رياضيات فصل أول

التاسع

icon

الاقترانُ التربيعيُّ

Quadratic Function

فكرةُ الدرسِ : 

• تعرُّفُ الاقترانِ التربيعيِّ وخصائصِهِ.

• تمثيلُ الاقترانِ التربيعيِّ بيانيًّا في المُستوى الإحداثيِّ.

أولًا : خصائصُ الاقترانِ التربيعيِّ

الاقترانُ التربيعيُّ : اقترانٌ يمكنُ كتابتُهُ عَلى الصورةِ   f(x)=ax2+bx+c ؛ حيثُ a و b و c أعدادٌ حقيقيَّةٌ، وَ a ≠ 0 ، والتي تُسَمّى الصورةَ

القياسيَّةَ للاقترانِ التربيعيِّ ، وَمِنْ أمثلتِهِ : 

 f(x)=5x2-2x+1   h(x)=x2+4x    g(x)=8x2

 

•• يُعَدُّ الاقترانُ  f(x) = x2 أبسطَ صورِ الاقترانِ التربيعيِّ ؛ لِذا يُسَمّى الاقترانَ الرئيسَ لعائلةِ الاقتراناتِ التربيعيَّةِ.

 

يأخذُ التمثيلُ البيانيُّ للاقترانِ التربيعيِّ شكلَ الحرفِ الإنجليزيِّ U ، وَيُسَمّى

قطعًا مُكافِئًا ، كما في الشكلِ المُجاورِ ، الذي يُظهِرُ التمثيلَ البيانيَّ 

للاقترانِ f(x) = x2

 

 

 

 

 

 

محورُ التَّماثُلِ: هُوَ المُستقيمُ الرأسيُّ الذي يقسِمُ القطعَ المُكافِئَ إلى جُزأيْنِ مُتطابقَيْنِ، ويقطعُهُ في نقطةٍ واحدةٍ تُسَمّى الرأسَ 

مفهومٌ أساسيٌّ (محورُ تَماثُلِ الاقترانِ التربيعيِّ ورأسُهُ) 

مُعادلةُ محورِ التَّماثُلِ لمُنحنى الاقترانِ التربيعيِّ 

f(x)=ax2+bx+c ؛ حيثُ a ≠ 0 هي :  x=-b2a

 وإحداثِيّا رأسِهِ هما :   -b2a, f(-b2a)

 

 

 

 

 

 

 

 

مثال: 

أَجدُ مُعادلة محور التماثل، وإحداثيّي رأس الاقتران التربيعيّ f(x)=2x2+8x-1

الحل : 

  a = 2 و  b = 8 ، فيمكنُ إيجادُ مُعادلةِ محورِ التَّماثُلِ كالآتي:

x = - b2a مُعادلةُ محورِ التَّماثُلِ
x = - 82×2    بتعويض a = 2 , b = 8
x = -2 بالتبسيطِ

إذن ، مُعادلةُ محور التماثل هي :  x = - 2 

لإيجادِ إحداثِيَّيِ الرأسِ، أعتبرُ القيمةَ الناتجةَ عَنْ مُعادلةِ محورِ التَّماثُلِ هِيَ الإحداثيُّ x لرأسِ القطعِ المُكافِئِ، ثمَّ أُعَوِّضُها في قاعدةِ الاقترانِ لإيجادِ

الإحداثيِّ y .

f(x) = 2x2 +8x-1 الاقترانُ المُعطى
f(x) = 2(-2)2 +8(-2)-1 بتعويضِ x = - 2
f(x) =-9 بالتبسيطِ

إذنْ، إحداثِيّا الرأسِ (-2 , -9)


••• مجال الاقتران التربيعي ومداه 

يكونُ التمثيلُ البيانيُّ للاقترانِ التربيعيِّ f(x) = ax2+ bx + c  ؛ حيثُ a ≠ 0 ، مفتوحًا للأعلى إذا كان a > 0 ، وَتُسَمّى أدنى نقطة فيه نقطة القيمة الصُّغرى ، ويكون مفتوحًا للأسفل إذا كان a < 0 ، وتُسمى أعلى نقطة فيه نقطة القيمة العُظمى ، وتُمثل نقطة القيمة الصُّغرى أو نقطة القيمة العُظمى رأس القطع  المُكافئ.

 

مجال الاقتران التربيعيِّ هُو جميع الأعداد الحقيقية ، أمّا مَداهُ فيمكن تحديدُهُ كالآتي :

مفهوم أساسيّ (مَدى الاقتران التربيعيّ) 

إذا كان f(x) = ax2+ bx + c  ؛ حيثُ a ≠ 0 ، فإنَّ مَدى (f(x يكونُ :

• مجموعة الأعداد الحقيقية التي تزيد على القيمة الصُّغرى أو تُساويها إذا كان a > 0  

• مجموعة الأعداد الحقيقية التي تقلّ عن القيمة العُظمى أو تُساويها إذا كان a < 0

 

مثال: 

لِكُلِّ قطعٍ مُكافِئٍ ممّا يأتي، أَجِدُ القيمةَ العُظمى أوِ الصُّغرى والمجالَ والمَدى واتِّجاهَ الفتحةِ :

1) f(x) = x2 -2x + 4  

في الاقتران f(x) : a = 1  ,  b = -2

بما أنَّ a > 0 فالتمثيلُ البيانيُّ للاقترانِ التربيعيِّ يكونُ مفتوحًا للأعلى، ويكونُ للاقترانِ قيمةٌ صُغرى يمكنُ إيجادُها كالآتي:

الخطوةُ 1 : أَجِدُ الإحداثِيَّ x للرأسِ.

x = - b2a الإحداثيُّ x للرأسِ
x = - -22×1 بتعويض: a=1 , b=-2
x = 1  بالتبسيط 

 

الخطوةُ 2 : أَجِدُ الإحداثِيَّ y للرأسِ.

f(x) = x2 -2x + 4  الاقترانُ المُعطى
f(1) = (1)2 -2(1) + 4  بتعويضِ x = 1
               = 3   بالتبسيطِ

 

 

 

إذنْ، القيمةُ الصُّغرى للاقترانِ هِيَ 3

المجالُ : جميعُ الأعدادِ الحقيقيَّةِ أوِ الفترةِ (- , )  

المَدى : { y | y ≥ 3 } أوِ الفترةِ  [ 3 ,  )


2) h(x) = -x2+4x +8    

في الاقتران h(x) : a = -1  ,  b = 4

بما أنَّ a < 0 ، فالتمثيلُ البيانيُّ للاقترانِ التربيعيِّ يكونُ مفتوحًا للأسفلِ، ويكونُ للاقترانِ قيمةٌ عُظمى يمكنُ إيجادُها كالآتي :

الخطوةُ 1 : أَجِدُ الإحداثِيَّ x للرأسِ.

x=-b2a  الإحداثيُّ x للرأسِ
x=-42×-1 بتعويض a=-1,b=4
x=2 بالتبسيطِ

 

 

 

 

 

الخطوةُ 2 : أَجِدُ الإحداثِيَّ y للرأسِ.

h(x) =-x2+4x+8   الاقترانُ المُعطى
h(2) =-(2)2+4(2)+8 بتعويضِ x = 3
          =12 بالتبسيطِ

 

 

 

إذن، القيمة العظمى للاقتران هي 12

المجال : جميع الأعداد الحقيقية أو الفترة (- , )

المدى :{ y | y 12 } أوِ الفترةِ (- , 12 ]


تطبيقات حياتية على الاقترانات التربيعية 

مثال : 

يُمَثِّلُ الاقترانُ  h(t) = -12t2+ 48t ارتفاعَ كرةِ قدمٍ عنْ سطحِ الأرضِ بالأقدامِ ، بعدَ t ثانيةً مِنْ ركلِها.

a) أَجِدُ ارتفاعَ الكرةِ بعدَ 3 ثوانٍ مِنْ ركلِها.

b) أَجِدُ أقصى ارتفاعٍ تصلُ إليهِ الكرةُ.

الحل :

a) أَجِدُ ارتفاع الكرة بعد ثانية من ركلِها.

الاقتران المُعطى يُمثل الارتفاع ، t تمثل الزمن ، إذن أعوض في الاقتران المعطى t = 1 لأجد الارتفاع بعد 1 ثانية

h(1)=-12(1)2+ 48(1)=-12+48=36

إذن ، ارتفاع الكرة بعد ثانية واحدة من ركلها يساوي 36 قدم . 


b) أَجِدُ أقصى ارتفاعٍ تصلُ إليهِ الكرة.

تصل الكرة إلى أقصى ارتفاعٍ لها عندَ رأس القطع المكافئ؛ لذا أَجدُ القيمة العُظمى للقطع.

الخطوة 1 : أَجِدُ الإحداثِيَّ x للرأسِ.

x=-b2a الإحداثيُّ x للرأسِ
x=-482×-12   بتعويضِ a=-12,b=48
x=2 بالتبسيطِ

 

الخطوة 2 : أَجدُ الإحداثيّ y للرأس.

h(t) = -12t2+48t الاقترانُ المُعطى
h(2) = -12(2)2+ 48(2) بتعويضِ t = 2
          = 48 بالتبسيطِ

إذنْ، أقصى ارتفاعٍ تصلُ إليهِ الكره هو 48 قدم .


ثانيًا : تحديد خصائص الاقتران التربيعيّ من تمثيله البيانيّ

يُمكنني تحديد خصائص الاقتران التربيعي من تمثيله البياني ، والمثال التالي يوضح ذلك .

مثال : 

أَجدُ رأس ومُعادلة محور التماثل، والقيمة العُظمى أو الصُّغرى ومَجال

ومَدى القطع المُكافئ المُمَثل بيانِيًّا في المُستوى الإحداثِيِّ المُجاور:

 

 

 

 

 

 

 

الحل :

الخطوةُ 1 : أَجدُ إحداثيَّي الرأس.

بما أنَّ القطع مفتوحٌ للأعلى فالرأس يُمثل نقطتَهُ الصغرى، وهي ( 3- , 0).
 

الخطوةُ 2 : أَجِدُ مُعادلة محور التماثل.

  

بما أنَّ محور التماثل هُو المُستقيم الذي يقسِمُ القطع المُكافئ إلى جزأيْن متطابقَيْنِ ، ويقطع القطع المُكافئَ في الرأس، فإنَّ مُعادلة محور التماثل هي x = 0

 

 

 

 

 

 

الخطوةُ 3 : أَجدُ القيمة الصغرى.

بما أنَّ القيمة الصغرى هي الإحداثيُّ y لنقطة الرأس، فإنَّ القيمة الصغرى للاقتران هي 2-.
 

الخطوةُ 4 : أَجِدُ المجال والمَدى.

المجالُ: جميعُ الأعدادِ الحقيقيَّةِ أوِ الفترةِ (- , ) 

المَدى : { y | y  -2 }   أوِ الفترةِ [ -2 ,  ) .


 ثالثًا : تمثيلُ الاقترانِ التربيعيِّ بيانيًّا

يمكنُ استعمالُ خصائصِ الاقترانِ التربيعيِّ لتمثيلِهِ بيانيًّا.

مفهومٌ أساسيٌّ (تمثيلُ الاقترانِ التربيعيِّ بيانيًّا)

لتمثيل الاقتران التربيعيِّ بيانيًّا، أتَّبِع الخُطوات الآتية:

الخطوة 1 : أُحَدِّدُ اتِّجاه فتحة القطع المُكافئِ، وأَجدُ مُعادلة محور التماثل وإحداثيَّي الرأس، وأُحدِّدُ إذا كان يُمثل نقطة                    صُغرى أمْ نقطة عُظمى.

الخطوة 2 : أَجِدُ نقطة تقاطع الاقتران مع المحور y.

الخطوة 3 : أَجِدُ نقطة أُخرى باختيار قيمة لِـ x تقع في الجانب الذي يقعُ فيه المقطع y يمين محور التماثل أو يسارَه.

الخطوة 4 : أُمثلُ رأس القطع والنقطتين اللتَيْن أوجدتُهُما من الخُطوتَيْن 2 و 3، ثمَّ أستعمل التماثُل لأعكس                               النقطتَيْن من الخُطوتين 2 و 3 حولَ محور التماثل؛ لإيجادِ نقطتين أُخرَيَيْن على التَّمثيل البيانيِّ.

الخطوة 5 : أصلُ بين النقاط بمُنحنًى أملس.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

مثال : 

أُمثل الاقتران : f(x) = x2+4x+1  بيانيًّا.

الحل :

الخطوة 1 : أُحَدِّدُ اتِّجاهَ فتحة القطع المُكافئ، وأَجِدُ مُعادلة محور التماثل وإحداثِيَّي الرأس ، وأُحَدِّد إذا كان يُمثل نقطة صُغرى أم نقطة عُظمى. 

في الاقترانِ f(x) : a =1 ,  b = 4

بما أنَّ a > 0 ، فالتمثيل البيانيّ للقطع المُكافئ يكون مفتوحًا للأعلى، ويُمثل الرأس نقطتهُ الصغرى.  

• أَجِدُ مُعادلة محور التَّماثُل.

x = - b2a معادلة محور التماثل 
x = - 42×1 بتعويض a=1,b=2
x = -2 بالتبسيط 

إذن، مُعادلة محور التماثل هي  x = - 2

•  أَجِدُ إحداثِيَّيِ الرأسِ.

f(x) = x2+4x+1 الاقتران المعطى 
f(-2) = (-2)2+4(-2)+1 بتعويض x = -2 
               =-3 بالتبسيط 

إذن، إحداثيّا الرأسِ (-2 , -3)   

 

الخطوة 2 : أَجِدُ نقطةَ تقاطعِ الاقترانِ معَ المحورِ y.

لإيجادِ نقطةِ تقاطع الاقتران مع المحور y، أُعَوِّض x = 0 في قاعدة الاقتران.

f(x) = x2+4x+1 الاقتران المعطى 
f(0) = 02+4(0)+1 بتعويض x = 0 
          =1 بالتبسيط 

إذنْ، نقطةُ تقاطعِ الاقترانِ معَ المحورِ y هِيَ (1 , 0).

الخطوة 3 : أَجِدُ نقطةً أُخرى باختيارِ قيمةٍ لِـ x تقعُ في الجانب الذي يقع فيه المقطع y يمين محور التماثل أو يسارَه.

أختار  x = - 1 

f(x) = x2+4x+1  الاقتران المعطى 
f(-1) = (-1)2+4(-1)+1 بتعويض x = - 1  
              = -2 بالتبسيط 

 

 

 

إذنْ، النقطةُ الأُخرى هِيَ (2- ,  1-).

الخطوة 4 : أُمَثل النقاط في المُستوى الإحداثيِّ. أُمَثل رأس القطع والنقطتَيْن اللتَيْن أوجدتُهما من الخُطوتَيْن

2 وَ 3، وَهُما ( 1 , 0) وَ ( 2- , 1-)، ثمَّ أستعملُ التَّماثُلَ لأعكِسَ النقطتَيْنِ (1 , 0) وَ (2- , 1-)

حول محور التماثُل؛ لإيجاد نقطتَيْن أُخرَيَيْن على التمثيل البيانيِّ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•• أتعلَّم :  بما أنَّ محور التماثُل يقسِمُ القطع المُكافئ جُزأيْن متطابقَيْن فإنَّ لكلِّ نقطة على يسار هذا المحور نقطة تناظرُها
على يمينِهِ وَتَبعُدُ عنهُ المسافةَ نفسَها، ويكونُ للنقطتَيْنِ الإحداثِيُّ y نفسُه.

 

 

 

الخطوة 5 : أصِلُ بين النقاط بمُنحنًى أملس.

Jo Academy Logo