رياضيات أدبي فصل أول

حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين 

أسئلة أتحقق من فهمي 

أتحقق من فهمي صفحة 9

أُحدد إذا كان الزوج المرتب يُمثل حلًا للمتباينة : x + 2y > 1 ، في كلٍّ مما يأتي : 

a) (2, 3)                                    b) (1, -2)                                c) (1, 0)

الحل : 

الزوج المرتب	المتباينة الخطية	التعويض في المتباينة
a) (2 , 3)	x + 2y > 1	2 + 2(3) $\stackrel{?}{> }$ 1                            8  >  1              ✔	عبارة صحيحة إذن الزوج المرتب  (2 , 3) حل لهذه المتباينة
b) (1, -2)	x + 2y > 1	1 + 2 (-2) $\stackrel{?}{> }$ 1                         -3  $\ngtr$  1           ✘	عبارة غير صحيحة إذن الزوج المرتب (2 - ، 1)  ليس حلًا لهذه المتباينة
c) (1, 0)	x + 2y > 1	1 + 2(0) $\stackrel{?}{> }$ 1                         1  $\ngtr$  1           ✘	عبارة غير صحيحة إذن الزوج المرتب (0 ، 1)  ليس حلًا لهذه المتباينة

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

أتحقق من فهمي صفحة 11

أُمثِّل المتباينة الخطية : 4x - 5y ≥ 2 على المستوى الإحداثي.

الحل : 

الخطوة 1 : تمثيل المستقيم الحدودي 2  =  4x - 5y   

0.5	0	x
0	0.4 -	y

 

 

أُعيِّن النقطتين ( 0.4 - , 0) و (0 ,0.5) على المستوى الإحداثي ، ثم أرسم مستقيمًا يمر بهما. وبما أنَّه توجد مساواة في رمز المتباينة فإنَّ المستقيم الحدودي يُرسَم متصلًا  

الخطوة 2 : تحديد منطقة الحلول المُمكِنة.

أختار نقطة لا تقع على المستقيم الحدودي ، مثل (2 , 2) ، ثم أتحقَّق إذا كان الناتج صحيحًا أم لا عند تعويضها في المتباينة : 

$$\begin{gathered} 4x - 5y \stackrel{?}{\ge } 2 \\ 4\left(2\right) - 5\left(2\right) \stackrel{?}{\ge } 2 \\ -2 \ngeqq 2 \end{gathered}$$

الخطوة 3 : تظليل منطقة الحلول المُمكِنة.

بما أنَّ النقطة ( 2 , 2) لا تحقق المتباينة ، إذن أظلل المنطقة التي لا تقع فيها النقطة ( 2 , 2)

---

 

أتحقق من فهمي صفحة 13

مطاعم: مطعم مساحة صالته $m^2$ 64   ، وهي تتَّسع لعدد x من الطاولات الصغيرة، وعدد y من الطاولات الكبيرة. تشغل الطاولة الصغيرة مساحة $m^2$ 2.5  ، وتشغل الطاولة الكبيرة مساحة $4 m^2$ . أجد عدد الطاولات الصغيرة والكبيرة التي يُمكن وضعها في صالة المطعم.

الحل : 

الخطوة 1 : التعبير عن المسألة جبريًّا بمتباينة خطية.

المساحة التي ستشغلها الطاولات الصغيرة = $2.5 x$  (عدد الطاولات الصغيرة مضروبًا في المساحة التي ستشغلها الطاولة الواحدة)  

المساحة التي ستشغلها الطاولات الكبيرة  =  $4 y$  (عدد الطاولات الكبيرة مضروبًا في المساحة التي ستشغلها الطاولة الواحدة)  

إذن المتباينة :  $2.5 x + 4y \le 64$

 

الخطوة 2 : تمثيل المتباينة بيانيًّا.

1) رسم المستقيم الحدودي :  $2.5 x + 4y = 64$

25.6	0	x
0	16	y

 

 

2) اختبار نقطة لا تقع على المستقيم الحدودي وتعويضها في المتباينة  $2.5 x + 4y \le 64$ ، ثم تحديد منطقة الحل . 

•• هنا تنحصر منطقة الحل في الربع الأول من المستوى الإحداثي ؛ لأن أعداد الطاولات لا يكون سالبًا ، ويُؤخذ من منطقة الحل الأعداد الصحيحة فقط لأن أعداد الطاولات لا يكون إلا عددًا صحيحًا . 

---

 

 

أسئلة أتدرب وأحل المسائل

أُحدّد إذا كان كل زوج مُرتب مما يأتي يُمثل حلًا للمتباينة :  x  -  3y  ≥  5 :

1)  (1, -2)                                           2) (5, 0)                                                    3) (-4, 1)

4) (-3, -4)                                         5) (- 4, 0)                                                  6) (5, 2)

الحل : 

	التعويض في المتباينة	المتباينة الخطية	الزوج المرتب
عبارة صحيحة إذن الزوج المرتب  (2- , 1) حل لهذه المتباينة	1 - 3(-2) $\stackrel{?}{\ge }$ 5                 7  $\ge$ 5    ✔	x  -  3y  ≥  5	1)  (1, -2)
عبارة صحيحة إذن الزوج المرتب  (0 , 5) حل لهذه المتباينة	5 - 3(0) $\stackrel{?}{\ge }$ 5                 5 $\ge$ 5     ✔	x  -  3y  ≥  5	2) (5, 0)
عبارة غير صحيحة إذن الزوج المرتب  (1 ,  4 -) ليس حلًا لهذه المتباينة	- 4 - 3(1) $\stackrel{?}{\ge }$ 5                      - 7 $\ngeqq$ 5         ✘	x  -  3y  ≥  5	3) (-4, 1)
عبارة صحيحة إذن الزوج المرتب  (4- ,  3-) حل لهذه المتباينة	-3 - 3(- 4) $\stackrel{?}{\ge }$ 5                       9 $\ge$ 5       ✔	x  -  3y  ≥  5	4) (-3, -4)
عبارة غير صحيحة إذن الزوج المرتب  (0 ,  4 -) ليس حلًا لهذه المتباينة	- 4 - 3(0) $\stackrel{?}{\ge }$ 5                    - 4 $\ngeqq$ 5       ✘	x  -  3y  ≥  5	5) (- 4, 0)
عبارة غير صحيحة إذن الزوج المرتب  (2 ,  5) ليس حلًا لهذه المتباينة	5 - 3(2) $\stackrel{?}{\ge }$ 5                 - 1 $\ngeqq$ 5       ✘	x  -  3y  ≥  5	6) (5, 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

أُحدّد إذا كان كل زوج مُرتب مما يأتي يُمثل حلًا للمتباينة : 5x - 2y < 6 :

7) (0, 0)                                           8) (2, 2)                                                     9) (4, 1)

10) (-2, -1)                                       11) (-2, -8)                                                 12) (-1, -6) 

الحل : 

	التعويض في المتباينة	المتباينة الخطية	الزوج المرتب
عبارة صحيحة إذن الزوج المرتب  (0 ,  0) حل لهذه المتباينة	5(0) - 2(0) < 6    ✔	5x - 2y < 6	7) (0, 0)
عبارة غير صحيحة إذن الزوج المرتب  (2 , 2) ليس حلًا لهذه المتباينة	5(2) - 2(2) $\stackrel{?}{<}$  6  6  $\nless$ 6	5x - 2y < 6	8) (2, 2)
عبارة غير صحيحة إذن الزوج المرتب  (1 , 4) ليس حلًا لهذه المتباينة	5(4) - 2(1) $\stackrel{?}{<}$  6 18 $\nless$ 6	5x - 2y < 6	9) (4, 1)
عبارة صحيحة إذن الزوج المرتب  (1- ,  2-) حل لهذه المتباينة	5(-2) - 2(-1) $\stackrel{?}{<}$ 6 - 3  <  6     ✔	5x - 2y < 6	10) (-2, -1)
عبارة غير صحيحة إذن الزوج المرتب  (8- , 2-) ليس حلًا لهذه المتباينة	5(-2) - 2(-8) $\stackrel{?}{<}$ 6 11 $\nless$ 6	5x - 2y < 6	11) (-2, -8)
عبارة غير صحيحة إذن الزوج المرتب  (6- , 1-) ليس حلًا لهذه المتباينة	5(-1) - 2(-6) $\stackrel{?}{<}$ 6 7 $\nless$ 6	5x - 2y < 6	12) (-1, -6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

أُمثِّل كلًا من المتباينات الخطية الآتية على المستوى الإحداثي :

13)  8y + 3x < 2                                14) 4x ≤ 8                                                 15) 2x - 9y ≥ -3

16) 5y - 8x ≥ 1                                  17) -3y < 12                                               18) 6x + 3y > -5

الحل : 

13)  8y + 3x < 2 

1) رسم المستقيم الحدودي :  8y + 3x = 2 

$\frac{2}{3}$	0	x
0	$\frac{1}{4}$	y

 

 

 

2) اختبار نقطة لا تقع على المستقيم الحدودي وتعويضها في المتباينة 8y + 3x < 2 ، ثم تحديد منطقة الحل . 

---

 

14) 4x ≤ 8     

1) رسم المستقيم الحدودي : 4x = 8   $\Leftarrow$ $x = 2$  ، وهو خط مستقيم يقطع محور x عند x = 2 ويوازي محور y

2) اختبار نقطة لا تقع على المستقيم الحدودي وتعويضها في المتباينة  4x ≤ 8  ، ثم تحديد منطقة الحل . 

 

---

   15) 2x - 9y ≥ -3

1) رسم المستقيم الحدودي :   2x - 9y = -3

$-\frac{3}{2}$	0	x
0	$\frac{1}{3}$	y

 

 

 

2) اختبار نقطة لا تقع على المستقيم الحدودي وتعويضها في المتباينة 2x - 9y ≥ -3 ، ثم تحديد منطقة الحل . 

---

16) 5y - 8x ≥ 1 

1) رسم المستقيم الحدودي :  5y - 8x = 1  

$-\frac{1}{8}$	0	x
0	$\frac{1}{5}$	y

 

 

 

2) اختبار نقطة لا تقع على المستقيم الحدودي وتعويضها في المتباينة 5y - 8x ≥ 1  ، ثم تحديد منطقة الحل . 

---

 

17) -3y < 12 

1) رسم المستقيم الحدودي :  3y = 12 - $\Leftarrow$ $y =-4$  ، وهو خط مستقيم يقطع محور y عند y = - 4 ويوازي محور x

2) اختبار نقطة لا تقع على المستقيم الحدودي وتعويضها في المتباينة  3y < 12- ، ثم تحديد منطقة الحل . 

---

 

   18) 6x + 3y > -5

1) رسم المستقيم الحدودي : 6x + 3y = -5    

$-\frac{5}{6}$	0	x
0	$-\frac{5}{3}$	y

2) اختبار نقطة لا تقع على المستقيم الحدودي وتعويضها في المتباينة 6x + 3y > -5 ، ثم تحديد منطقة الحل . 

 

---

 

19) اختبارات : تُمثِّل المتباينة : 3x + 2y ≥ 93 عدد أسئلة الاختيار من مُتعدد ( x ) ، وأسئلة ملء الفراغ ( y ) التي يتعيَّن على منى الإجابة عنها بصورة صحيحة لنيل درجة A في اختبار التربية الإسلامية. إذا أجابت إجابة صحيحة عن 20 سؤالًا من أسئلة الاختيار من مُتعدِّد ، وعن 18 سؤالًا من أسئلة ملء الفراغ ، فهل ستنال درجة A في الاختبار؟

الحل : 

أعوض  x = 20   ، y = 18  في المتباينة 3x + 2y ≥ 93 

$$\begin{gathered} 3\left(20\right) + 2\left(18\right) \stackrel{?}{\ge 93} \\ 96 \stackrel{ }{\ge 93 } ✔ \end{gathered}$$

إذن : ستنال منى درجة A في الاختبار.

 

---

 

20) شاحنات : تستطيع شاحنة حمل $4000 kg$ من صناديق البضائع. إذا وُجِد عدد x من الصناديق التي كتلة كلٍّ منها $50 kg$ ، وعدد y من الصناديق التي كتلة كلٍّ منها  $95 kg$ ، فما عدد الصناديق التي يُمكِن للشاحنة حملها من كلا النوعين؟

الحل : 

المتباينة :  $50x + 95y \le 4000$

أمثل المتباينة : 

يُؤخذ من منطقة الحل الأعداد الصحيحة الموجبة . 

---

 

21) أُمثِّل بيانيًّا منطقة حَلِّ المتباينة: x + y < c ، حيث c عدد صحيح موجب.

الحل : 

أمثل المتباينة x + y < 1  ، وهي تتضمن قيم c الصحيحة جميعها 

 

---

 

 

22) أيّ جهتي المستقيم في الشكل المجاور تُمثل منطقة حلّ المتباينة، مُبررًا إجابتي؟      y ≤ x + 2

 

 

 

 

 

 

 

الحل : المنطقة التي تمثل حلًا للمتباينة تقع أسفل الخط المستقيم في الربع الأول من المستوى الإحدائي ؛ وذلك لقيود الرسم البياني المُرفق مع المتباينة .  

---

 

23) أحُلُّ المسألة الواردة في بند (مسألة اليوم).

مسألة اليوم : تصنع نهى أساور وأطواقًا من الخرز ، وتستعمل 10 حبّات من الخرز لصنع السِّوار الواحد، و 45 حبَّة لصنع الطوق الواحد.
كم سِوارًا وطوقًا يُمكِنها أنْ تصنع من 214 حبَّة خرز؟

الحل : 

أفرض عدد الأساور  = x   ، وعدد الأطواق  = y

المتباينة : $10x + 45y \le 214$

أمثل المتباينة :

يُؤخذ من منطقة الحل الأعداد الصحيحة الموجبة . 

 

---

24)   أكتشف الخطأ : مثَّل سفيان المتباينة: y ≤ 3x - 2 بيانيًّا على النحو الآتي:

                                                                                                                                                                             

أكتشف الخطأ في تمثيل سفيان، ثم أُصحِّحه.

الحل : 

الخطأ الذي وقع فيه سفيان هو تظليل المنطقة الأخرى التي لا تُمثل منطقة الحل .

التمثيل الصحيح : 

 

---

25) تبرير : عند تمثيل متباينة خطية بمتغيرين بيانيًّا، لماذا تُختار فقط نقطة اختبار لا تقع على المستقيم الحدودي؟ أُبرِّر إجابتي. 

الإجابة  : 

لان النقطة التي تقع على المستقيم الحدودي تحقق دائماً المعادلة المرتبطة بالمتباينة.

---

26)   تحدٍّ : أكتب متباينة خطية بمتغيرين، بحيث تقع النقطتان ( 5- , 2-) و ( 5 , 3) على المستقيم الحدودي، وتقع النقطتان ( 5 , 6) و ( 3 , 2) في منطقة الحلول المُمكِنة، ثم أُمثِّل المتباينة بيانيًّا.

الحل : 

أجد معادلة الخط المستقيم الحدودي : 

$m = \frac{-5-5}{-2-3} = 2$

$$\begin{gathered} y - y_1 = m (x-x_1) \\ y -5 =2 (x - 3) \\ y = 2x - 1 \end{gathered}$$

أمثل المستقيم في المستوى الإحداثي ، وأعين النقطتين في المستوى لأستنتج من النقطة A أنّ منطقة الحل تقع يمين المستقيم الحدودي ، ومن النقطة B أنّ المستقيم الحدودي من ضمن منطقة الحل ؛ لذا يُرسم متصلًا: 

 

أختبر النقطة A  بالتعويض في معادلة المستقيم الحدودي  :

$$\begin{gathered} y = 2x - 1 \\ 5 \stackrel{?}{=} 2\left(6\right) - 1 \\ 5 \le 11 \end{gathered}$$

إذن المتباينة هي : $y \le 2x - 1$

 

---

 

 

أسئلة كتاب التمارين

أُحدد إذا كان الزوج المُرتب يُمثل حلًا للمتباينة :  2x - 8y ≤ - 6 ، في كلٍّ مما يأتي : 

1) (1 , 1)                                                     2) (0 , 3)                                                  3) (2 , -3)

الحل : 

	التعويض في المتباينة	المتباينة الخطية	الزوج المرتب
عبارة صحيحة إذن الزوج المرتب  (1 ,  1) حل لهذه المتباينة	2(1) - 8(1) $\stackrel{?}{\le }$ - 6 - 6  ≤ -6    ✔	2x - 8y ≤ - 6	1) (1 , 1)
عبارة صحيحة إذن الزوج المرتب  (3 ,  0) حل لهذه المتباينة	2(0) - 8(3) $\stackrel{?}{\le }$ - 6 - 24 ≤  - 6   ✔	2x - 8y ≤ - 6	2) (0 , 3)
عبارة غير صحيحة إذن الزوج المرتب  (3 - , 2) ليس حلًا لهذه المتباينة	2(2) - 8(-3) $\stackrel{?}{\le }$ - 6 28 $\stackrel{ }{\nleqq }$ - 6	2x - 8y ≤ - 6	3) (2 , -3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

4) أُحدِّد المتباينة الخطية التي يُمثِّل الزوج ( 1- , 2) حَلًا لها مما يأتي :

x + y < 1                                                    2x + 3y ≥ 4                                           5x - y > -2

الحل : 

 

	التعويض في المتباينة	المتباينة الخطية	الزوج المرتب
عبارة غير صحيحة إذن الزوج المرتب  (1 - , 2) ليس حلًا للمتباينة x + y < 1	2 + (-1) $\stackrel{?}{<}$ 1    1 $\nless$ 1	x + y < 1	( 1- , 2)
عبارة غير صحيحة إذن الزوج المرتب  ( 1- ,  2) ليس حلًا  للمتباينة  2x + 3y ≥ 4	2(2) + 3(-1) $\stackrel{?}{\ge }$ 4   1 $\ngeqq$ 4	2x + 3y ≥ 4	( 1- , 2)
عبارة صحيحة إذن الزوج المرتب  ( 1- ,  2) حل للمتباينة  5x - y > -2	5(2) - (-1) $\stackrel{?}{>}$ -2 11 > -2   ✔	5x - y > -2	( 1- , 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

أُمثّل كلًا من المتباينات الخطية الآتية على المستوى الإحداثي:

5) 7x - 2y < 5                                                      6) -6x + 4y ≥ -2                                         7) 5x + 7y ≤ 3

8) -x - y > -1                                                        9) x - 9y ≥ -6                                           10) -4x - 7y < 8

 

الحل : 

5) 7x - 2y < 5 

1) رسم المستقيم الحدودي :  7x - 2y = 5 

1	1 -	x
1	6 -	y

  

     

2) اختبار نقطة لا تقع على المستقيم الحدودي وتعويضها في المتباينة 7x - 2y < 5 ، ثم تحديد منطقة الحل . 

 

---

 

6) -6x + 4y ≥ -2 

1) رسم المستقيم الحدودي :   6x + 4y = -2 -  

1-	1	x
2-	1	y

  

 

2) اختبار نقطة لا تقع على المستقيم الحدودي وتعويضها في المتباينة   6x + 4y ≥ -2 -  ، ثم تحديد منطقة الحل . 

 

---

 7) 5x + 7y ≤ 3

1) رسم المستقيم الحدودي :  5x + 7y = 3     

5 -	2	x
4	1 -	y

 

 

2) اختبار نقطة لا تقع على المستقيم الحدودي وتعويضها في المتباينة 5x + 7y ≤ 3 ، ثم تحديد منطقة الحل . 

 

---

 

8) -x - y > -1   

1) رسم المستقيم الحدودي :   x - y = -1 -     

1	0	x
0	1	y

   

 

2) اختبار نقطة لا تقع على المستقيم الحدودي وتعويضها في المتباينة  x - y > - 1 -  ، ثم تحديد منطقة الحل . 

 

---

  9) x - 9y ≥ - 6 

 1) رسم المستقيم الحدودي :    x - 9y = - 6     

6 -	3	x
0	1	y

 

 

2) اختبار نقطة لا تقع على المستقيم الحدودي وتعويضها في المتباينة x - 9y ≥ - 6   ، ثم تحديد منطقة الحل . 

 

---

 

 10) -4x - 7y < 8

 1) رسم المستقيم الحدودي :  4x - 7y = 8 -  

2-	1.5	x
0	2 -	y

 

 

2) اختبار نقطة لا تقع على المستقيم الحدودي وتعويضها في المتباينة   4x - 7y < 8 -  ، ثم تحديد منطقة الحل . 

 

---

 

11) طلاء : أراد زياد شراء نوعين من ألوان الطلاء ، سعر النوع الأول دينار واحد لكل كيلوغرام، وسعر النوع الثاني 1.25 دينار لكل كيلوغرام. كم كيلوغرامًا من كل نوع سيشتري زياد إذا كان معه 6 دنانير؟

الحل : 

$x + 1.25 y \le 6$

 

---

 

12) مطاعم : يبيع مطعم للوجبات السريعة نوعين من الوجبات، سعر النوع الأول 4 دنانير ، وسعر النوع الثاني 3 دنانير. أجد عدد الوجبات التي يجب بيعها من كل نوع يوميًّا، بحيث لا يقل سعرها عن مصروفات المطعم اليومية التي تبلغ 750 دينارًا.

الحل : 

أفرض عدد الوجبات المُباعة من النوع الأول  = x   ،   وعدد الوجبات المُباعة من النوع الثاني = y

المتباينة  : $4x + 3y \ge 750$

 

يؤخذ من منطقة الحل الأعداد الصحيحة الموجبة .

---

13) صناعة : يُنتِج مصنع نوعين من أنابيب الماء ، سعر النوع الأول ديناران للمتر ، وسعر النوع الثاني 1.5 دينار للمتر. أجد عدد الأمتار التي يُمكِن إنتاجها من كل نوع، بحيث لا تقل إيرادات المصنع عن 3200 دينار يوميًّا.

الحل : 

أفرض عدد الأمتار المُباعة من النوع الأول  = x   ،   وعدد الأمتار المُباعة من النوع الثاني = y

المتباينة  : $2x + 1.5y \ge 3200$

 

---

 

14) تُستعمَل $18 kg$  من مادة البلاستيك لصنع خزّان مياه صغير ، وتُستعمَل $40 kg$  من المادة نفسها لصنع خزّان مياه كبير. أجد عدد الخزّانات الصغيرة والكبيرة التي يُمكِن صنعها باستعمال $1000 kg$من مادة البلاستيك.

الحل : 

أفرض عدد الخزانات الصغيرة = x   ،   وعدد الخزانات الكبيرة   = y

المتباينة  : $18x + 40y \le 1000$

يؤخذ من منطقة الحل الأعداد الصحيحة الموجبة.