القيم العظمى والقيم الصغرى

 تناولنا في الدرس السابق الية اشتقاق كثيرات الحدود وعلاقتها بالميل والسرعة المتوسطة .

---

تسمى النقطة التي يكون عندها ميل منحنى كثير الحدود صفرا، النقطة الحرجة 

كما في الشكل المجاور A, B نقطتان حرجتان لان ميل المنحنى عند كل منهما صفر

•  في النقطة d تسمى القيمة التي إشارة ميل المنحنى عن يسارها موجبة وعن يمينها سالبة القيمة العظمى المحلية لأنها أكبر من القيم المجاورة لها
• وتسمى القيمة h في النقطة -التي إشارة ميل المنحنى عن يسارها سالبة وعن يمينها موجبة القيمة الصغرى المحلية لأنها أصغر من القيم المجاورة لها. 

 

مثال:  

استعمل المشتقة لإيجاد القيم العظمى المحلية و القيم الصغرى المحلية للاقتران $= x^3- 12x +4$f(x)  ( ان وجدت)

الخطوة 1 

      $$\begin{gathered} \mathit{f}\mathbf{\text{'}}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{3}{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{12} \\ \mathbf{3}{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{12}\mathbf{=}\mathbf{0} \\ {\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{4} \\ \mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{\pm }\mathbf{2} \end{gathered}$$

           إذا توجد نقطتان حرجتان لمنحنى الاقتران x=2 x=-2 لأن مشتقة الاقتران تساوي صفرا عند هاتين النقطتين

الخطوة 2 

   لتحديد اي النقاط الحرجة يوجد عندها قيمة عظمى او قيمة صغرى للاقتران  نختبر اشارة ميل المنحنى حول كل منهما وذلك بتعويض بعض القيم القريبة منها .

X	2.1	-2	-1.9
F ‘(x)	1.23	0	-1.17
إشارة  الميل	موجبة		سالبة

 

 

X	1.9	2	2.1
F ‘(x)	-1.17	0	1.23
إشارة  الميل	سالبة		موجبة

تتغير اشارة ميل المنحنى حول  X=-2 من موجبة الى سالبة لذا توجد قيمة محلية عظمى عندما X=-2   هي   f(-2)=20   وتتغير اشارة ميل المنحنى حول  x=2 من سالبة الى موجبة لذا توجد قيمة محلية صغرى عندما  x=2 هي f(2)=-12

طريقة بديلة : 

ممكن تمثيل الاقتران بيانيا ومن خلال التمثيل البياني نحدد القيمة العظمى و القيمة الصغرى فعند تمثيل الاقتران f(x)  بيانيا فان النقطة $\left(-2 , 20\right)$   تبدو أعلى من الناط المجاورة لها على المنحنى وبذلك تساوي القيمة العظمى 20 وتبدو النقطة $\left(2 , -12\right)$  هخفض من النقاط المجاورة لها و بذلك تساوي القيمة الصغرى 12- 

---

• يمثل الاحداثي الصادي y  للنقطة التي يتغير عندها اتجاه حركة الجسم من الصعود الى الهبوط قيمة عظمى لمنحنى المسافة - الزمن لان مشتقة المنحنى عند تلك النقطة تساوي صفرا ( المماس  الافقي ) لذا يمكن استعمال المشتقة لتحديد النقطة التي يبلغ عندها الجسم اقصى ارتفاع .  

---

مثال من الحياة

يمثل الاقتران $\mathit{f}\mathbf{\left(}\mathbf{t}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathbf{-}{\mathit{t}}^{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{6}\mathit{t}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{3}$   ارتفاع كرة عن سطح الارض بالمتر بعد  t ثانية من ركلها 

1) أجد سرعة الكرة بعد 4 ثوان من ركلها 

     نشتق المسافة لتعطي السرعة

$$\begin{gathered} h \text{'}\left(t\right)=- 2t + 6 \\ h\text{'}\left(4\right)=-2 \end{gathered}$$

اذا سرعة الكرة بعد 4 ثوان هي2-    m\s

2)  اجد اقصى ارتفاع تصله الكرة 

لايجاد القيمةالعظمى نحدد القيم التي تحقق المعادلة  h '(t) = 0 

 $$\begin{gathered} h\text{'}\left(t\right) = 0 \\ -2t + 6 = 0 \\ -2t = -6 \\ t = 3 \end{gathered}$$

تتغير اشارة ميل المنحنى من موجبة الى سالبة لذا توجد قيمة عظمى عندما   t= 3 

اذا تصل الكرة اقصى ارتفاع عندما  t= 3   وقيمة هذا الارتفاع هي 

  $$\begin{gathered} \mathit{h}\left(3\right)\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{9}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{18}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{ } \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{6}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{m}\mathbf{ } \end{gathered}$$

أقصى ارتفاع تصله الكرة 6m

---

مثال 3 :  من الحياة 

جدار :  لدى مزارع 32m من السياج، أراد أن يسيج به حظيرة مستطيلة، طولها y مترًا، وعرضها x  مترًا، بجانب جدار يكون أحد أضلاع هذه الحظيرة : 

1 ) أبين أن الاقتران  A(x) = x ( 32 - 2x )  يمثل مساحة الحظيرة .

طول السياج 32m؛ لذا فإن  x+ y +x = 32 

إذا ، طول الحظيرة  y = 32 -2x 

 ومساحتها  x( 32 -2 x )  مترًا مربعا .

2) أجد A'(X) 

A(x) = x ( 32 - 2x ) 

A(x) = 32x - 2x²

A'(x) = 32 - 4x 

3) استعمل المشتقة لإيجاد قيمة x  التي تجعل مساحة الحظيرة أكبر ما يمكن .

لإيجاد قيمة x، أحل المعادلة  A'(x) = 0 

32 -4x = 0

32 = 4x 

x = 8 

نعوض قيمة  x= 8  بالاقتران A(x) 

A(8 ) = 8 ( 32 - 2(8) )

 = 128      

إذا أكبر مساحة ممكنة للحظيرة  128m²  وهي تنتج عندما يكون عرض الحظيرة 8m ، وطولها 16m

---