رياضيات فصل ثاني

أتحقق من فهمي 

ص:9

أجد الاقتران الاصلي لكل من الاقترانين الاتيين:

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=10{\mathrm{x}}^9$ (1

$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^{10}+\mathrm{C}$      

$2) \mathrm{f}(\mathrm{x}) =-11{\mathrm{x}}^{-12}$

$F\left(x\right)=x^{-11}+C$       

أتحقق من فهمي

ص:11

أجد كل من التكاملات الاتية:

$1) \int 9 dx =9x+c$

$2) \int x^{-4} dx =\frac{-1}{3}{x}^{-3}+C$

$3) \int \sqrt[6]{x} dx =\int x^{\frac{1}{6}} dx =\frac{6}{7}{x}^{\frac{7}{6}}+C$

أتحقق من فهمي

ص:12

أجد كل من التكامليين الاتيين:

$1) \int (2x^4+3x^3-7x^2) dx =\frac{2}{5}{x}^5+\frac{3}{4}{x}^4-\frac{7}{3}{x}^3+C$

$2) \int (5x^{\frac{3}{2}}+3x^2) dx =5\times \frac{2}{5}{x}^{\frac{5}{2}}+3\times \frac{1}{3}{x}^3+C =2x^{\frac{5}{2}}+x^3+C$

أتحقق من فهمي

ص:13

أجد كل من التكاملات الاتية:

$1) \int \frac{2x^2+4}{x^2} dx =\int 2+4x^{-2} dx =2x+-4x^{-1}+C$

$2) \int \frac{x+2}{\sqrt{x}} dx =\int \frac{x+2}{\sqrt{x}} dx =\int \frac{x+2}{x^{\frac{1}{2}}} dx =\int x^{\frac{-1}{2}}(x+2) dx =\int x^{\frac{1}{2}}+2x^{\frac{-1}{2}} dx =\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+4x^{\frac{1}{2}}+C$

$3) \int (2x+3\left)\right(x-1) dx =\int 2x^2+3x-2x-3 dx =\int 2x^2+x-3 dx =\frac{2}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2-3x+C$

أتحقق من فهمي

ص:14

أجد كل من التكامليين الآتيين:

$1) \int {(X-4)}^6 dx =\frac{1}{7}{(x-4)}^7+C$

$2)\int \sqrt{x+1} dx =\int {(x+1)}^{\frac{1}{2}} dx =\frac{2}{3}{(x+1)}^{\frac{3}{2}}+C$

أتحقق من فهمي

ص:15

أجد قاعدة الاقتران (x)f اذا كان: $f\text{'}\left(x\right)=4x-2$ ,ومر منحناه بالنقطة (0,3).

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\int (4\mathrm{x}-2) dx =4\times \frac{1}{2}{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+\mathrm{C}$

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=2{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+\mathrm{C}$

$\mathrm{f}\left(0\right)=3$

$2{\left(0\right)}^2-2\left(0\right)+C =3$

$C =3$

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=2{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+3$

أتحقق من فهمي

ص:17

بدأ جسم الحركة في خط مستقيم من نقطة الاصل، بسرعة ابتدائية مقدارها $5 m/s$ وتسارع مقداره $(4t-4) m/s^2$:

1) اجد سرعة الجسيم بعد t ثانية.

$v=\int (4t-4)dt$

$v\left(t\right)=2t^2-4t+C$

$v\left(0\right)=5 m/s$

$5=2{\left(0\right)}^2-4\left(0\right)+C$

$C=5$

$v\left(t\right)=2t^2-4t+5$

2) اجد المسافة التي يقطعها الجسيم بعد t ثانية.

$s\left(t\right)=\int 2t^2+4t+5 dt$

$s\left(t\right)= \frac{2}{3}{t}^3+2t^2+5t+C$

$s\left(0\right)=0$

$0^3+2{\left(0\right)}^2+5\left(0\right)+C=0$

$C=0$

$s\left(t\right)=t^3+2t^2+5t$

3) اجد سرعة الجسيم وتسارعه عندما 1=t.

$v\left(1\right)=2{\left(1\right)}^2-4\left(1\right)+5=2-4+5=3 m/s$

$a\left(1\right)= 4\left(1\right)-4=0ml{s}^2$

أتدرب وأحل المسائل

أجد الاقتران الأصلي لكل من الاقترانات الآتية:

$$\begin{gathered} 1) f(x)=\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}} \\ F(x)= \frac{3}{2}(\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}})+c=x^{\frac{3}{2}}+c \end{gathered}$$

 

$2) f(x)=-x^{-2}$

$F\left(x\right)=\frac{-x^{-1}}{-1}+C=x^{-1}+C$

$3) f(x)=-5$

$F\left(x\right)=-5x+C$

$4) f(x)=6x^5$

$F\left(x\right)=6\frac{1}{6}{x}^6+C=x^6+C$

أجد كل من التكاملات الآتية:

$5) \int 6x dx=6\frac{1}{2}{x}^2+C=3x^2+C$

$6) \int (4x+2) dx=4\frac{1}{2}{x}^2+2x+C=2x^2+2x+C$

$7) \int 2x^4 dx=2\frac{1}{5}{x}^5+C=\frac{2}{5}{x}^5+C$

$8) \int \frac{5}{x^3} dx=\int 5x^{-3} dx=5\frac{1}{-2}{x}^{-2}+C=\frac{-5}{2x^2}+C$

$9) \int \sqrt{x} dx=\int x^{\frac{1}{2}} dx=\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+C$

$10) \int 2x^{\frac{3}{2}} dx=2\frac{2}{5}{x}^{\frac{5}{2}}+C=\frac{4}{5}{x}^{\frac{5}{2}}+C$

$11) \int \frac{10}{\sqrt{x}} dx=\int 10x^{\frac{-1}{2}} dx=20x^{\frac{1}{2}}+C$

$12) \int (6x^2-4x) dx=\frac{6}{3}{x}^3-\frac{4}{2}{x}^2+C=2x^3-2x^2+C$

$13) \int (2x^4-5x+10) dx=\frac{2}{5}{x}^5-\frac{5}{2}{x}^2+10x+C$

^{$14) \int x^2(x-8) dx=\int (x^3-8x^2) dx=\frac{x^4}{4}-\frac{8}{3}{x}^3+C=\frac{x^4}{4}-\frac{8}{3}{x}^3+C$}

$15) \int (x^2-\frac{3}{2}\sqrt{x}+x^{\frac{-4}{3}}) dx=\int (x^2-\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{-4}{3}}) dx=\frac{x^3}{3}-(\frac{2}{3})\frac{3}{2}{x}^{\frac{3}{2}}+-3x^{\frac{-1}{3}}+C=\frac{x^3}{3}-x^{\frac{3}{2}}-3x^{\frac{-1}{3}}+C$

أجد كل من التكاملات الآتية:

$16) \int \frac{4x^3-2}{x^3} dx=\int (4-2x^{-3}) dx=4x-\frac{2}{-2}{x}^{-2}+C=4x+x^{-2}+C$

$17) \int (\frac{2x+8}{\sqrt{x}}) dx=\int (\frac{2x+8}{x^{\frac{1}{2}}}) dx=\int (2x^{\frac{1}{2}}+8x^{-\frac{1}{2}}) dx=2(\frac{2}{3})x^{\frac{3}{2}}+8(2)x^{\frac{1}{2}}+C=\frac{4}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+16x^{\frac{1}{2}}+C$

$18) \int (\frac{x^2-1}{x-1}) dx=\int (\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)}) dx=\int (x+1) dx=\frac{x^2}{2}+x+C$

$19) \int (\frac{x^2+1}{x^2}) dx=\int (\frac{x^2}{x^2}+\frac{1}{x^2}) dx=\int (1+x^{-2}) dx=x+\frac{-1}{x}+C$

$20) \int x\sqrt{x} dx=\int (x)x^{\frac{1}{2}}dx=\int x^{\frac{3}{2}}=\frac{2}{5}{x}^{\frac{5}{2}}+C$

$21) \int {\left(\frac{x^2+2x}{x}\right)}^3 dx=\int {(\frac{x^2}{x}+\frac{2x}{x})}^3 dx=\int {(x+2)}^3 dx=\frac{1}{4}{(x+2)}^4 +C$

$22) \int (\frac{x^2-1}{\sqrt[3]{x}}) dx=\int \frac{x^2-1}{x^{\frac{1}{3}}} dx=\int (x^{\frac{5}{3}}-x^{-\frac{1}{3}}) dx=\frac{3}{8}{x}^{\frac{8}{3}}-\frac{3}{2}{x}^{\frac{2}{3}}+C$

$23) \int (x-1\left)\right(x-3\left)\right(x+1) dx=\int x^3-3x^2-x+3 dx=\frac{x^4}{4}-\frac{3}{3}{x}^3-\frac{x^2}{2}+3x+C=\frac{x^4}{4}-x^3-\frac{x^2}{2}+3x+C$

أجد كل من التكاملات الآتية:

$24) \int {(x+7)}^4 dx=\frac{1}{5}{(x+7)}^5+C$

$25) \int \frac{3}{{(10x+1)}^2} dx=\int (3{(10x+1)}^{-2}) dx=\frac{3}{-1\left(10\right)}{(10x+1)}^{-1}+C=\frac{-3}{10(10x+1)}+C$

$26) \int 3\sqrt{4x-2} dx=\int 3{(4x-2)}^{\frac{1}{2}} dx=3(\frac{1}{4}\left)\right(\frac{2}{3}){(4x-2)}^{\frac{3}{2}}+C=\frac{1}{2}{(4x-2)}^{\frac{3}{2}}+C$

$27) \int \frac{1}{\sqrt{10x+5}} dx=\int {(10x+5)}^{-\frac{1}{2}} dx=\frac{1}{10}(2){(10x+5)}^{\frac{1}{2}}+C=\frac{1}{5}{(10x+5)}^{\frac{1}{2}}+C$

اذا كان: $y=\sqrt[3]{2x+5}$ فأحل السؤاليين تبعا:

28) اجد $\int y^2 dx$.

$\int {\left(\sqrt[3]{2x+5}\right)}^2 dx=\int {(2x+5)}^{\frac{2}{3}} dx=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{5}\right){(2x+5)}^{\frac{5}{3}}+C=\frac{3}{10}{(2x+5)}^{\frac{5}{3}}+C$=

29) أثبت ان: $\int y dx=\frac{3}{8}{y}^4+C$.

$\int (\sqrt[3]{2x+5)} dx=\int {(2x+5)}^{\frac{1}{3}} dx=\frac{1}{2}(\frac{3}{4}){(2x+5)}^{\frac{4}{3}}+C=\frac{3}{8}{\left(\sqrt[3]{2x+5}\right)}^4+C=\frac{3}{8}{y}^4+C$=

30) أجد قاعدة الاقتران (x)f اذا كان: $f\text{'}\left(x\right)=\sqrt{x}$ ,ومرمنحناه بالنقطة (9,25).

$f\left(x\right)=\int f\text{'}\left(x\right) dx=\int \sqrt{x} dx=\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{3}\sqrt{x^3}+C$

$$\begin{gathered} f\left(9\right)=25 \\ \frac{2}{3}\sqrt{9^3}+C=25 \\ \frac{2}{3}\left(27\right)+C=25 \\ 18+C=25 \\ C=7 \\ f\left(x\right)=\frac{2}{3}\sqrt{x^3}+7 \end{gathered}$$

31) اذا كان ميل المماس لمنحنى العلاقة y هو $\frac{2}{x^2}$، فأجد قاعدة العلاقة y ،علما بأن منحناها يمر بالنقطة (2,4).

$$\begin{gathered} y=\int \frac{2}{x^2} dx=\int 2x^{-2}+C=\frac{2x^{-1}}{-1}+C \\ y=\frac{-2}{x}+C \\ 4=\frac{-2}{2}+C \\ 4=-1+C \\ c=5 \\ y=\frac{-2}{x}+5 \end{gathered}$$

32) أجد قاعدة الاقتران (x)f اذا كان: $f\text{'}\left(x\right)=\frac{x^2+10}{x^2}$ ومر منحناه بالنقطة (5,2).

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=\frac{x^2+10}{x^2} \\ f\left(x\right)=\int \frac{x^2+10}{x^2} dx=\int 1+10x^{-2} dx=x+\frac{10x^{-1}}{-1}+C \\ f\left(x\right)=x-\frac{10}{x}+C \\ f\left(5\right)=2 \\ 2=5-\frac{10}{5}+C \\ 2=5-2+C \\ 2=3+C \\ c=-1 \\ f\left(x\right)=x-\frac{10}{x}-1 \end{gathered}$$

طريق مستقيم يمر بالنقطين: OوA، حيث: $OA=100 m$ بدأت سيارة الحركة من وضعية السكون، بدءا بالنقطة A على طول الطريق مبتعدة عن النقطة O , اذا كانت المسافة بين السيارة والنقطة O بعد t ثانية هي y مترا، وسرعة السيارة بعد t ثانية تعطى بالعلاقة الاتية: $\frac{dy}{dt}=0.03t^2{(t-10)}^2$ فاجد كلا مما يأتي:

33) قاعدة العلاقة y بدلالة t.

$$\begin{gathered} y\left(t\right)=\int 0.03t^2{(t-10)}^{2}dty\left(t\right)=\int 0.03t^2(t^2-20t+100) dt \\ y\left(t\right)=\int 0.03t^4-0.6t^3+3t^2 dt \\ y\left(t\right)=\frac{0.03}{5}{t}^5-\frac{0.6t^4}{4}+\frac{3}{3}{t}^3+C \\ y\left(t\right)=0.006t^5-0.15t^4+t^3+C \\ y\left(0\right)=100 \\ 100=0.006{\left(0\right)}^5-0.15{\left(0\right)}^4+0^3+C \\ C=100 \\ y\left(t\right)=0.006t^5-0.15t^4+t^3+100 \end{gathered}$$

34) المسافة بين السيارة والنقطة A بعد 10 ثوان من بدء حركتها.

$y\left(10\right)=0.006{\left(10\right)}^5-0.15{\left(10\right)}^4+{\left(10\right)}^3+100=600-1500+1000+100=200m$

35) يمثل الاقتران: $a\left(t\right)=6t$ تسارع جسيم بدأ الحركة من نقطة تبعد 4 أمتار عن نقطة الاصل، حيث t الزمن بالثواني. اذا كانت سرعة الجسيم بعد ثانية واحدة هي $1 m/s$ فأجد المسافة التي يقطعها الجسيم بعد ثانيتين من بدء الحركة.

$$\begin{gathered} v\left(t\right)=\int a\left(t\right) dt=\int 6t dt=\frac{6t^2}{2}+C \\ v\left(t\right)=3t^2+C \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} v\left(1\right)=3{\left(1\right)}^2+C=1 \\ C=-2 \\ v\left(t\right)=3t^2-2 \\ s\left(t\right)=\int v\left(t\right) dt=\int (3t^2-2) dt \\ s\left(t\right)=\frac{3t^3}{3}-2t+C \\ s\left(t\right)=t^3-2t+C \\ s\left(0\right)={\left(0\right)}^3-2\left(0\right)+C=4 \\ C=4 \\ s\left(t\right)=t^3-2t+4 \\ s\left(2\right)={\left(2\right)}^3-2\left(2\right)+4=8-4+4=8m \end{gathered}$$

بالون: عند نفخ بالون كروي الشكل يصبح  نصف قطره y سنتيمترا بعد t ثانية، اذا كان: $\frac{dy}{dt}=4t^{\frac{-2}{3}}$، وكان نصف قطر البالون بعد8 ثوان من بدء نفخه $30cm$، فأجد كلا مما يأتي:

36) قاعدة العلاقة y بدلالة t.

$$\begin{gathered} y\left(t\right)=\int 4t^{\frac{-2}{3}} dt=4\left(3\right)t^{\frac{1}{3}}+C \\ y\left(t\right)=12t^{\frac{1}{3}}+C \\ y\left(t\right)=12\sqrt[3]{t}+C \\ y\left(8\right)=12\sqrt[3]{8}+C=30 \\ =12\left(2\right)+C=30 \\ 24+C=30 \\ C=6 \\ y\left(t\right)=12\sqrt[3]{t}+6 \end{gathered}$$

37) نصف قطر البالون بعد 20 ثانية من بدء نفخه.

$$\begin{gathered} y\left(t\right)=12\sqrt[3]{t}+6 \\ y\left(20\right)=12\sqrt[3]{20}+6 \end{gathered}$$

تعطى مشتقة الاقتران (x)f بالقاعدة: $f\text{'}\left(x\right)=a{x}^2+bx$ حيث aوb ثابتان: اذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة (2,4) هو 0.8-، وميل المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة (5,5.2) هو 2.5، فأجد كل مما يأتي:

38) قيمة كل من الثابتيين:aوb.

$$\begin{gathered} -0.8=4a+2b\left(5\right)+2.5=25a+5b\left(2\right) \\ 4=-20a-10b \\ 5=50a+10b \\ \frac{a}{30}=\frac{30a}{30} \\ a=0.3 \\ 2.5=25(0.3)+5b \\ 2.5=7.5+5b \\ -7.5 -7.5 \\ \frac{-5}{5}=\frac{5b}{5} \\ b=-1 \end{gathered}$$

39) قاعدة الاقتران (x)f.

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\int 0.3x^2+-1x \\ f\left(x\right)=\frac{0.3x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+C \\ f\left(x\right)=0.1x^3-\frac{1}{2}{x}^2+C \\ f\left(2\right)=4 \\ 4=0.1{\left(2\right)}^3-\frac{1}{2}{\left(2\right)}^2+C \\ 4=0.8-2+C \\ 4=-1.2+C \\ C=5.2 \\ f\left(x\right)=0.1x^3-\frac{1}{2}{x}^2+5.2 \end{gathered}$$

40) اختيارمن متعدد:$\int \frac{x^3-1}{x^2} dx$ يساوي:

$d) x^2+\frac{1}{x}+C$                         $c) x^2-\frac{1}{x}+C$                   $b) \frac{x^2}{2}+\frac{1}{x}+C$                 $a)\frac{x^2}{2}-\frac{1}{x}+C$      

$$\begin{gathered} \int \frac{x^3-1}{x^2} dx=\int x-x^{-2} dx=\frac{x^2}{2}--1x^{-1}+C=\frac{x^2}{2}+\frac{1}{x}+C \\ d \end{gathered}$$

مهارات التفكير العليا

41) أكتشف الخطأ: أوجد عامر ناتج التكامل: $\int (2x+1)(x-1) dx$ وكان حله على النحو التي:

$$\begin{gathered} \int (2x+1)(x-1) dx=\int (2x+1) dx\int (x-1) dx \\ =(x^2+x)(\frac{1}{2}{x}^2-x)+C \end{gathered}$$

أكتشف الخطأ في حل عامر، ثم أصححه.

الجواب: أخطأ عامر عندما وزع التكامل على الضرب.

$\int (2x+1)(x-1) dx=\int 2x^2-x-1 dx=\frac{2}{3}{x}^3-\frac{x^2}{2}-x+C$

 

42) تحد: أجد ناتج التكامل: $\int x{(x+2)}^5 dx$.

ارشاد:أعيد كتابة المقدار: $x{(x+2)}^5$ باستعمال المقدارين: ${(x+2)}^6و{(x+2)}^5$.

$$\begin{gathered} \int \left(\right(x+2)-2){(x+2)}^5 \\ \int (x+2){(x+2)}^5 -2{(x+2)}^5 dx \\ \int {(x+2)}^6-2{(x+2)}^5 dx \\ \frac{{(x+2)}^7}{7}-\frac{2{(x+2)}^6}{6}+C \end{gathered}$$

 

43) تحد: أجد ناتج التكامل: $\int \frac{x}{{(x+1)}^3} dx$.

ارشاد: أجزئ $\frac{x}{(x+1)}$ الى كسور جزئية.

$$\begin{gathered} \frac{x}{{(x+1)}^3}=\frac{a}{(x+1)}+\frac{b}{{(x+1)}^2}+\frac{C}{{(x+1)}^3} \\ \frac{x}{{(x+1)}^3}=\frac{a{(x+1)}^2+b(x+1)+C}{{(x+1)}^3} \\ x=-1 \\ -1=0+0+C \\ C=-1 \\ x=a{x}^2+2ax+a+bx+b+C \\ x=a{x}^2+(2a+b)x+(a+b-1) \\ a{x}^2=0 \\ a=0 \\ (2a+b)x=x \\ 2a+b=1 \\ 0+b=1 \\ b=1 \\ \frac{x}{{(x+1)}^3}=\frac{1}{{(x+1)}^2}-\frac{1}{{(x+1)}^3} \\ \int \frac{x}{{(x+1)}^3}dx=\int \frac{1}{{(x+1)}^2}dx-\int \frac{1}{{(x+1)}^3}dx \\ = \int {(x+1)}^{-2}dx-\int {(x+1)}^{-3}dx = \frac{-1}{(x+1)}+\frac{1}{2{(x+1)}^2}+c \end{gathered}$$

 

44) تبرير: اذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران(x)f هو $(4-\frac{100}{x^2})$، وكان للاقتران نقطة حرجة عند النقطة (a,10)، حيث $a>0$، فأجد قاعدة هذا الاقتران، مبررا اجابتي.

 $$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=4-\frac{100}{x^2} \\ 0=4-\frac{100}{a^2} \\ \frac{100}{a^2}=4 \\ {a}^2=\frac{100}{4}=25 \\ a=5, a=-5 \\ a=5 \\ f\left(x\right)=\int 4-\frac{100}{x^2} dx=\int 4-100x^{-2} dx=4x-\frac{100x^{-1}}{-1}+C \\ f\left(x\right)=4x+\frac{100}{x}+C \\ f\left(a\right)=10 \\ f\left(5\right)=10 \\ 10=4\left(5\right)+\frac{100}{5}+C \\ 10=20+20+C \\ 10=40+C \\ C=-30 \\ f\left(x\right)=4x+\frac{100}{x}-30 \end{gathered}$$

45) تبرير: اذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران (x)f عند النقطة $(-2,8)$ هو 7، وقطع منحنى القتران المحور y عند النقطة $(0,18)$ فأجد قاعدة هذا الاقتران، علما بأن منحنى مشتقة الاقتران يمثل خطا مستقيما، ثم أبرر أجابتي.

$$\begin{gathered} f\text{'}(-2)=7 \\ f(-2)=8 \\ f\left(0\right)=18 \\ f\left(x\right)=a{x}^2+bx+C \\ f\text{'}\left(x\right)=2ax+b \\ f\text{'}(-2)=-4a+b=7 \\ f(-2)= 8 \\ 4a-2b+C=8 \\ f\left(0\right)=18 \\ 0+0+C=18 \\ C=18 \\ 4a-2b+18=8 \\ 4a-2b=-10 \\ -4a+b=7 \\ -b=-3 \\ b=3 \\ 4a-2b=-10 \\ 4a-6=-10 \\ 4a=-4 \\ a=-1 \\ f\left(x\right)=-x^2+3x+18 \end{gathered}$$

حل أسئلة كتاب التمارين

أجد كلا من التكاملات الاتية:

$1) \int x^6 dx=\frac{x^7}{7}+C$

$2) \int \frac{dx}{x^4}=\frac{x^{-3}}{-3}+C$

$3) \int (\frac{4}{x^3}+\frac{7}{x^2}) dx=\frac{-2}{x^2}-\frac{7}{x}+C$

$4) \int (x^2+x-1) dx=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-x+C$

$5) \int \frac{-7}{\sqrt[3]{x^2}} dx=-21\sqrt[3]{x}+C$

$6) \int \frac{x+1}{\sqrt{x}} dx=\frac{2}{3}\sqrt{x^3}+2\sqrt{x}+C$

$7) \int (x^2+3\left)\right(x-1) dx=\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}+\frac{3}{2}{x}^2-3x+C$

$8) \int {(3-2x)}^7 dx=-\frac{{(3-2x)}^8}{16}+C$

$9) \int (x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{-1}{3}}) dx=\frac{3}{4}{x}^{\frac{4}{3}}+\frac{3}{2}{x}^{\frac{2}{3}}+C$

$10) \int \frac{1}{\sqrt{x-4}} dx=2{(x-4)}^{\frac{1}{2}}+C$

$11) \int (\frac{4}{\sqrt[5]{x}}-7) dx=5\sqrt[5]{x^4}-7x+C$

$12) \int \sqrt[3]{{(2x-5)}^2} dx=\frac{3}{10}\sqrt[3]{{(2x-5)}^5}+C$

خزان: يحتوي خزان على 100لتر من الماء. بدأ الماء بالتسرب من الخزان، وبعد t ساعة اصبح حجم الماء المتبقي فيه v لترا. اذا كانت المعادلة $\frac{dv}{dt}=0.6t-10$ تمثل معدل تسرب الماء من الخزان باللتر لكل ساعة، فأجد كلا مما يأتي:

13) حجم الماء في الخزان بعد t ساعة.

$v\left(t\right)=0.3t^2-10t+100$

 

14) حجم الماء في الخزان بعد 10 ساعات.

30

تعطى مشتقة الاقتران (x)f بالقاعدة: $f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{ax+3}}$ ، حيث a ثابت موجب:

15) أجد قاعدة الاقتران (x)f .

$f\left(x\right)=\frac{2}{a}\sqrt{ax+3}+C$

16) اذا كان 0=(0)f و $f\left(a\right)=2\sqrt{2}-2$ ، فأثبت أن $a=\sqrt{3}$.

$f\left(x\right)=\frac{2}{a}\sqrt{ax+3}+C$

$f\left(0\right)=\frac{2}{a}\sqrt{3}+C=0$

$C=\frac{-2}{a}\sqrt{3}$

$f\left(x\right)=\frac{2}{a}\sqrt{ax+3}-\frac{2}{a}\sqrt{3}$

$f\left(a\right)=\frac{2}{a}\sqrt{a^2+3}-\frac{2}{a}\sqrt{3}=2\sqrt{2}-2$

وبعد حل المعادلة ينتج ان $a=\sqrt{3}$.

17) أكتشف الخطأ: أوجدت كل من مرام وفرح ناتج التكامل:$\int {(x+2)}^2 dx$ كالاتي:

                                                 اجابة مرام                                                                          اجابة فرح

                                             $\frac{1}{3}{(x+2)}^3+C$                                                                  $\frac{1}{3}{x}^3+2x^2+4x+C$

ايهما اجابتها صحيحة، مبررا اجابتي؟

الجواب: كلاهما صحيح لان مرام استخدمت قاعدة تكامل ${(ax+b)}^n$ بينما فرح قامت بفك قوس التكعيب ثم ايجد الحل.