}{2} \mathrm{I} {\mathrm{\omega }}^2 \\ = \frac{1}{2} \left(\frac{\mathit{1}}{\mathit{2}}m\mathit{ }{r}^{\mathit{2}}\right) {\mathrm{\omega }}^2 =\frac{1}{2}\times 2\times 0.5^2 \times 8^2 =8 \mathrm{J} \end{gathered}$$

سؤال: يبين الشكل المجاور  قرصان متساويان في نصف القطر ، كتلة (B) أربعة  

أضعاف كتلة (A)والسرعة الزاوية للقرص (A) ضعف السرعة الزاوية للقرص(B).

أقارن  الطاقة الحركية الدورانية  للجسمين. 

 أختار الإجابة الصحيحة مما يأتي: 

أ. الطاقة الحركية الدورانية للجسم (A) أكبر من الطاقة الحركية للجسم (B). 

ب الطاقة الحركية الدورانية للجسم (A) أقل من الطاقة الحركية للجسم (B) .

ج. الطاقة الحركية الدورانية للجسم (A) تساوي الطاقة الحركية للجسم (B).  

الحل: (ج) 

نحسب   الطاقة الحركية الدورانية للقرصين من العلاقة

  $$\begin{gathered} K{E}_{\mathrm{R}} = \frac{1}{2} \mathrm{I} {\mathrm{\omega }}^2 \\ K{E}_{\mathrm{R}\left(\mathrm{A}\right) } = \frac{1}{2} \times \frac{1 }{2}\mathrm{M} {\mathrm{r}}^2 \times {\left(2\omega \right)}^{2 =}\mathrm{M} {\mathrm{r}}^2 {\mathrm{\omega }}^2 \\ {\mathrm{KE}}_{\mathrm{R}\left(\mathrm{B}\right) } = \frac{1}{2} \times \frac{1 }{2} \times 4\mathrm{M} {\mathrm{r}}^2 \times {\mathrm{\omega }}^{2 =}\mathrm{M} {\mathrm{r}}^2 {\mathrm{\omega }}^2 \end{gathered}$$ 

الزخم الزاوي وحفظه 

Angular Momentum and its Conservation 

درست  الزخم الخطي لأجسام متحركة حركة انتقالية. وفي الحركة الدورانية يوجد للزخم الخطي

نظير دوراني يسمى الزخم الزاوي Angular momentum، يعرف بأنه يساوي ناتج ضرب عزم القصور

الذاتي للجسم أو النظام في سرعته الزاوية. وهو كمية متجهة رمزه $\left(L\right)$ ووحدة قياسه $\left(\mathrm{kg}.{\mathrm{m}}^{2 }\right)/\mathrm{s}$

حسب النظام الدولي للوحدات. ويعطى  مقدار  الزخم الزاوي لجسم يتحرك حركة دورانية حول

محور ثابت بالعلاقة:

$\mathit{L}\mathbf{=}\mathbf{I}\mathbf{ }\mathbf{\omega }$

يكون اتجاه الزخم الزاوي باتجاه السرعة الزاوية، ويحدد اتجاهه  باستخدام قاعدة اليد اليمنى وذلك

 عن طريق لف الأصابع حول محور الدوران بحيث تشير إلى اتجاه دوران الجسم، فيشير الإبهام 

  إلى اتجاه الزخم الزاوي. ويوضح الشكل المجاور استخدام قاعدة قبضة اليد اليمنى لتحديد

 اتجاه الزخم الزاوي لجسم يدور حول المحور (y). 

ويبين الشكل  أدناه  اتجاه كل من السرعة الزاوية والزخم الزاوي  عند دوران الجسم حول محور ($Ƶ$)

 فعند دوران الجسم بعكس اتجاه حركة عقارب الساعة  يكون اتجاه السرعة الزاوية وكذلك الزخم 

الزاوي خارجا من الصفحة على امتداد محور الدوران وهنا يعد الزخم الزاوي موجبا. أما عند دوران 

 الجسم باتجاه حركة عقارب الساعة فيكون متجه الزخم الزاوي داخلا في الصفحة على امتداد محور

امتداد محور الدوران، ويعد الزخم الزاوي سالبا.

استخدام قاعدة قبضة اليد اليمنى لتحديد  اتجاه الزخم الزاوي. 

أتحقق: ما الزخم الزاوي ؟ وما وحدة قياسه؟ وعلام يعتمد؟

 الزخَم الزاويّ يُعرف بأنّه يساوي ناتج ضربِ عزم القصور الذاتي للجسم أو النظام في سرعته الزاويّة. وهو كميّةٌ مُتّجهةٌ،

يعتمد على عزم القصور الذاتي والسرعة الزاوية، ووحدةُ قياسه $\left(\mathrm{kg} . {\mathrm{m}}^{2 }/\mathrm{s}\right)$ 

المثال (9) (صفحة 62) 

يتحرك جسيم كتلته $\left(50.0 \mathrm{g}\right)$ حول محور $\left(Z\right)$ عند النقطة (O) في مسار دائري نصف قطره $\left(20.0 \mathrm{cm}\right)$ 

بسرعة زاوية ثابتة $\left(5.0 \mathrm{rad}/\mathrm{s}\right)$ وبعكس اتجاه دوران عقارب الساعة. أحسب مقدار الزخم الزاوي

 للجسيم حول هذا المحور وأحدد اتجاهه. 

المعطيات:

    $m=50\times {10}^{-3} \mathrm{kg} , r=20\times {10}^{-2} \mathrm{m}, \mathrm{\omega }=5.0 \mathrm{rad}/\mathrm{s}, \mathrm{I}\mathit{=}m{r}^{\mathit{2}}$     

المطلوب:                                                                                                                                     $L=?$

الحل: 

يحسب الزخم الزاوي باستخدام العلاقة : 

 $L= \mathrm{I} \mathrm{\omega }$      

بما أن عزم القصور الذاتي للجسيم يعطى بالعلاقة $\left(\mathrm{I}=m r^2\right)$، يمكن التعبير عن الزخم الزاوي

بالصورة الآتية: 

$L=m{r}^2 \mathrm{\omega } = 50\times {10}^{-3}\times {\left(20\times {10}^{-2}\right)}^2 \times 5= 1.0 \times {10}^{-2} {\mathrm{kgm}}^2 /\mathrm{s}$      

اتجاه الدوران عكس حركة

عقارب الساعة، وبتطبيق

قاعدة اليد اليمنى يكون اتجاه 

الزخم الزاوي خارج من الصفحة 

 على امتداد محور الدوران (Z).  

المثال (10) (صفحة 63) 

كرة مصمتة منتظمة متماثلة كتلتها $\left(5.0 \mathrm{kg}\right)$ونصف قطرها $\left(10.0 \mathrm{cm}\right)$ تدور حول محور ثابت 

يمر في مركزها ( محور y). بسرعة زاوية ثابتة مقدارها$\left(20 \mathrm{rad}/\mathrm{s}\right)$ بعكس اتجاه حركة عقارب

الساعة عند النظر إليها من أعلى. أحسب مقدار الزخم الزاوي للكرة حول هذا المحور وأحدد 

اتجاهه (ملاحظة : يحسب عزم القصور الذاتي للكرة بالرجوع إلى الجدول(1)  صفحة  56)

المعطيات:

(من الجدول)  $m=5.0 \mathrm{kg}, r=10.0\times {10}^{-2} \mathrm{cm}, \mathrm{\omega }=20 \mathrm{rad}/\mathrm{s} , \mathrm{I}=\frac{2}{5}m{r}^2$        

المطلوب:                                                                                                                  $L=?$   

الحل: 

لحساب الزخم الزاوي أستخدم العلاقة الآتية: 

$$\begin{gathered} L=\mathrm{I} \mathrm{\omega } = \frac{2}{5}m r^{2 }\mathrm{\omega } \\ = \frac{2}{5}\times 5\times {\left(10\times {10}^{-2}\right)}^2 \times 20=0.4 \mathrm{kg}.{\mathrm{m}}^2/\mathrm{s} \end{gathered}$$          

اتجاه الزخم الزاوي باتجاه محور (y) الموجب عند النظر إ ليها من الأعلى. 

الكرة تدور بعكس اتجاه حركة عقارب

الساعة عند النظر إليها من الأعلى.

فيكون الزخم الزاوي موجبا.   

الزخم الزاوي والعزم Angular Momentum and Tourque

ينص القانون الثاني لنيوتن في الحركة الخطية على أن  القوة المحصلة المؤثرة في  

جسم تساوي المعدل الزمني للتغير  في زخمه الخطي $\left(\sum F =\frac{d p}{dt}\right)$ ويمكن كتابة  

القانون الثاني لنيوتن في الحركة الدورانية بدلالة الزخم الزاوي كما يأتي:

$\sum \tau =\frac{dL}{dt}$

أي أن العزم المحصل المؤثر في جسم يتحرك حركة دورانية حول محور ثابت يساوي  

المعدل الزمني للتغير  في زخمه الزاوي حول المحور نفسه. 

ألاحظ أن العزم المحصل $\left(\sum \tau \right)$يسبب تغير الزخم الزاوي $\left(dL\right)$، تماما كما تسبب القوة 

المحصلة $\left(\sum F\right)$ تغير الزخم الخطي $\left(dp\right)$. وعند حدوث تغير في الزخم الزاوي  $\left(∆L\right)$خلال

فترة زمنيه $\left(∆t\right)$، فإنه يمكن كتابة القانون الثاني لنيوتن في الحركة الدورانية كما يأتي: 

$\mathbf{\sum }\mathit{\tau }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{∆}\mathit{L}}{\mathbf{∆}\mathit{t}}$

تمرين (صفحة 63) 

في المثال (10)، إذا تغير مقدار السرعة الزاوية للكرة  حول محور الدوران نفسه بتسارع زاوي ثابت ،

بحيث أصبح $\left(40 \mathrm{rad}/\mathrm{s}\right)$ خلال $\left(5\mathrm{s}\right)$. فاحسب مقدار العزم المحصل المؤثر في الكرة خلال هذه

الفترة الزمنية نفسها. 

 ملاحظة : بالرجوع إلى المثال 10 فإن السرعة الزاوية الابتدائية للكرة (20rad/s)، وعزم القصور 

الذاتي لها ($2\times {10}^{-2} \mathrm{kg}.{\mathrm{m}}^2$)  

الحل: 

يحسب العزم المحصل من العلاقة: 

$$\begin{gathered} \sum \tau =\frac{∆L}{∆t}=\frac{I ∆\omega }{∆t }=\frac{2\times {10}^{-2} \times (40-20)}{5} \\ = \frac{2\times {10}^{-2} \times 20}{5}= 8\times {10}^{-2} \mathrm{N}.\mathrm{m} \end{gathered}$$

حفظ الزخم الزاوي Conservation of Angular Momentum

درست سابقا قانون حفظ الزخم الخطي لنظام معزول، حيث القوة المحصلة  المؤثرة في

النظام تساوي صفر، ويمكن التوصل إلى علاقة مماثلة في الحركة الدورانيةبالاستعانة بالقانون

 الثاني لنيوتن في الحركةالدورانية.

فعندما يساوي العزم المحصل في  جسم أو نظام صفرا $\left(\sum \tau =0\right)$فإن الزخم الزاوي يظل  

ثابتا مع مرور الزمن. أي أن:  $\frac{dL}{dt}=0$، وهذا يعني أن  الزخم الزاوي محفوظ، وبالاعتماد على هذه

 العلاقة نتوصل إلى أن:  

${\mathit{L}}_{\mathbf{f}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }{\mathit{L}}_{\mathbf{i}}$

تعبر هذه العلاقة عن قانون حفظ الزخم الزاوي  Law of conservation of angular momentum 

الذي ينص على أن :

"الزخم الزاوي لنظام معزول يظل ثابتا في المقدار والاتجاه"

إذ يكون العزم المحصل المؤثر في النظام المعزول صفرا. أي أن الزخم الابتدائي لنظام معزول

يساوي زخمه الزاوي النهائي. أما إذا أعيد توزيع كتلة النظام المعزول الذي يتحرك حركة دورانية،

فإن عزم القصور الذاتي والسرعة الزاوية لنظام يتغيران بحيث يبقى الزخم الزاوي ثابتا؛فبما أن 

$\left(L=I \omega \right)$، فإنه عند تغير $\left(\mathrm{I}\right)$ يجب أن تتغير  $\left(\mathrm{\omega }\right)$ للنظام بحيث يبقى الزخم الزاوي ثابتا. وأعبر عن

ذلك رياضيا كما يأتي:

${\mathbf{I}}_{\mathbf{f}}\mathbf{ }{\mathbf{\omega }}_{\mathbf{f}}\mathbf{=}{\mathbf{I}}_{\mathbf{i}}\mathbf{ }{\mathbf{\omega }}_{\mathbf{i}}\mathbf{=}\mathbf{constant}$

يقل عزم القصور الذاتي للمتزلج عندما يضم يديه نحو جسمه ويضم قدميه معا. 

 فيزداد مقدار سرعته الزاوية بحسب قانون حفظ الزخم الزاوي.  

تطبيق عملي على قانون حفظ الزخم الزاوي

يبين الشكل متزلجا على الجليد يدور حول محور عمودي على سطح الأرض ويمر بمركز كتلته. يمكن 

التعامل مع المتزلج على أنه نظام معزول حيث وزنه والقوة العمودية تؤثران في الاتجاه الرأسي

وعزم كل منهما حول محور الدوران يساوي صفر،كما أن مقدار قوة الاحتكاك بين الزلاجات  والجليد

صغير جدا ويمكن إهمال العزم الناتج منه حول محور الدوران. هذا يعني أن الزخم الزاوي للمتزلج

محفوظ $\left(I\omega =\mathrm{constant}\right)$.

أثناء التزلج يضم المتزلج قدميه وذراعيه فما أثر ذلك على حركته الدورانية؟ عندما يضم المتزلج

يديه وقدميه نحو  جسده يقل عزم قصوره الذاتي، فيزداد مقدار سرعته الزاوية بحيث يبقى

زخمه الزاوي ثابتا.

المثال (11) ( صفحة 65 في الكتاب) 

ثلاثة أطفال كتلهم $\left(20, 28, 32 \mathrm{kg}\right)$ يقفون عند حافة لعبة دوارة على شكل قرص

دائري منتظم كتلته$\left(\mathrm{M}= 100 \mathrm{kg}\right)$، ونصف قطره $\left(r=2.0 \mathrm{m}\right)$، ويدور بسرعة زاوية ثابتة

مقدارها $\left(2 \mathrm{rad}/\mathrm{s}\right)$ حول محور دوران ثابت عمودي على سطح القرص ويمر في مركزه

باتجاه محور (y). تحرك الطفل الذي كتلته $\left(20.0 \mathrm{kg}\right)$ ووقف عند مركز القرص.

أحسب مقدار السرعة الزاوية الجديدة للعبة الدوارة. 

المعطيات: 

$M=100 \mathrm{kg}, r=2.0 \mathrm{m}, m_1=20.0 \mathrm{kg}, m_2=28.0 \mathrm{kg}, m_2=32.0 \mathrm{kg},{\omega }_{\mathrm{i}}=2 \mathrm{rad}/\mathrm{s}$

المطلوب:  ${\omega }_{\mathrm{f}}=?$

الحل: 

يمكن التعامل مع النظام على أنه معزول، لذا يكون الزخم الزاوي محفوظا: 

$L_{\mathrm{i}}=L_{\mathrm{f}} \Rightarrow {\mathrm{I}}_{\mathrm{i}} {\mathrm{\omega }}_{\mathrm{i}} ={\mathrm{I}}_{\mathrm{f}} {\mathrm{\omega }}_{\mathrm{f}}$

عزم القصور الذاتي الابتدائي للنظام يساوي مجموع عزم القصور الذاتي للأطفال 

 الثلاثة والقرص ويحسب باستخدام المعادلة:

$$\begin{gathered} I_{\mathrm{i}}= \frac{1}{2}M r^2 +\left(m_1+m_2+m_3\right) r^2 \\ = \frac{1}{2} \left(100\right)\left(4\right) + \left(20+28+32\right)\left(4\right) =520 \mathrm{kg}.{\mathrm{m}}^2 \end{gathered}$$

عزم القصور الذاتي النهائي  للنظام يساوي مجموع عزم القصور الذاتي لطفلين فقط

 والقرص؛ لأن عزم  لاقصور الذاتي للطفل الذي يجلس عند مركز القرص يساوي صفر

ويحسب باستخدام المعادلة:

$$\begin{gathered} I_{\mathrm{f}} = \frac{1}{2} M R^2 +\left(m_2+m_3\right) r^2 \\ =\frac{1}{2} \left(100\right)\left(4\right)+\left(28+32\right)\left(4\right)= 440\mathrm{Kg}.{\mathrm{m}}^2 \end{gathered}$$

باستخدام قانون حفظ الزخم الزاوي نحسب السرعة الزاوية النهائية : 

$$\begin{gathered} I_{\mathrm{i}} {\omega }_{\mathrm{i}} =I_{\mathrm{f}} {\omega }_{\mathrm{f}} \\ 520 \times 2=440 \times {\omega }_{\mathrm{f}} \\ {\omega }_{\mathrm{f}} = \frac{1040}{440}=2.37 \mathrm{rad}/\mathrm{s} \approx 2.4 \mathrm{rad}/\mathrm{s} \end{gathered}$$

الوضع الابتدائي:

الأطفال الثلاثة يقفون عند حافة القرص. 

الوضع النهائي:

أحد الأطفال تحرك من مكانه ليقف عند مركز القرص