رياضيات فصل أول

أتحقق من فهمي صفحة 24.

أجد قيمة كل مما يأتي في أبسط صورة 

$a) {32}^{\frac{1}{5}}={\left(2^5\right)}^{\frac{1}{5}}=2^1=2$

$b) 9^{\frac{5}{2}}={\left(3^2\right)}^{\frac{5}{2}}={\left(3\right)}^5=243$

$c) {\left(16\right)}^{-\frac{5}{4}}={\left(2^4\right)}^{\frac{-5}{4}}={\left(2\right)}^{-5}=\frac{1}{\left(2^5\right)}=\frac{1}{32}$

---

أتحقق من فهمي صفحة 26

أجد قيمة كل مما يأتي في أبسط صورة: 

$a) a^{\frac{2}{3}}\times a^{-\frac{3}{7}}=a^{\frac{2}{3}+\frac{-3}{7}}=a^{\frac{14+-9}{21}}=a^{\frac{5}{21}}$

$b) {\left(x^{\frac{5}{2}}\right)}^{-\frac{7}{5}}=x^{\frac{5}{2}\times \frac{-7}{5}}=x^{\frac{-7}{2}}=\frac{1}{x^{{\displaystyle \frac{7}{2}}}}=\frac{1}{\sqrt[2]{x^7}}$

$c) {(y\times z)}^{\frac{5}{4}}=y^{\frac{5}{4}}\times z^{\frac{5}{4}}$

$d) \frac{x^{{\displaystyle \frac{9}{2}}}}{x^{{\displaystyle \frac{8}{5}}}}=x^{\frac{9}{2}-\frac{8}{5}}=x^{\frac{45-16}{10}}=x^{\frac{29}{10}}$

$e) {\left(\frac{x}{y^2}\right)}^{-\frac{3}{2}}=\frac{x^{{\displaystyle \frac{-3}{2}}}}{{\left(y^2\right)}^{{\displaystyle \frac{-3}{2}}}}=\frac{y^3}{x^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}}={\left(\frac{y}{\sqrt[]{x}}\right)}^3$

$f) \frac{\sqrt[5]{x^2}}{\sqrt[7]{x^3}}=\frac{x^{{\displaystyle \frac{2}{5}}}}{x^{{\displaystyle \frac{3}{7}}}}=x^{\frac{2}{5}-\frac{3}{7}}=x^{\frac{14-15}{35}}=x^{\frac{-1}{35}}=\frac{1}{x^{{\displaystyle \frac{1}{35}}}}=\frac{1}{\sqrt[35]{x}}$

---

أتحقق من فهمي صفحة 27

$a) \frac{9x^{-{\displaystyle \frac{3}{4}}}y}{3x^{{\displaystyle \frac{7}{2}}}{y}^{-{\displaystyle \frac{5}{3}}}}=3x^{\frac{-3}{4}-\frac{7}{2}}{y}^{1-\frac{-5}{3}}=3x^{\frac{-6-28}{8}}{y}^{\frac{8}{3}}=3x^{\frac{-34}{8}}{y}^{\frac{8}{3}}=\frac{3y^{{\displaystyle \frac{8}{3}}}}{x^{{\displaystyle \frac{17}{4}}}}=\frac{3\sqrt[3]{y^8}}{\sqrt[4]{x^{17}}}$

$b) \frac{\left(125y^{-{\displaystyle \frac{9}{2}}}\right)\left(10x{y}^{{\displaystyle \frac{10}{3}}}\right)}{\left(5x^{{\displaystyle \frac{5}{2}}}y\right)\left(y^{-{\displaystyle \frac{3}{7}}}\right)}=25\times 10y^{\frac{-9}{2}+\frac{10}{3}-1-\frac{-3}{7}}{x}^{1-\frac{5}{2}}=250y^{\frac{-9}{2}+\frac{10}{3}-\frac{4}{7}}{x}^{\frac{-3}{2}}=250y^{\frac{-73}{42}}{x}^{\frac{-3}{2}}=\frac{250}{\sqrt[42]{y^{73}}\sqrt[]{x^3}}$

$c) \sqrt[4]{16x^{18}{y}^{22}}={\left(16x^{18}{y}^{22}\right)}^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{16}\times x^{\frac{18}{4}}\times y^{\frac{22}{4}}=2\times x^{\frac{9}{2}}\times y^{\frac{11}{2}}=2\times \sqrt[]{x^9}\times \sqrt[]{y^{11}}$

---

أتدرب وأحل المسائل صفحة 28

أجد قيمة كل مما يأتي في أبسط صورة: 

$1) {512}^{\frac{1}{9}}={\left(2^9\right)}^{\frac{1}{9}}=2$

$2) {125}^{\frac{2}{3}}={\left(5^3\right)}^{\frac{2}{3}}=5^2=25$

$3) {36}^{-\frac{1}{2}}={\left(6^2\right)}^{\frac{-1}{2}}=6^{-1}=\frac{1}{6}$

$4) {(-243)}^{\frac{6}{5}}={(-3^5)}^{\frac{6}{5}}={(-3)}^6=729$

$5) {\left(25\right)}^{\frac{3}{2}}={\left(5^2\right)}^{\frac{3}{2}}=5^3=125$

$6) {(-64)}^{\frac{7}{3}}=(-{{\left(2\right)}^6)}^{\frac{7}{3}}=-{\left(2\right)}^{14}=-16384$

أجد قيمة كل مما يأتي في أبسط صورة: 

$7) z^{-\frac{4}{2}}\times z=z^{-2+1}=z^{-1}=\frac{1}{z}$

$8) {\left(x^{\frac{3}{5}}\right)}^{\frac{5}{7}}=x^{\frac{3}{5}\times \frac{5}{7}}=x^{\frac{3}{7}}=\sqrt[7]{x^3}$

$9) {(a^3\times b)}^{\frac{2}{3}}= {(a^3\times b)}^{\frac{2}{3}}=a^2{b}^{\frac{2}{3}}=a^2\sqrt[3]{b^2}$

$10) \frac{x^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}}{x^{{\displaystyle \frac{7}{2}}}}=x^{\frac{2}{3}-\frac{7}{2}}=x^{\frac{4-21}{6}}=x^{\frac{-17}{6}}=\frac{1}{x^{{\displaystyle \frac{17}{6}}}}=\frac{1}{\sqrt[6]{x^{17}}}$

$11) \frac{\sqrt[]{y^3}}{\sqrt[6]{y^9}}=y^{\frac{3}{2}-\frac{9}{6}}=y^{\frac{9-9}{6}}=y^0=1$

$12) \frac{k^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}\times k^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}}{k^2}=\frac{k^{{\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{3}{2}}}}{k^2}=\frac{k^2}{k^2}=1$

اكتب ما يأتي في أبسط صورة، علما بأن أيا من المتغيرات لا يساوي صفرا: 

$13) {\left(\frac{40x^{{\displaystyle \frac{3}{4}}}{y}^{-{\displaystyle \frac{7}{3}}}}{5x^{-{\displaystyle \frac{3}{2}}}{y}^{-{\displaystyle \frac{16}{3}}}}\right)}^{-\frac{2}{5}}={(8\times x^{\frac{3}{4}-\frac{-3}{2}}\times y^{\frac{-7}{3}-\frac{-16}{3}})}^{\frac{-2}{5}}={(8\times x^{\frac{9}{4}}\times y^{\frac{9}{3}})}^{\frac{-2}{5}}$

${=(8\times x^{\frac{9}{4}}\times y^3)}^{\frac{-2}{5}}=8^{\frac{-2}{5}}\times x^{\frac{-9}{10}}\times y^{\frac{-6}{5}}=\frac{1}{\sqrt[5]{8^2}\times \sqrt[10]{x^9}\times \sqrt[5]{y^6}}$

---

 

$14) \frac{27x^{{\displaystyle \frac{7}{3}}}{y}^{-{\displaystyle \frac{4}{2}}}x{z}^2}{\left(3x^2{y}^{{\displaystyle \frac{5}{2}}}\right)\left(3x^{{\displaystyle \frac{5}{3}}}{y}^{-5}\right)}=\frac{27\times x^{{\displaystyle \frac{7}{3}+1}}\times y^{-2}\times z^2}{9\times x^{2+{\displaystyle \frac{5}{3}}}\times y^{{\displaystyle \frac{5}{2}+-5}}}=\frac{3\times x^{{\displaystyle \frac{10}{3}}}\times y^{-2}\times z^2}{x^{{\displaystyle \frac{11}{3}}}\times y^{{\displaystyle \frac{-5}{2}}}}$

$= 3\times x^{\frac{10}{3}-\frac{11}{3}}\times y^{\frac{1}{2}}\times z^2=3\times x^{\frac{-1}{3}}\times y^{\frac{1}{2}}\times z^2= \frac{3z^2\sqrt[]{y}}{\sqrt[3]{x}}$

---

 

$15) \frac{{\left(a^2{b}^3\right)}^{-2}\times a{b}^4}{a^{-1}{b}^2}=\frac{a^{-4}{b}^{-6}\times a{b}^4}{a^{-1}{b}^2}=a^{-4+1+1}{b}^{-6+4-2}=a^{-2}{b}^{-4}=\frac{1}{a^2{b}^4}$

---

 

$16) \frac{{\left(8p^{-6}{q}^3\right)}^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}}{{\left(27p^{3}q\right)}^{-{\displaystyle \frac{1}{3}}}}=\frac{8^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}\times p^{-6\times {\displaystyle \frac{2}{3}}}\times q^{3\times {\displaystyle \frac{2}{3}}}}{{27}^{{\displaystyle \frac{-1}{3}}}\times p^{3\times {\displaystyle \frac{-1}{3}}}\times q^{{\displaystyle \frac{-1}{3}}}}=\frac{{\left(2^3\right)}^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}\times p^{-4}\times q^2}{{\left(3^3\right)}^{{\displaystyle \frac{-1}{3}}}\times p^{-1}\times q^{{\displaystyle \frac{-1}{3}}}}$

$=\frac{2^2\times q^{2+{\displaystyle \frac{1}{3}}}}{3^{-1}\times p^3}=\frac{4\times 3\times q^{{\displaystyle \frac{7}{3}}}}{p^3}=\frac{12\sqrt[3]{q^7}}{p^3}$

---

 

 

$17) \frac{{\left(x^{2}y\right)}^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}{\left(x{y}^2\right)}^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}}{x^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}{y}^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}}=\frac{x^{2\times {\displaystyle \frac{1}{3}}}\times y^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}\times x^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}\times y^{2\times {\displaystyle \frac{2}{3}}}}{x^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}\times y^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}}=\frac{x^{{\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}}\times y^{{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{4}{3}}}}{x^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}\times y^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}}$

$=x^{\frac{4}{3}-\frac{2}{3}}\times y^{\frac{5}{3}-\frac{2}{3}}=x^{\frac{2}{3}}y=y\sqrt[3]{x^2}$

---

 

$18) \frac{{\left(4x^{-1}{y}^{\frac{1}{3}}\right)}^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}}{{\left(xy\right)}^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}}=\frac{4^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}\times x^{-1\times {\displaystyle \frac{3}{2}}}\times y^{{\displaystyle \frac{1}{3}\times \frac{3}{2}}}}{x^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}{y}^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}}=\frac{2^3\times y^{{\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{3}{2}}}}{x^{{\displaystyle \frac{3}{2}+\frac{3}{2}}}}=\frac{8y^{-1}}{x^3}=\frac{8}{x^{3}y}$

---

مهارات التفكير العليا 

19) تحد: أجد قيمة الأسي الآتي: 

${(-5)}^{43}+{(-1)}^{43}+{\left(5\right)}^{43}$

${(-1)}^{43}=-1$

${(-5)}^{43}+{(-1)}^{43}+{\left(5\right)}^{43}={(-5)}^{43}+{\left(5\right)}^{43}+{(-1)}^{43}=0+(-1)=-1$

20) تبرير: تتضاعف عينة في المختبر 3 مرات كل أسبوع. إذا علمت أن فيها 7300 خلية بكتيرية، فكم خلية سيصبح فيها بعد مرور 5 أسابيع؟ أبرر إجابتي

 $x$      عدد الأسابيع

$7300\times {\left(3\right)}^x=3700\times {\left(3\right)}^5=3700\times 243=1773900$     عدد الخلايا

تحد: اكتب ما يأتي في أبسط صورة، علما بأن أيا من المتغيرات لا يساوي صفرا: 

$21) \frac{r^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}+r^{{\displaystyle \frac{5}{2}}}}{r^2+r^3}=\frac{r^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}(1+r^{\frac{2}{2}})}{r^2(1+r)}=\frac{r^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}(1+r)}{r^2(1+r)}=r^{\frac{3}{2}-2}=r^{\frac{-1}{2}}=\frac{1}{\sqrt[]{r}}$

 

$22) \frac{y^{-{\displaystyle \frac{1}{2}}}-2y^{-{\displaystyle \frac{3}{2}}}}{y^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}-2y^{-{\displaystyle \frac{1}{2}}}}=\frac{y^{{\displaystyle \frac{-1}{2}}}(1-y^{-1})}{y^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}(1-y^{-1})}=y^{\frac{-1}{2}-\frac{-1}{2}}=y^{\frac{-2}{2}}=\frac{1}{y}$

 

$23) \frac{1+x}{2x^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}+x^{\frac{1}{2}}=\frac{1+x}{2\sqrt[]{x}}+\frac{\sqrt[]{x}}{1}\times \frac{2\sqrt[]{x}}{2\sqrt[]{x}}=\frac{1+x}{2\sqrt[]{x}}+\frac{2x}{2\sqrt[]{x}}=\frac{1+x+2x}{2\sqrt[]{x}}=\frac{1+3x}{2\sqrt[]{x}}$

24) تبرير: أقارن بين العددين $5^{75}و 2^{125}$ اعتمادا على خصائص الأسس، من دون استعمال الآلة الحاسبة. أبرر إجابتي $5^{75}<2^{175}$

---

كتاب التمارين صفحة 14

أجد قيمة كل مما يأتي في أبسط صورة: 

$$\begin{gathered} 1) {16}^{\frac{1}{4}}={\left(2^4\right)}^{\frac{1}{4}}=2^{4\times \frac{1}{4}}=2 \\ 2) {36}^{\frac{3}{2}}={\left(6^2\right)}^{\frac{3}{2}}=6^3=216 \\ 3) {32}^{-\frac{3}{5}}={\left(2^5\right)}^{\frac{-3}{5}}=2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8} \\ 4) {\left(81\right)}^{\frac{1}{4}} ={\left(3^4\right)}^{\frac{1}{4}}=3 \\ 5) {(-27)}^{\frac{2}{3}} ={\left(-3^3\right)}^{\frac{2}{3}}={\left(-3\right)}^2=9 \\ 6) {(-64)}^{\frac{2}{3}} ={\left(-4^3\right)}^{\frac{2}{3}}={\left(-4\right)}^2=16 \\ 7) 1^{-\frac{4}{9}}=\mathbf{1} \\ 8) {25}^{-\frac{3}{2}}={\left(5^2\right)}^{\frac{-3}{2}}=5^{-3}=\frac{1}{125} \end{gathered}$$

اكتب كلا مما يأتي في أبسط صورة، علما بأن أيا من المتغيرات لا يساوي صفرا: 

$9) y^{\frac{4}{3}}\times y^{-\frac{5}{2}}=y^{\frac{4}{3}+\frac{-5}{2}}=y^{\frac{8+-15}{6}}=y^{\frac{-7}{6}}=\frac{1}{\sqrt[6]{y^7}}$

 

$10) z^{\frac{7}{2}}\times z^{-\frac{3}{4}}=z^{\frac{7}{2}+\frac{-3}{4}}=z^{\frac{14+-3}{4}}=z^{\frac{11}{4}}=\frac{1}{\sqrt[4]{{\left(z\right)}^{11}}}$

 

$11) {(x^{\frac{2}{3}})}^{-\frac{5}{2}}=x^{\frac{2}{3}\times \frac{-5}{2}}=x^{\frac{-5}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{x^5}}$

 

$12) {(x^{\frac{3}{4}})}^{-\frac{7}{3}}=x^{\frac{3}{4}\times \frac{-7}{3}}=x^{\frac{-7}{4}}=\frac{1}{\sqrt[4]{x^7}}$

 

$13) \frac{x^{{\displaystyle \frac{2}{7}}}}{x^{-{\displaystyle \frac{3}{5}}}}=x^{\frac{2}{7}-\frac{-3}{5}}=x^{\frac{10+21}{35}}=x^{\frac{31}{35}}=\sqrt[35]{x^{31}}$

 

$14) \frac{x^{{\displaystyle \frac{3}{4}}}}{x^{-{\displaystyle \frac{1}{4}}}}=x^{\frac{3}{4}-\frac{-1}{4}}=x^{\frac{4}{4}}=x$

 

$15) {\left(\frac{x}{y}\right)}^{-\frac{3}{7}}={\left(\frac{y}{x}\right)}^{\frac{3}{7}}=\frac{y^{{\displaystyle \frac{3}{7}}}}{x^{{\displaystyle \frac{3}{7}}}}=\frac{\sqrt[7]{y^3}}{\sqrt[7]{x^3}}$

$16) \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[5]{x^4}}=x^{\frac{1}{3}-\frac{4}{5}}=x^{\frac{5-12}{15}}=x^{\frac{-7}{15}}=\frac{1}{\sqrt[15]{x^7}}$

اكتب كلا مما يأتي في أبسط صورة، علما بأن أيا من المتغيرات لا يساوي صفرا: 

$17) \frac{8x^{-{\displaystyle \frac{7}{2}}}{y}^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}}{2x^{{\displaystyle \frac{5}{2}}}y}=4x^{\frac{-7}{2}-\frac{5}{2}}{y}^{\frac{1}{3}-1}=4x^{-6}{y}^{\frac{-2}{3}}=\frac{4}{x^6\sqrt[3]{y^2}}$

 

$18) \frac{10x{y}^{-{\displaystyle \frac{3}{4}}}}{5x^{-{\displaystyle \frac{5}{3}}}{y}^{{\displaystyle \frac{4}{3}}}}=2x^{1-\frac{-5}{3}}{y}^{\frac{-3}{4}-\frac{4}{3}}=2x^{\frac{8}{3}}{y}^{\frac{-9-16}{12}}=2x^{\frac{8}{3}}{y}^{\frac{-25}{12}}=\frac{2\sqrt[3]{x^8}}{\sqrt[12]{y^{25}}}$

 

$19) \frac{\left(4y^{-{\displaystyle \frac{7}{3}}}\right)\times \left(24x{y}^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}\right)}{\left(2x^{{\displaystyle \frac{5}{3}}}y\right)\left(y^{-{\displaystyle \frac{5}{2}}}\right)}=2\times 24y^{\frac{-7}{3}+\frac{3}{2}-1+\frac{5}{2}}{x}^{1-\frac{5}{3}}=48y^{\frac{-7}{3}+3}{x}^{\frac{3-5}{3}}$

$=48y^{\frac{-7+9}{3}}{x}^{\frac{-2}{3}}=\frac{48y^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}}{x^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}}=\frac{48\sqrt[3]{y^2}}{\sqrt[3]{x^2}}$

 

$20) \frac{\left(125y^{-{\displaystyle \frac{2}{5}}}\right)\times \left(10x^{{\displaystyle \frac{2}{7}}}{y}^{{\displaystyle \frac{1}{5}}}\right)}{\left(5x{y}^{-{\displaystyle \frac{5}{2}}}\right)\left(y^{-{\displaystyle \frac{7}{5}}}\right)}=25\times 10x^{\frac{2}{7}-1}{y}^{\frac{-2}{5}+\frac{1}{5}+\frac{5}{2}+\frac{7}{5}}=250x^{\frac{-5}{7}}{y}^{\frac{12+25}{10}}$

$=\frac{250y^{{\displaystyle \frac{37}{10}}}}{x^{{\displaystyle \frac{5}{7}}}}=\frac{250\sqrt[10]{y^{37}}}{\sqrt[7]{x^5}}$

 

$21) \sqrt[3]{2x^{27}{y}^9}={\left(2x^{27}{y}^9\right)}^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{1}{3}}{x}^{27\times \frac{1}{3}}{y}^{9\times \frac{1}{3}}=\sqrt[3]{2}{x}^9{y}^3$

 

$22) \sqrt[]{9x^8{y}^4}={\left(9x^8{y}^4\right)}^{\frac{1}{2}}=2x^4{y}^2$

23) بكتيريا: تتضاعف عينة بكتيريا مخبرية 4 مرات كل أسبوع. إذا كان في العينة 3500 خلية بكتيريا اليوم، فكم يصبح عددها بعد 7 أسابيع؟  

الحل 

$3500\times 4^7$