رياضيات فصل أول

الثامن

الشرح الملخص أوراق العمل حل اسئلة الدرس النتاجات

تطابقُ المثلثاتِ (ASA, AAS)

أتحققُ من فهمي 1 : في الشكلِ المجاورِ، إذا علمْتُ أنَّ $∠ U X V ≅ ∠ W X V$ فأثبت أن $∆ U X V ≅ ∆ W X V$ باستعمالِ البرهانِ ذي العمودَينِ.

العبارات	المبررات
$X V ≅ X V$	ضلع مشترك
$∠ W X V ≅ ∠ U X V$	معطى
$∠ W V X ≅ ∠ U V X$	زاوية قائمة
$∆ U X V ≅ ∆ W X V$	ASA

أتحققُ من فهمي 2 : في الشكلِ المجاورِ، إذا علمْتُ أنَّ $H F ∥ G K$ وأنًَ $∠ K, ∠ F$ زاويتان قائمتان ، فأثبت أنَّ $∆ H F G ≅ ∆ G K H$ باستعمالِ البرهانِ السهمي .

أتحققُ من فهمي 3 : في الشكلِ المجاورِ، إذا علمْت أنَّ : $∠ A B C ≅ ∠ D E C, C A ≅ C D$ فأثبت أنَّ $A B ≅ D E$ , باستعمالِ البرهانِ ذي العمودَينِ.

العبارات	المبررات
$CA ≅ CD$	معطى
$∠ A B C ≅ ∠ D E C$	معطى
$∠ A C B ≅ ∠ D C E$	زاوية مشتركة
$∆ A B C ≅ ∆ D E C$	AAS
$AB ≅ DE$	ضلعان متناظران في مثلثين متطابقين

أتحققُ من فهمي 4 :

طائرةٌ ورقيةٌ: إذا كانَتْ N في الطائرةِ الورقيةِ المجاورةِ نقطةَ منتصفِ $JL$ , $K M ⊥ J L$ و $∠ K L N ≅ ∠ K J N$ فأثبت أنَّ $K J ≅ K L$ .

العبارات	المبررات
$∠ K L N ≅ ∠ K J N$	معطى
$J N ≅ \bar{L N}$	لأن N نقطة المنتصف
$∠ K N L ≅ ∠ K N J$	زاوية قائمة ( $KM ⊥ JL$ )
$∆ K N L ≅ ∆ K N J$	ASA
$KJ ≅ KL$	ضلعان متناظران في مثلثين متطابقين

أتدرب وأحل المسائل :

أحددُ أنَّهُ يمكنُ إثباتُ تطابقِ كلِّ زوجٍ مِنَ المثلثاتِ الآتيةِ أَمْ لا، مبررًا إجابتي:

الحل : لا يمكن إثبات التطابق لأن المعطيات لا تكفي ، (زاويتان فقط لا تكفي لإثبات التطابق).

الحل : يمكن إثبات التطابق بزاويتين وضلع غير محصور AAS

حيث : $∠ J K L ≅ ∠ N M L$

$\bar{KJ} ≅ \bar{MN}$

$∠ K L J ≅ ∠ M L N$

ملاحظة : $∠ K L J ≅ ∠ M L N$ ( تقابل بالرأس)

الحل : لا يمكن إثبات التطابق لأن المعطيات لا تكفي ، (ضلعان وزاوية غير محصورة لا تكفي لإثبات التطابق إلا في المثلث قائم الزاوية).

4 ) في الشكلِ المجاورِ، إذا علمْتُ أنَّ $P R$ ينصف $∠ Q P S$ و $∠ Q R P ≅ ∠ S R P$ فأثبت أنَّ $△ Q R P ≅ ∆ S R P$ .

العبارات	المبررات
$∠ Q R P ≅ ∠ S R P$	معطى
$∠ S P R ≅ ∠ Q P R$	نتيجة (لأن $P R$ تنصف $∠ Q P S$ )
$P R$	ضلع مشترك
$△ Q R P ≅ ∆ S R P$	ASA

5) في الشكلِ المجاورِ، إذا علمْتُ أنَّ $D B ≅ D C$ , $∠ A D B ≅ ∠ A D C$ , $∠ A B D ≅ ∠ A C D$ فأثبت أنَّ $∆ A B D ≅ ∆ A C D$ .

العبارات	المبررات
$∠ A D B ≅ ∠ A D C$	معطى
$∠ A B D ≅ ∠ A C D$	معطى
$DB ≅ DC$	معطى
$∆ A B D ≅ ∆ A C D$	ASA

6) أستعمل المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ الآتي لكتابةِ برهانٍ ذي عمودَينِ؛ لأثبتَ أنَّ $∆ A B C ≅ ∆ Q R S$

العبارات	المبررات
$∠ A ≅ ∠ Q$	معطى
$∠ B ≅ ∠ R$	معطى
$A C ≅ Q S$	معطى
$∆ A B C ≅ ∆ Q R S$	AAS

7) استعمل المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ الآتي لكتابةِ برهانٍ ذي عمودَينِ؛ لأثبتَ أنَّ $∆ A B C ≅ ∆ D B C$ .

العبارات	المبررات
$∠ A ≅ ∠ D$	معطى
$∠ A C B ≅ ∠ D C B$	معطى
$B C$	ضلع مشترك
$∆ A B C ≅ ∆ D B C$	AAS

8) أستعملُ المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ الآتي، لكتابةِ برهانٍ سهميٍّ؛ لأثبت أنَّ $A C ≅ D B$ .

9) أستعملُ المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ الآتي، لكتابةِ برهانٍ سهميٍّ؛ لأثبتَ أنَّ $G K ≅ H J$ .

حديقةٌ: تخططُ سالي لزراعةِ حديقتِها مستطيلةِ الشكلِ بأنواعٍ مختلفةٍ مِنَ الزهورِ في أربعةِ أحواضٍ مثلثةِ الشكلِ كما في الشكلِ المجاورِ. إذا علمْتُ أنَّ F نقطة منتصف $D G$ و $∠ C D F ≅ ∠ F G H$ فأثبت أنَّ :

$10) ∆ C F D ≅ ∆ H F G$

العبارات	المبررات
$∠ C D F ≅ ∠ F G H$	معطى
$D F ≅ G F$	معطى
$∠ D F C ≅ ∠ H F G$	تقابل بالرأس
$∆ C F D ≅ ∆ H F G$	ASA

$11) C F ≅ H F$

العبارات	المبررات
$∠ C D F ≅ ∠ F G H$	معطى
$DF ≅ GF$	معطى
$∠ D F C ≅ ∠ H F G$	تقابل بالرأس
$∆ C F D ≅ ∆ H F G$	ASA
$CF ≅ HF$	ضلعان متناظران في مثلثان متطابقان

12) نهرٌ: أعودُ إلى فقرةِ (أستكشفُ) بدايةَ الدرسِ، وأثبتُ أنَّ $A B ≅ D E$ .

العبارات	المبررات
$A C ≅ D C$	معطى
$∠ C D E ≅ ∠ C A B$	معطى (قائمة)
$∠ B C A ≅ ∠ F C D$	تقابل بالرأس
$∆ B A C ≅ ∆ E D C$	ASA
$AB ≅ DE$	ضلعان متناظران في مثلثان متطابقان

13 ) تحدٍّ: أستعملُ المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ المجاورِ لكتابةِ برهانٍ ذي عمودَينِ؛ لأثبتَ أنَّ $∆ P U R ≅ ∆ Q S V$ .

العبارات	المبررات
$∠ P R U ≅ ∠ Q V S$	معطى
$∠ P U R ≅ ∠ Q S V$	معطى
$R S ≅ V U$	معطى
$SU ≅ SU$	منطقة مشتركة
$RU ≅ VS$	$RS + S U ≅ VU + S U$
$∆ P U R ≅ ∆ Q S V$	ASA

14) تبريرٌ: هَلْ يمكنُ إثباتُ تطابقِ $∆ M N Q ≅ ∆ Q P M$ بالاعتمادِ على المعلوماتِ المعطاةِ على الشكلِ المجاورِ ؟ أبرّرُ إجابتي

لا ، لا يمكن إثبات التطابق ، لأن المعطيات لا تكفي حيث نحتاج في هذه الحالة إلى ضلعٍ وازويتين متطابقين مع نظائرهم في المثلث الآخر ، ولا نملك منها إلا ضلع مشترك.

توضيح : الزاوية المتشكلة من التقابل بالرأس ، والزاوية المتشكلة من التبادل الداخلي بين الضلعين المتوازيين ليس لها فائدة هنا لأنها ليست الزاويا المطلوبة للإثبات .

15) أكتبُُ كيفَ أتحققُ مِنْ تطابقِ مثلثَينِ باستعمالِ زاويتَينِ وضلعٍ محصورٍ بينَهُما؟

يمكن التحقق من خلال مقارنة الزاويا المتناظرة مع بعضها ـ والأضلاع المتناظرة مع بعضها

كتاب التمارين :

أحددُ ما إذا كانَتْ جملةُ التطابقِ صحيحةً أَمْ لا في كلٍّ ممّا يأتي، مبرّرًا إجابتي:

نعم صحيحة ، يمكن إثبات التطابق بزاويتين وضلع غير محصور AAS حيث : $∠ B A C ≅ ∠ B D C$

$∠ D C A ≅ ∠ A C B$

$BC ≅ BC$

غير صحيحة ، لا يمكن إثبات التطابق ، لأن المعطيات لا تكفي حيث لا نملك إلا ضلع مشترك وزاوية .

غير صحيحة ، المثلثين متطابقين و يمكن إثبات التطابق بزاويتين وضلع غير محصور AAS حيث : $∠ R ≅ ∠ J$

$∠ S ≅ ∠ M$

$ST ≅ MP$

لكن $R S ≇ J P$ لأن الأضلاع المتطابقة هي : $RS ≅ JM$

$ST ≅ MP$

$TR ≅ PJ$

4) أستعملُ المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ الآتي لكتابةِ برهانٍ ذي عمودَينِ؛ لأثبتَ أنَّ $∠ 1 ≅ ∠ 2$

العبارات	المبررات
$∠ A B E ≅ ∠ C B E$	معطى (قائمة)
$∠ A E B ≅ ∠ C E B$	معطى
$BE ≅ B E$	ضلع مشترك
$∆ A B E ≅ ∆ C B E$	ASA
$∠ B A E ≅ ∠ B C E$	نتيحة ( $∆ A B E ≅ ∆ C B E$ )
$∠ F A E ≅ ∠ D C E$	نتيحة( $∆ A B E ≅ ∆ C B E$ ) /تتمة الزاوية القائمة
$AE ≅ CE$	نتيجة( $∆ A B E ≅ ∆ C B E$ )
$AF ≅ CD$	معطى
$△ A E F ≅ ∆ C E D$	SAS
$∠ 1 ≅ ∠ 2$	زاويتان متناظرتان في مثلثان متطابقان

5) أستعملُ المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ الآتي لكتابةِ برهانٍ ذي عمودَينِ؛ لأثبتَ أنّ : $∆ S T V ≅ ∆ U V W$ .

العبارات	المبررات
$∠ V ≅ ∠ T$	معطى(زاوية قائمة)
$∠ W U V ≅ ∠ V S T$	معطى
$U V ≅ S T$	معطى
$∆ S T V ≅ ∆ U V W$	ASA

6) أستعملُ المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ الآتي لكتابةِ برهانٍ سهميٍّ؛ لأثبتَ أنَّ $\bar{Q W} ≅ \bar{V T}$ .

7) في الشكلِ الآتي، إذا علمْتُ أنَّ $A D ≅ E D$ و $∠ A ≅ ∠ E$ ، فأكتبُ برهانًا سهميًّا، لأثبتَ أنَّ $∆ A D C ≅ ∆ E D G$ .

8) أكتشفُ الخطأَ: أكتشفُ الخطأَ في جملةِ التطابقِ الآتيةِ، مبررًا إجابتي:

الخطأ هو أنَّ المعطيات هي : ثلاثة زاويا

و لا يمكن إثبات التطابق بثلاثة زوايا ، بل نحتاج على الأقل إلى ضلع واحد .

رياضيات فصل أول

الثامن

التطبيق لنظام

MAC

التطبيق لنظام

WINDOWS