رياضيات فصل أول

1) حدد مجال f(x)

5) اولاً: نجد قيمة الاقتران الخطي: عند طرفي مجاله، أي عندما $x=1$ وعندما $x=-2$ باستعمال جدول كما يلي: 

ثانياً: امثل $f\left(x\right)=3$ عندما $x\ge 1$ هو اقتران ثابت، لذا يمثل بشعاع أفقي عند النقطة $(1,3)$ بدائرة مغلقة لوجود مساواة في رمز المتباينة .

- من التمثيل البياني للاقتران ، أن مداه هو: $[-1,2)\cup \left\{3\right\}$

اتذكر: مدى الاقتران هو مجموعة القيم التي يتخذها على المحور y.

4) اولاً : امثل $f\left(x\right)=-2x+1$ عندما $-3\le x<1$  عندما $x=1$ وعندما  $x=-3$ كما في الجدول الآتي:

ثانيا: أمثل $f\left(x\right)=x^2$ عندما $x\ge 1$ وهو جزء من منحنى قطى مكافىء مفتوح الى الأعلى.

- أنشىء جدول قيم ، لارسم الجزء من منحنى القطع المكافىء الذي يقع يمين العدد 1

- مدى الاقتران: $(-1,\infty )$

اولاً : أكتب قاعدة الاقتران الذي يمثل الجزء الايسر من التمثيل البياني وهو شعاع يمر بالنقطتين: $(-4,0),(-2,2)$ وميله :

$m=\frac{2-0}{-2+4}=1$

ومن ثم ، فأن معادلة الشعاع بصيغة الميل والنقطة هي: $y-2=1(x+2)$ ويمكن كتابتها في صورة: $f\left(x\right)=x+4$ 

اما وجود دائرة مفتوحة عند النقطة $(-1,3)$ فيعني ان هذه القاعدة تقابل الفترة $(-\infty ,-1)$

ثانياً : أكتب قاعدة الاقتران الذي يمثل الجزء الايمن من التمثيل البياني وهو شعاع يمر بالنقطتين: $(-1,2),(0,0)$ وميله: $m=\frac{0-2}{0+1}=-2$

ومن ثم ، فإن معادلة الشعاع يقطع المحور y عند الصفر b=0 ، فأن معادلته بصيغة الميل والمقطع هي: $y=-2x$ أو $f\left(x\right)=-2x$   
اما وجود دائرة مغلقة عند طرف الشعاع الذي يبدأ بالنقطة $(-1,2)$ فيعني ان هذه القاعدة تقابل الفترة $[-1,\infty )$ من مجال الاقتران f(x) .

• اذن ، قاعدة الاقتران هي: $f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}x+4 , x<-1\\ -2x , x\ge -1\end{array}$

تدريب: أكتبُ قاعدة الاقتران f(x) الممثل بيانيُا في الشكل المجاور. 

الإجابة:

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}x+3& ,x<1\\ \frac{-1}{2}x+\frac{9}{2}& , 1\le x\le 3\\ 1& , x>3\end{array}$

أتذكر:

القيمة المطلقة للعدد الحقيقي السالب، تُلغي الإشارة السالبة، وتجعلها موجبة، مثل:

$\left|-5\right|=\left|+5\right|=5$

القيمة المطلقة لأي عدد حقيقي $x$ والتي يُرمز إليها بالرمز $\left|x\right|$ تساوي بعده عن الصفر على خط الأعداد، وبما أن العدد لا يكون سالبا، فإنه يوجد حالتان:

$$\begin{gathered} \left|x\right|=x , x\ge 0 \\ \left|x\right|=-x , x<0 \end{gathered}$$

مثال عددي:

$\left|-\frac{1}{2}\right|=\left|+\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}$

•  خطوات اعادة تعريف اقتران القيمة المطلقة :
-  نساوي ما في داخل رمز القيمة المطلقة بالصفر ، ثم أحل المعادلة الناتجة .
- أعين صفر المعادلة على خط الاعداد ، ثم احدد الاشاراة على جانبيه 
-  أكتب قاعدتي الاقتران حسب اشارة يمين صفر المعادلة ويساره .

$3x-6=0 \to 3x=6 \to x=2$

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}6-3x ,x<2\\ 3x-6 ,x\ge 2\end{array}$

$2x+4=0 \to 2x=-4 \to x=-2$

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}-2x-4 ,x<-2\\ 2x+4 ,x\ge -2\end{array}$

• تمثيل اقتران القيمة المطلقة بيانياً : 

- يتكون التمثيل البياني لاقتران القيمة المطلقة الذي على الصورة $f\left(x\right)=a|mx+b|+c$ حيثُ $a\ne 0 و m\ne 0$ من شعاعين على شكل حرف V متماثلين حول المحور  $x=\frac{-b}{m}$ ، ورأس الاقتران هو النقطة التي يصل عندها الى أعلى قيمة او أقل قيمة واحداثياها $(\frac{-b}{m},c)$

-  يمكن تمثيل اقتران القيمة المطلقة بيانياً باستعمال محور التماثل والرأس.

1) اولاً : نجد احداثي رأس الاقتران ، ومعادلة محور التماثل : $(\frac{-b}{m},c)$

$b=0 ,m=1 ,c=0$

$(\frac{0}{1},0)=(0,0)$

اذن ، احداثيا نقطة الرأس $(0,0)$ومعادلة محور التماثل $x=0$ (المحور y ) 

ثانياً : احدد قيمتين للمتغير x حول محور التماثل ، ثم أجد صورتيهما .

بما أن محور التماثل x=0 أختار قيمة للمتغير x  اكبر من 0 وقيمة أخرى اقل من 0 ثم اجد صورتيهما في الاقتران . 

ثالثاً : نمثل النقطتين والرأس بيانياً: 

نلاحظ من التمثيل البياني أن المجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية ، وان المدى $[0,\infty )$

2) احداثيا نقطة الرأس $(-2,3)$ ، ومعادلة محور التماثل $x=-2$
     نحدد قيمتين للمتغير x حول محور التماثل ثم أجد صورتيهما 

-  نمثل النقطتين والرأس بيانياً 
نلاحظ ان المجال هو مجموعة الاعداد الحقيقية ، وان المدى $(-\infty ,3]$

مثال (7): أكتب قاعدة اقتران القيمة المطلقة $f\left(x\right)$ الممثل بيانياً في الشكل المجاور.
الإجابة:

نجد ميل المعادلة الخطية داخل رمز القيمة المطلقة 
نلاحظ أن الشعاع الايمن يمر في النقطتين (3,0),(5,4) ومنه فأن ميله :

$m=\frac{4-0}{5-3}=2$

نجد احداثي نقطة الرأس ، ثم اعوض الميل واحداقي نقطة الرأس في قاعدة الاقتران ، يظهر من التمثيل البياني أن النقطة (3,0) تمثل رأس التمثيل البياني لاقتران القيمة المطلقة ، اذن : يمكن ايجاد قيمة b من الاحداثي x للرأس كما يأتي :

$x=\frac{-b}{m} \to 3=\frac{-b}{2} \to b=-6$

$f\left(x\right)=a|2x-6|+0$

- نجد قيمة a 
لايجاد قيمة a ، اعوض في قاعدة الاقتران احداثيي نقطة تقع على منحنى الاقتران مثلاً $(0,6)$  وأحل المعادلة الناتجة : 

$f\left(x\right)=a|2x-6|$

$6=a\left|2\right(0)-6| \to 6=6a \to a=1$