رياضيات فصل ثاني

حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين 

أسئلة أتحقق من فهمي 

أتحقق من فهمي صفحة 155

أُعبِّرُ بالرموزِ عنِ الحادثِ الذي تُمثِّلُهُ المنطقةُ المُظلَّلةُ في كلٍّ منْ شكليْ فِنْ الآتيينِ:

الحل :  

 $\mathit{a}\mathbf{)} \overline{A\cap B} \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{b}\mathbf{)} B - A$

---

 

أتحقق من فهمي صفحة 157

كُتِبَتِ الأعدادُ الصحيحةُ منْ 1 إلى 8 على مجموعةٍ منَ البطاقاتِ المُتطابِقةِ ، ثمَّ اختيرَتْ بطاقةٌ عشوائيًّا، ومُثِّلَ الفضاءُ العينيُّ لهذهِ التجربةِ العشوائيةِ التي تحوي الحادثينِ A و B في شكلِ فِنْ المجاورِ. أجدُ كُلًّ منَ الاحتمالاتِ الآتيةِ :           $a) P(B) b) P( \overline{B} ) c) P(A\cap B) d) P(A - B)$

 

الحل :

عدد عناصر الفضاء العيني يساوي 8 ، عدد عناصر الحادث B يساوي 3 ، إذن :  $P\left(B\right) = \frac{\mathbf{3}}{\mathbf{8}}$	$a) P(B)$
عدد عناصر الفضاء العيني يساوي 8 ، عدد عناصر الحادث $\overline{B}$ يساوي 5 ، إذن : $P\left(\overline{B}\right) = \frac{\mathbf{5}}{\mathbf{8}}$	$b) P( \overline{B} )$
عدد عناصر الفضاء العيني يساوي 8 ، عدد عناصر الحادث $A\cap B$  يساوي 2 ، إذن :  $P(A\cap B ) = \frac{2}{8}=\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}$	$c) P(A\cap B)$
عدد عناصر الفضاء العيني يساوي 8 ، عدد عناصر الحادث A - B يساوي 3 ، إذن :  $P(A-B ) = \frac{\mathbf{3}}{\mathbf{8}} \mathbf{ }$	$d) P(A - B)$

أتحقق من فهمي صفحة 159

صفاتٌ وراثيةٌ : يوجدُ في أحدِ الصفوفِ 30 طالبةً، منْهُنَّ 16 طالبةً منْ ذواتِ الشعرِ الأسودِ، و 11 طالبةً لونُ أعينِهِنَّ بُنِّيٌّ، و 7 طالباتِ لونُ أعينِهِنَّ بُنِّيٌّ، وشعرُهُنَّ أسودُ :

a) أُمثِّلُ البياناتِ بشكلِ فِنْ.

b) إذا اختيرَتْ طالبةٌ عشوائيًّا، فأجدُ احتمالَ أنْ يكونَ شعرُها أسودَ، أوْ لونُ عينيها بُنِّيًّا.

c) إذا اختيرَتْ طالبةٌ عشوائيًّا، فأجدُ احتمالَ أنْ يكونَ لونُ عينيها بُنِّيًّا، وشعرُها ليسَ أسودَ.

d) إذا اختيرَتْ طالبةٌ عشوائيًّا، فأجدُ احتمالَ ألّ يكونَ لونُ عينيها بُنِّيًّا، وشعرُها ليسَ أسودَ.

الحل :

a) أُمثِّلُ البياناتِ بشكلِ فِنْ.

أفترضُ أنَّ A هوَ حادثُ اختيارِ طالبة شعرها أسود ، وأنَّ B هوَ حادثُ اختيارِ طالبة لون عينيها بني.

· أُحدِّدُ عددَ الطالبات اللواتي شعرهن أسود فقط  ، وذلكَ بطرحِ عددِ الطالبات اللواتي لونُ أعينِهِنَّ بُنِّيٌّ، وشعرُهُنَّ أسودُ من

عدد الطالبات اللواتي شعرهن أسود  :   $16 - 7 = \mathbf{9}$

 

· أُحدِّدُ عددَ الطالبات اللواتي لون أعينهن بني فقط  ، وذلكَ بطرحِ عددِ الطالبات اللواتي لونُ أعينِهِنَّ بُنِّيٌّ، وشعرُهُنَّ أسودُ من

عدد الطالبات اللواتي لون أعينهن بني :  $11 - 7 =\mathbf{ }\mathbf{4}$

 

• أُحدِّدُ عددَ الطالبات اللواتي شعرهن ليس أسود ولون أعينهن ليس بنيًا ،وذلك بطرح عدد الطالبات اللواتي شعرهن أسود

فقط وعدد الطالبات اللواتي لون أعينهن بني فقط ، وعدد الطالبات اللواتي شعرهن أسود ولون أعينهن بني معًا من العدد

الكلي للطالبات.  $30 -(9+4+7) = \mathbf{10}$ 

 

b) إذا اختيرَتْ طالبةٌ عشوائيًّا، فأجدُ احتمالَ أنْ يكونَ شعرُها أسودَ، أوْ لونُ عينيها بُنِّيًّا.

$P(A\cup B) = \frac{20}{30} =\mathbf{ }\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}$

 

 

c) إذا اختيرَتْ طالبةٌ عشوائيًّا، فأجدُ احتمالَ أنْ يكونَ لونُ عينيها بُنِّيًّا، وشعرُها ليسَ أسودَ.

$P(B-A) = \frac{4}{30} =\mathbf{ }\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{15}}$

 

 

d) إذا اختيرَتْ طالبةٌ عشوائيًّا، فأجدُ احتمالَ ألّا يكونَ لونُ عينيها بُنِّيًّا، وشعرُها ليسَ أسودَ.

$P(\overline{A}\cap \overline{B}) = \frac{10}{30} = \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}$

 

---

أتحقق من فهمي صفحة 161

كُتِبَتِ الأعدادُ الصحيحةُ منْ 1 إلى 10 على مجموعةٍ منَ البطاقاتِ المُتطابِقةِ، ثمَّ اختيرَتْ بطاقةٌ عشوائيًّا، ومُثِّلَ الفضاءُ العينيُّ لهذهِ التجربةِ العشوائيةِ التي تحوي الحادثينِ M و N في شكلِ فِنْ المجاورِ. أجدُ كُلًّ منَ الاحتمالاتِ الآتيةِ: $a) P(M\cap N) b) P(M\cup N) c) P(M - N)$

الحل :

أُلاحِظُ منْ شكلِ فِنْ أنَّ الحادثَ M والحادثَ N متنافيانِ؛ لأنَّهُ لا توجدُ عناصرُ مشتركةٌ بينَهُما. إذنْ : $P(M\cap N) = \frac{0}{10} = \mathbf{0}$		$a) P(M\cap N)$
$P(M\cup N) = \frac{6}{10} = \frac{\mathbf{3}}{\mathbf{5}}$		$b) P(M\cup N)$
$P(M-N) = \frac{\mathbf{3}}{\mathbf{10}} \mathbf{ }$		$c) P(M-N)$

 

---

أتحقق من فهمي صفحة 162

قرصٌ دائريٌّ مُقسَّمٌ إلى 3 قطاعاتٍ غيرِ مُتطابِقةٍ، ومُلوَّنةٍ بالأحمرِ والأصفرِ والأزرقِ. إذا كانَ الجدولُ المجاورُ يُبيِّنُ احتمالَ توقُّفِ المُؤشِّرِ عندَ كلِّ لونٍ منْ هذهِ الألوانِ، فأجدُ قيمةَ  x.

الحل :

مجموعُ احتمالات الحوادثِ الشاملةِ	$0.3 + 0.4 + x = 1$
بجمعِ الثوابتِ	$0.7 + x = 1$
بطرحِ 0.7 منَ الطرفينِ	$\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{3}$

 

---

أسئلة أتدرب وأحل المسائل

أُعبِّرُ بالرموزِ عنِ الحادثِ الذي تُمثِّلُهُ المنطقةُ المُظلَّلةُ في كلٍّ منْ أشكالِ فِنْ الآتيةِ :

الحل  :  $\overline{B - A}$
الحل  : $A - B$
الحل  : $A\cap B\cap C$
الحل  : $A\cup B\cup C$

 

---

 

 

كُتِبَتِ الأعدادُ الصحيحةُ منْ 0 إلى 9 على مجموعةٍ منَ البطاقاتِ المُتطابِقةِ، ثمَّ اختيرَتْ بطاقةٌ عشوائيًّا، ومُثِّلَ الفضاءُ العينيُّ لهذهِ التجربةِ العشوائيةِ التي تحوي الحادثينِ A و B في شكلِ فِنْ المجاورِ. أجدُ كُلًّ منَ الاحتمالاتِ الآتيةِ :         $$\begin{gathered} 5) P(A) 6) P\left(B\right) 7) P(A\cap B) \\ 8) P(A\cup B) 9) P\left(\overline{A}\right) 10) P\left(\overline{B}\right) \\ 11) P\left(\overline{A\cap B}\right) 12) P(\overline{A\cup B}) 13) P(B-A) \end{gathered}$$

الحل :

عدد عناصر الفضاء العيني = 10

$5) P(A) = \frac{4}{10}=\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{5}}$

$6) P(B) = \frac{4}{10}=\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{5}}$

$7) P(A\cap B) = \frac{2}{10}=\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{5}}$

$8) P(A\cup B) = \frac{6}{10}=\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{5}}$

$9) P(\overline{A}) = \frac{6}{10}=\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{5}}$

$10) P(\overline{B}) = \frac{6}{10}=\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{5}}$

$11) P(\overline{A\cap B}) =\frac{8}{10}=\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{5}}$

$12) P(\overline{A\cup B}) =\frac{4}{10} =\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{5}}$

$13) P(B-A) =\frac{2}{10}=\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{5}}$

---

 

يحتوي صندوقٌ على بطاقاتٍ مُتطابِقةٍ، ومُرقَّمةٍ منْ 1 إلى 100 . إذا سُحِبَتْ بطاقةٌ عشوائيًّا، فأجدُ احتمالَ كلِّ حادثٍ ممّا

يأتي باستعمالِ أشكالِ فِنْ:

14) أنْ يكونَ العددُ المُدوَّنُ على البطاقةِ منْ مضاعفاتِ العددِ 15 ، ومضاعفاتِ العددِ 10 .
 

15) أنْ يكونَ العددُ المُدوَّنُ على البطاقةِ منْ مضاعفاتِ العددِ 15 أوْ مضاعفاتِ العددِ 10 .
 

16) أنْ يكونَ العددُ المُدوَّنُ على البطاقةِ منْ مضاعفاتِ العددِ 10 ، وليسَ منْ مضاعفاتِ العددِ 15 .
 

17) ألّا يكونَ العددُ المُدوَّنُ على البطاقةِ منْ مضاعفاتِ العددِ 10 ، ومضاعفاتِ العددِ 15 .

الحل :

أفترضُ أنَّ A هوَ حادثُ ظهور عدد من مضاعفات العدد 10 ، وأنَّ B هوَ حادثُ ظهور عدد من مضاعفات العدد 15  

$A =\{ 10 , 20 , 30 , 40 , 50 , 60 , 70 , 80 , 90 , 100\}$   , $B = \{15 , 30 , 45 , 60 , 75 . 90\}$

14) أنْ يكونَ العددُ المُدوَّنُ على البطاقةِ منْ مضاعفاتِ العددِ 15 ، ومضاعفاتِ العددِ 10 .

$P(A\cap B) = \frac{\mathbf{3}}{\mathbf{100}}$

---

15) أنْ يكونَ العددُ المُدوَّنُ على البطاقةِ منْ مضاعفاتِ العددِ 15 أوْ مضاعفاتِ العددِ 10 .

$P(A\cup B) = \frac{\mathbf{13}}{\mathbf{100}}$

---

16) أنْ يكونَ العددُ المُدوَّنُ على البطاقةِ منْ مضاعفاتِ العددِ 10 ، وليسَ منْ مضاعفاتِ العددِ 15 .

$P(A-B) = \frac{\mathbf{7}}{\mathbf{100}}$ 

---

 

17) ألّا يكونَ العددُ المُدوَّنُ على البطاقةِ منْ مضاعفاتِ العددِ 10 ، ومضاعفاتِ العددِ 15 .

$P\left(\overline{A\cap B}\right) =\frac{\mathbf{97}}{\mathbf{100}}$

---

 

تغذيةٌ : في دراسةٍ شملَتْ 320 شخصًا يعانونَ السمنةَ، تبيَّنَ أنَّ 130 شخصًا منْهُمْ يراجعونَ اختصاصيي التغذيةِ، وأنَّ 147 شخصًا يمارسونَ الرياضةَ، وأنَّ 64 شخصًا يراجعونَ اختصاصيي التغذيةِ، ويمارسونَ الرياضةَ معًا. إذا اختيرَ أحدُ هؤلاءِ الأشخاصِ عشوائيًّا، فأجدُ احتمالَ كلِّ حادثٍ ممّا يأتي باستعمالِ أشكالِ فِنْ: 18) أنْ يكونَ الشخصُ ممَّنْ يمارسونَ الرياضةَ، ويراجعونَ اختصاصيي التغذيةِ. 19) أنْ يكونَ الشخصُ ممَّنْ يمارسونَ الرياضةَ، ولا يراجعونَ اختصاصيي التغذيةِ. 20) أنْ يكونَ الشخصُ ممَّنْ لا يمارسونَ الرياضةَ، ولا يراجعونَ اختصاصيي التغذيةِ.

 

الحل :

أفترضُ أنَّ A هوَ حادثُ عدد الأشخاص الذين يراجعون اختصاصيي التغذيةِ ، وأنَّ B هوَ حادثُ عدد الأشخاص الذين يمارسون

الرياضة . 

عدد الأشخاص الذين يراحعون اختصاصي التغذية فقط : $130 - 64 = 66$

عدد الأشخاص الذين يمارسون الرياضة فقط  : $147 - 64 = 83$

عدد الأشخاص الذين لا يراحعون اختصاصي التغذية ولا يمارسون الرياضة : $320 -(66 + 83 +64) = 107$

 

18) أنْ يكونَ الشخصُ ممَّنْ يمارسونَ الرياضةَ، ويراجعونَ اختصاصيي التغذيةِ.

$P(A\cap B) = \frac{64}{320} =\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{5}}$

---

 

19) أنْ يكونَ الشخصُ ممَّنْ يمارسونَ الرياضةَ، ولا يراجعونَ اختصاصيي التغذيةِ.

$P(B-A) = \frac{\mathbf{83}}{\mathbf{320}}$

---

20) أنْ يكونَ الشخصُ ممَّنْ لا يمارسونَ الرياضةَ، ولا يراجعونَ اختصاصيي التغذيةِ.

$P(\overline{A}\cap \overline{B}) = \frac{\mathbf{107}}{\mathbf{320}}$

---

 

 

صفاتٌ وراثيةٌ : سألَتِ المُعلِّمةُ الطالباتِ في أحدِ الصفوفِ عمَّنْ ترتدي منْهُنَّ نظّارةً، أوْ تكتبُ بيدِها اليسرى، ثمَّ لخَّصَتِ البياناتِ في شكلِ فِنْ المجاورِ. إذا اختيرَتْ طالبةٌ منْهُنَّ عشوائيًّا، فأجدُ كُلًّ منَ الاحتمالاتِ الآتيةِ : 21) أنْ تكونَ الطالبةُ ترتدي نظّارةً، وتكتبُ بيدِها اليسرى. 22) أنْ تكونَ الطالبةُ ترتدي نظّارةً، أوْ تكتبُ بيدِها اليسرى. 23) أنْ تكونَ الطالبةُ لا ترتدي نظّارةً.

الحل :

أفترض أن A حادث الطالبات اللواتي يرتدين نظارة ـ وأنّ B حادث الطالبات اللواتي يكتبن باليد اليسرى

21) أنْ تكونَ الطالبةُ ترتدي نظّارةً، وتكتبُ بيدِها اليسرى.

يتضح من شكل فن أنّ الحادثين متنافيان ، إذن : $P(A\cap B) = \frac{0}{30} =\mathbf{ }\mathbf{0}$

---

22) أنْ تكونَ الطالبةُ ترتدي نظّارةً، أوْ تكتبُ بيدِها اليسرى.

$P(A\cup B) = \frac{5}{30} =\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}$

---

23) أنْ تكونَ الطالبةُ لا ترتدي نظّارةً.

$P\left(\overline{A}\right) = \frac{27}{30} = \frac{\mathbf{9}}{\mathbf{10}}$

---

 

24) قرصٌ دائريٌّ مُقسَّمٌ إلى 6 قطاعاتٍ غيرِ مُتطابِقةٍ ، وهيَ مُرقَّمةٌ بالأرقامِ: 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1. إذا كانَ الجدولُ المجاورُ يُبيِّنُ احتمالَ توقُّفِ المُؤشِّرِ عندَ كلِّ رقمٍ منْ هذهِ الأرقامِ، فأجدُ قيمةَ

 

الحل :

مجموع احتمالات الحوادث الشاملة يساوي 1 ، إذن : 

$$\begin{gathered} 0.2 + 0.25 + 0.15 + x + 1.15 + 0.1 = 1 \\ x + 0.85 = 1 \\ \mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{15} \end{gathered}$$

---

 

25) أحُلُّ المسألةَ الواردةَ بدايةَ الدرسِ.

مسألةُ اليومِ : يدرسُ 120 طالبًا في معهدِ لغاتٍ، منْهُمْ 75 طالبًا يدرسونَ اللغةَ الكوريةَ، و 35 طالبًا يدرسونَ اللغةَ الإسبانيةَ، و 10 طلبةٍ يدرسونَ اللغتينِ معًا. إذا اختيرَ طالبٌ منَ المعهدِ عشوائيًّا، فما احتمالُ أنْ يكونَ ممَّنْ يدرسونَ اللغةَ الكوريةَ فقطْ؟

الحل :

أفترضُ أنَّ A هوَ حادثُ عدد الطلاب الذين يدرسون اللغة الكورية  ، وأنَّ B هوَ حادثُ عدد الطلاب الذين يدرسون اللغة الأسبانية.

عدد الطلاب الذين يدرسون اللغة الكورية فقط : $75 - 10 = 65$

عدد الطلاب الذين يدرسون اللغة الأسبانية فقط  : $35 - 10 = 25$

عدد الطلاب الذين لا يدرسون اللغتين معًا : $120 -(65 + 25 + 10) = 20$

إذا اختيرَ طالبٌ منَ المعهدِ عشوائيًّا فإن احتمال أن يكون ممن يدرسون اللعة الكورية فقط :  $P(A-B) = \frac{65}{120} = \frac{\mathbf{13}}{\mathbf{24}}$

---

 

مهاراتُ التفكيرِ العليا

تبرير : يُبيِّنُ مُخطَّطُ الاحتمالِ المجاورُ الفضاءَ العينيَّ لتجربةٍ عشوائيةٍ. إذا كانَ الحادثُ A يُمثِّلُ النقاطَ الواقعةَ على المستقيمِ x = y ، وكانَ الحادثُ B يُمثِّلُ النقاطَ الواقعةَ على المستقيمِ y = 4 - x ، فأُجيبُ عنِ السؤالينِ الآتيينِ تباعًا : 26) أُمثِّلُ التجربةَ بأشكالِ فِنْ. 27) إذا اختيرَتْ نقطةٌ عشوائيًّا، فأجدُ احتمالَ أنْ تقعَ على المستقيمِ y = x ، والمستقيمِ y = 4 – x ، مُبرِّرًا إجابتي.

الحل :

تحديد النقاط الواقعة على المستقيمين بيانيًا	التمثيل بأشكال فن

 

هناك نقطة واحدة تقع على المستقيمين ، وهي (2 ، 2) ، وهي تتمثل بمنطقة التقاطع بين المجموعتين A  و B في شكل فن الممثل أعلاه .

احتمال الحادث :

$\Omega = 16$ 

 $P(A\cap B) = \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{16}}$ 

 

---

 

 

تبرير : أستعملُ شكلَ فِنْ المجاورَ لكتابةِ كلٍّ منَ الحوادثِ الآتيةِ في أبسطِ صورةٍ  :مُبرِّرًا إجابتي  $28) A\cap B 29) A\cup B 30) B - A$

الحل :

28) $A\cap B =\mathbf{ }\mathit{B}$ ؛ لأنّ B محتواة في A.

29) $A\cup B =\mathbf{ }\mathit{A}$  ؛ لأنّ B محتواة في A.

30) $B-A =\mathbf{\varnothing }$  ؛ لأنّ لا يوجد عناصر في B وليست في A.  

 

---

أسئلة كتاب التمارين 

أُظلِّلُ المنطقةَ التي تُمثِّلُ الحادثَ المعطى في كلٍّ منْ أشكالِ فِنْ الآتيةِ :   

الحل :

 

الحل :

 

الحل :

 

 

الحل :

 

 

الحل :

 

 

 

الحل :

 

---

 

 

يُبيِّنُ شكلُ فِنْ المجاورُ الحادثَ X والحادثَ Y في تجربةِ إلقاءِ حجرِ نردٍ. أجدُ كُلًّ منَ الاحتمالاتِ الآتيةِ :   $$\begin{gathered} 7) P(X ) 8) P(Y ) 9) P(X\cap Y) \\ 10) P(X\cup Y ) 11) P(\overline{ X} ) 12) P( \overline{Y} ) \\ 13) P(\overline{X\cap Y}) 14) P\left(\overline{X\cup Y}\right) 15) P(Y-X) \end{gathered}$$

 

الحل :

$7) P(X) = \frac{3}{6} =\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$

$8) P(Y) = \frac{2}{6} =\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}$

$9) P(X\cap Y) =\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}$

$10) P(X\cup Y ) =\frac{4}{6}=\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}$

$11) P(\overline{ X} ) =\frac{3}{6} = \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$

$12) P( \overline{Y} ) = \frac{4}{6} = \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}$

$13) P(\overline{X\cap Y}) = \frac{\mathbf{5}}{\mathbf{6}}$

$14) P(\overline{X\cup Y}) = \frac{2}{6} = \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}$

$15) P(Y-X) =\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}$

---

 

سُحِبَتْ كرةٌ عشوائيًّا منْ صندوقٍ يحوي كراتٍ مُتماثِلةً، ومُرقَّمةً منْ 1 إلى 30 . إذا كانَ E هوَ حادثَ ظهورِ عددٍ زوجيٍّ، وكانَ

T هوَ حادثَ ظهورِ عددٍ منْ مضاعفاتِ العددِ 3، وكانَ F هوَ حادثَ ظهورِ عددٍ منْ مضاعفاتِ العددِ 5، فأُجيبُ عنِ الأسئلةِ

الخمسةِ الآتيةِ تباعًا:

16)  أُمثِّلُ في شكلِ فِنْ الآتي الفضاءَ العينيَّ للتجربةِ العشوائيةِ، وكُلًّ منَ الحادثِ E، والحادثِ T، والحادثِF.

الحل : 

17) أجدُ احتمالَ أنْ يكونَ العددُ على الكرةِ التي سُحِبَتْ منْ مضاعفاتِ العددِ 3.

$P\left(T\right) = \frac{10}{30} =\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}$

18) أجدُ احتمالَ أنْ يكونَ العددُ على الكرةِ التي سُحِبَتْ منْ مضاعفاتِ العددِ 3 والعددِ 5.

$P(T\cap F) = \frac{2}{30} =\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{15}}$

19) أجدُ احتمالَ أنْ يكونَ العددُ على الكرةِ التي سُحِبَتْ منْ مضاعفاتِ العددِ 5، أوْ عددًا زوجيًّا.

$P(F\cup E) = \frac{18}{30} =\mathbf{ }\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{5}}$

20) أجدُ احتمالَ ألّ يكونَ العددُ زوجيًّا على الكرةِ التي سُحِبَتْ.

$P\left(E\right) = \frac{15}{30} = \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$

---

 

21) إذا كانَ الفضاءُ العينيُّ لتجربةٍ عشوائيةٍ هوَ: { 12 , 11 , 10 , 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , Ω = {1 ، وكانَ الحادثُ S يُمثِّلُ

المُربَّعاتِ الكاملةَ منْ بينِ هذهِ الأعدادِ، وكانَ الحادثُ E يُمثِّلُ الأعدادَ الزوجيةَ، فأُمثِّلُ في شكلِ فِنْ الآتي الفضاءَ

العينيَّ للتجربةِ العشوائيةِ، وكُلًّ منَ الحادثِ S، والحادثِ E

الحل : 

 

أجدُ كُلًّ منَ الاحتمالاتِ الآتيةِ بناءً على شكلِ فِنْ أعلاهُ:

$22) P( \overline{E} ) 23) P(S \cap \overline{ E} ) 24) P( \overline{S \cup E} )$

 

الحل : 

 $22) P( \overline{E} ) = \frac{6}{12} = \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$                                           $23) P(S \cap \overline{ E} ) =\frac{2}{12} =\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}$                                        $24) P( \overline{S \cup E} ) = \frac{4}{12}=\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}$

 

---

يعملُ في أحدِ المصانعِ 35 عاملاً، منْهُمْ 20 عاملاً يُفضِّلونَ شربَ الشايِ، و 17 عاملاً يُفضِّلونَ شربَ القهوةِ، و 5 عُمّالٍ

يُفضِّلونَ شربَ الشايِ والقهوةِ. إذا اختيرَ عاملٌ منْهُمْ عشوائيًّا، فأجدُ احتمالَ كلٍّ منَ الحوادثِ الآتيةِ باستعمالِ أشكالِ فِنْ:
 

25) أنْ يكونَ العاملُ ممَّنْ يُفضِّلونَ شربَ الشايِ فقطْ.
 

26) أنْ يكونَ العاملُ ممَّنْ لا يُفضِّلونَ شربَ القهوةِ.

27) أنْ يكونَ العاملُ ممَّنْ لا يُفضِّلونَ شربَ الشايِ، ولا يُفضِّلونَ شربَ القهوةِ.

الحل :

أفترضُ أنَّ A هوَ حادثُ عدد العمال الذين يفضلون شرب الشاي  ، وأنَّ B هوَ حادثُ عدد العمال الذين يفضلون شرب القهوة.

عدد العمال الذين بفضلون شرب الشاي فقط : $20 - 5 = 15$

عدد العمال الذين بفضلون شرب القهوة فقط : $17 - 5 = 12$

عدد العمال الذين لا يشربون الشاي ولا القهوة : $35 - (15 + 12 + 5) = 3$

25) أنْ يكونَ العاملُ ممَّنْ يُفضِّلونَ شربَ الشايِ فقطْ.

$P(A-B) = \frac{15}{35} = \frac{\mathbf{3}}{\mathbf{7}}$
 

26) أنْ يكونَ العاملُ ممَّنْ لا يُفضِّلونَ شربَ القهوةِ.

$P\left(\overline{B}\right) = \frac{\mathbf{18}}{\mathbf{35}}$

27) أنْ يكونَ العاملُ ممَّنْ لا يُفضِّلونَ شربَ الشايِ، ولا يُفضِّلونَ شربَ القهوةِ.

$P(\overline{A}\cap \overline{B}) = \frac{\mathbf{3}}{\mathbf{35}}$

---

 

مُعتمِدًا شكلَ فِنْ المجاورَ الذي يُمثِّلُ الفضاءَ العينيَّ لتجربةٍ عشوائيةٍ تحوي الحوادثَ: A ، و B، و C، و D، و E. أُحدِّدُ الجملَ الصحيحةَ والجملَ غيرَ الصحيحةِ في ما يأتي، مُبرِّرًا إجابتي: A (28 و B حادثانِ متنافيانِ.               A (29 و D حادثانِ متنافيانِ. B (30 و C حادثانِ شاملانِ.                A (31 ، و B، و C، و D، و E حوادثُ شاملةٌ.

الحل :

A (28 و B حادثانِ متنافيانِ. 

عبارة غير صحيحة ، لوجود منطقة مشتركة بينهما . 

A (29 و D حادثانِ متنافيانِ.

عبارة صحيحة ، لا يوجد منطقة مشتركة بينهما . 

B (30 و C حادثانِ شاملانِ.

عبارة غير صحيحة ، لأن اتحادهما لا يساوي $\Omega$. 

A (31 ، و B، و C، و D، و E حوادثُ شاملةٌ.

عبارة صحيحة ، لأن اتحاد هذه الحوادث يساوي $\Omega$

---