رياضيات فصل أول

التوجيهي علمي

الشرح الملخص أوراق العمل حل اسئلة الدرس النتاجات

أجد مشتقة كل اقتران مما يأتي :

$a) f (x) = t a n 3 x^{2} S o l u t i o n : f^{'} (x) = s e c^{2} (3 x^{2}) \times 6 x = 6 x s e c^{2} (3 x^{2})$

$b) f (x) = e^{l n x} S o l u t i o n : f (x) = e^{l n x}; e^{l n x} = x f (x) = x \Rightarrow f^{'} (x) = 1$

$c) f (x) = l n c o t x S o l u t i o n : f^{'} (x) = \frac{\frac{d}{d x} (c o t x)}{c o t x} = - \frac{c s c^{2} x}{c o t x} = - 2 c s c 2 x$

أجد مشتقة كل اقتران مما يأتي :

$a) f (x) = \sqrt[5]{{(x^{2} - 1)}^{2}} S o l u t i o n : f (x) = \sqrt[5]{{(x^{2} - 1)}^{2}}; \sqrt[n]{x^{m}} = x^{\frac{m}{n}} f (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{5}} f^{'} (x) = \frac{2}{5} {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 3}{5}} (2 x); \frac{d}{d x} (u^{n} (x)) = n u^{n - 1} (x) u^{'} (x) = \frac{4 x}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{5}}} = \frac{4 x}{5 \sqrt[5]{{(x^{2} - 1)}^{3}}}$

$b) f (x) = \sqrt{c o s x} S o l u t i o n : f^{'} (x) = \frac{\frac{d}{d x} (c o s x)}{2 \sqrt{c o s x}}; \frac{d}{d x} (\sqrt{u (x)}) = \frac{u^{'} (x)}{2 \sqrt{u (x)}} = - \frac{s i n x}{2 \sqrt{c o s x}}$

$c) f (x) = {(l n x)}^{5} S o l u t i o n : f (x) = {(l n x)}^{5} f^{'} (x) = 5 {(l n x)}^{4} \times \frac{1}{x}; \frac{d}{d x} (u^{n} (x)) = n u^{n - 1} (x) u^{'} (x) = \frac{5 {(l n x)}^{4}}{x}$

أجد مشتقة كل اقتران مما يأتي :

$a) f (x) = c o s^{2} (7 x^{3} + 6 x - 1) S o l u t i o n : f (x) = c o s^{2} (7 x^{3} + 6 x - 1) f^{'} (x) = - 2 c o s (7 x^{3} + 6 x - 1) s i n (7 x^{3} + 6 x - 1) (21 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} (u (g {(x))}^{n} = n (u (g {(x))}^{(n - 1)} u^{'} (g (x)) g^{'} (x) = - (42 x^{2} + 12) c o s (7 x^{3} + 6 x - 1) s i n (7 x^{3} + 6 x - 1)$

$b) f (x) = (2 + {(x^{2} + 1)}^{4})^{3} S o l u t i o n : f (x) = (2 + {(x^{2} + 1)}^{4})^{3} f^{'} (x) = 3 (2 + {(x^{2} + 1)}^{4})^{2} (4 (x^{2} + 1)^{3}) 2 x = 24 x (2 + {(x^{2} + 1)}^{4})^{2} (x^{2} + 1)^{3}$

a) أجد ميل المماس لمنحنى الاقتران $f (x) = {(2 x + 1)}^{5} {(x^{3} - x + 1)}^{4}$ عندما $x = 1$ :

$S o l u t i o n : m = f^{'} (1) f' (x) = \frac{d}{d x} {(2 x + 1)}^{5} {(x^{3} - x + 1)}^{4} + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} {(x^{3} - x + 1)}^{4} = 5 {(2 x + 1)}^{4} (2) {(x^{3} - x + 1)}^{4} + {(2 x + 1)}^{5} (3 ({(x^{3} - x + 1)}^{3}) (3 x^{2} - 1) w h e n x = 1 \Rightarrow f^{'} (1) = 2754$

b) أجد ميل العمودي على المماس لمنحنى الاقتران $f (x) = \frac{c o s^{2} x}{e^{2 x}}$ عندما $x = \frac{π}{2}$ :

$S o l u t i o n : f (x) = \frac{c o s^{2} x}{e^{2 x}} m = \frac{1}{f^{'} (\frac{π}{2})} f^{'} (x) = \frac{2 c o s x s i n x e^{2 x} - c o s^{2} x (2 e^{2 x})}{e^{4 x}} f^{'} (\frac{π}{2}) = \frac{2 c o s (\frac{π}{2}) s i n (\frac{π}{2}) e^{2 (\frac{π}{2})} - c o s^{2} (\frac{π}{2}) (2 e^{2 (\frac{π}{2})})}{e^{4 (\frac{π}{2})}} = 0 \Rightarrow m = \frac{1}{0} = \infty$

قيمة بدل الخدمة لأحد المُنتّجات تُحسَب بالدينار, باستعمال الاقتران: $U (x) = 80 \sqrt{\frac{2 x + 1}{3 x + 4}}$ ، حيث x عدد القطع المبيعة من المنتج .

a) أجد مُعدّل تغيُّر قيمة بدل الخدمة بالنسبة إلى عدد القطع المبيعة من المُنتج.

$S o l u t i o n : U (x) = 80 {(\frac{2 x + 1}{3 x + 4})}^{\frac{1}{2}} U^{'} (x) = 80 \times \frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{3 x + 4})}^{\frac{- 1}{2}} (\frac{2 (3 x + 4) - (2 x + 1) (3)}{{(3 x + 4)}^{2}}) = 40 {(\frac{3 x + 4}{2 x + 1})}^{\frac{1}{2}} (\frac{5}{{(3 x + 4)}^{2}}) = \frac{200}{\sqrt{2 x + 1} {(3 x + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

b) أجد $U^{'} (20)$ مُفْسَرًا معنى الناتج .

$S o l u t i o n : U^{'} (20) = \frac{200}{\sqrt{2 (20) + 1} {(3 (20) + 4)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{25}{64 \sqrt{41}}$

أجد مشتقة كل اقتران مما يأتي :

$a) f (x) = π^{π x} S o l u t i o n : f^{'} (x) = l n π \times π^{π x} \times π = π l n π \times π^{π x}; \frac{d}{d x} (a^{u (x)}) = l n a u^{'} (x) (a^{u (x)}) = π^{π x + 1} l n π$

$b) f (x) = 6^{(1 - x^{3})} S o l u t i o n : f^{'} (x) = l n 6 \times 6^{(1 - x^{3})} \times (- 3 x^{2}) = - 3 x^{2} l n 6 \times 6^{(1 - x^{3})}; \frac{d}{d x} (a^{u (x)}) = l n a u^{'} (x) (a^{u (x)})$

$c) f (x) = e^{4 x} + 4^{2 x} S o l u t i o n : f^{'} (x) = 4 e^{4 x} + l n 4 \times 4^{2 x} \times (2) = 4 e^{4 x} + l n 16 \times 4^{2 x}; \frac{d}{d x} (a^{u (x)}) = l n a u^{'} (x) (a^{u (x)}); \frac{d}{d x} (e^{u (x)}) = u^{'} (x) (e^{u (x)})$

أجد مشتقة كل اقتران مما يأتي:

$a) f (x) = l o g (s e c x) S o l u t i o n : f^{'} (x) = \frac{1}{l n_{10}} \frac{\frac{d}{d x} (s e c x)}{s e c x}; \frac{d}{d x} (l o g_{a} (u (x)) = \frac{1}{l n a} \frac{u^{'} (x)}{u (x)} = \frac{1}{l n 10} \frac{s e c x t a n x}{s e c x} = \frac{t a n x}{l n 10}$

$b) f (x) = l o g_{8} (x^{2} + 3 x) S o l u t i o n : f^{'} (x) = \frac{1}{l n 8} \frac{\frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x)}{x^{2} + 3 x}; \frac{d}{d x} (l o g_{a} (u (x)) = \frac{1}{l n a} \times \frac{u^{'} (x)}{u (x)} = \frac{1}{l n 8} \frac{2 x + 3}{x^{2} + 3 x} = \frac{2 x + 3}{l n 8 \times (x^{2} + 3 x)} = \frac{2 x + 3}{3 l n 2 \times (x^{2} + 3 x)}$

أجد معادلة مماس منحنى المعادلة الوسيطية الآتية عندما $t = \frac{π}{4}$ : $x = s e c t, y = t a n t : - \frac{π}{2} < t < \frac{π}{2} .$

$S o l u t i o n : x = s e c t \Rightarrow \frac{d x}{d t} = s e c t t a n t y = t a n t \Rightarrow \frac{d y}{d t} = s e c^{2} t \frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d t} \times \frac{d t}{d x} = s e c^{2} t \times \frac{1}{s e c t t a n t} = \frac{s e c t}{t a n t} = \frac{1}{c o s t} \times \frac{c o s t}{s i n t} = c s c t w h e n t = \frac{π}{4} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = c s c (\frac{π}{4}) = \sqrt{2} y = t a n (\frac{π}{4}) = 1 x = s e c (\frac{π}{4}) = \sqrt{2} y - y_{1} = m (x - x_{1}) y - 1 = \sqrt{2} (x - \sqrt{2}) \Rightarrow y = \sqrt{2} x - 1$

أجد مشتقة كل اقتران مما يأتي:

$1) f (x) = e^{4 x + 2} S o l u t i o n : f^{'} (x) = e^{4 x + 2} \times \frac{d}{d x} (4 x - 2) = 4 e^{4 x + 2}$

$2) f (x) = 50 e^{2 x - 10} S o l u t i o n : f^{'} (x) = 50 e^{2 x - 10} \times \frac{d}{d x} (2 x - 10) = 100 e^{2 x - 10}$

$3) f (x) = c o s (x^{2} - 3 x - 4) S o l u t i o n : f^{'} (x) = \frac{d}{d x} c o s (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 3 x - 4) = - (2 x - 3) s i n (x^{2} - 3 x - 4)$

$4) f (x) = 10 x^{2} e^{- x^{2}} S o l u t i o n : f^{'} (x) = \frac{d}{d x} (10 x^{2}) e^{- x^{2}} + 10 x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) = 20 x e^{- x^{2}} + 10 x^{2} (- 2 x e^{- x^{2}}) = \frac{1}{e^{x^{2}}} (20 x - 20 x^{3})$

$5) f (x) = \sqrt{\frac{x + 1}{x}} S o l u t i o n : f (x) = \sqrt{\frac{x + 1}{x}} = {(1 + \frac{1}{x})}^{\frac{1}{2}} f^{'} (x) = \frac{1}{2} {(1 + \frac{1}{x})}^{\frac{- 1}{2}} (\frac{- 1}{x^{2}}) = - \frac{1}{2 x^{2}} \sqrt{1 + \frac{1}{x}}$

$6) f (x) = x^{2} t a n \frac{1}{x} S o l u t i o n : f^{'} (x) = 2 x t a n \frac{1}{x} + x^{2} s e c^{2} \frac{1}{x} \times \frac{- 1}{x^{2}} = 2 x t a n \frac{1}{x} - s e c^{2} \frac{1}{x}$

$7) f (x) = 3 x - 5 c o s {(π x)}^{2} S o l u t i o n : f^{'} (x) = 3 + 5 \times 2 π (π x) s i n {(π x)}^{2} = 3 + 10 π^{2} x s i n {(π x)}^{2}$

$8) f (x) = l n (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) S o l u t i o n : f (x) = l n (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = l n (1 + e^{x}) - l n (1 - e^{x}) f^{'} (x) = \frac{\frac{d}{d x} (1 + e^{x})}{1 + e^{x}} - \frac{\frac{d}{d x} (1 - e^{x})}{1 - e^{x}} = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} + \frac{e^{x}}{1 - e^{x}} = \frac{2 e^{x}}{1 - e^{2 x}}$

$9) f (x) = {(l n x)}^{4} S o l u t i o n : f^{'} (x) = 4 {(l n x)}^{3} \frac{d}{d x} (l n x) = 4 {(l n x)}^{3} (\frac{1}{x}) = \frac{4 {(l n x)}^{3}}{x}$

$10) f (x) = s i n \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{s i n x} S o l u t i o n : f (x) = s i n {(x)}^{\frac{1}{3}} + {(s i n x)}^{\frac{1}{3}} f^{'} (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} c o s {(x)}^{\frac{1}{3}} + {\frac{1}{3} (s i n x)}^{\frac{- 2}{3}} c o s x = \frac{c o s \sqrt[3]{x}}{3 \sqrt[3]{x^{2}}} + \frac{c o s x}{3 \sqrt[3]{s i n^{2} x}}$

$11) f (x) = \sqrt[5]{x^{2} + 8 x} S o l u t i o n : f (x) = \sqrt[5]{x^{2} + 8 x} = {(x^{2} + 8 x)}^{\frac{1}{5}} f^{'} (x) = \frac{1}{5} {(x^{2} + 8 x)}^{\frac{- 4}{5}} (2 x + 8) = \frac{2 x + 8}{5 \sqrt[5]{{(x^{2} + 8 x)}^{4}}}$

$12) f (x) = \frac{3^{2 x}}{x} S o l u t i o n : f^{'} (x) = \frac{2 \times 3^{2 x} l n 3 \times x - 1 \times 3^{2 x}}{x^{2}} = \frac{3^{2 x} (2 x l n 3 \times 3^{2 x} - 1)}{x^{2}}$

$13) f (x) = 2^{- x} c o s π x S o l u t i o n : f^{'} (x) = - l n 2 \times 2^{- x} c o s π x - 2^{- x} π s i n π x = - \frac{l n 2 \times c o s π x + π s i n π x}{2^{x}}$

$14) f (x) = \frac{10 l o g_{4} x}{x} S o l u t i o n : f (x) = \frac{10 l o g_{4} x}{x} = \frac{10}{x} l o g_{4} x f^{'} (x) = - \frac{10}{x^{2}} l o g_{4} x + \frac{10}{x} \times \frac{1}{l n 4} \times \frac{1}{x} f^{'} (x) = - \frac{10}{x^{2}} l o g_{4} x + \frac{10}{x^{2}} \times \frac{1}{l n 4} = \frac{10}{x^{2}} (\frac{1}{l n 4} - l o g_{4} x)$

$15) f (x) = {(\frac{s i n x}{1 + c o s x})}^{2} S o l u t i o n : f^{'} (x) = 2 (\frac{s i n x}{1 + c o s x}) (\frac{c o s x (1 + c o s x) - s i n x (- s i n x)}{{(1 + c o s x)}^{2}}) = 2 (\frac{s i n x}{1 + c o s x}) (\frac{c o s x + c o s^{2} x + s i n^{2} x}{{(1 + c o s x)}^{2}}); c o s^{2} x + s i n^{2} x = 1 = 2 (\frac{s i n x}{1 + c o s x}) (\frac{c o s x + 1}{{(1 + c o s x)}^{2}}) = \frac{2 s i n x}{{(1 + c o s x)}^{2}}$

$16) f (x) = l o g_{3} (1 + x l n x) S o l u t i o n : f^{'} (x) = \frac{1}{l n 3} \frac{\frac{d}{d x} (1 + x l n x)}{1 + x l n x} = \frac{1}{l n 3} \frac{l n x + x \times \frac{1}{x}}{1 + x l n x} = \frac{1}{l n 3} \frac{1 + l n x}{1 + x l n x} = \frac{1 + l n x}{l n 3 (1 + x l n x)}$

$17) f (x) = e^{s i n 2 x} + s i n (e^{2 x}) S o l u t i o n : f^{'} (x) = 2 c o s 2 x e^{s i n 2 x} + 2 e^{2 x} c o s (e^{2 x})$

$18) f (x) = t a n^{4} (s e c (c o s x)) S o l u t i o n : f^{'} (x) = 4 t a n^{3} (s e c (c o s x)) \times s e c^{2} (s e c (c o s x)) \times s e c (c o s x) t a n (c o s x) \times - s i n x = - 4 s i n x t a n^{3} (s e c (c o s x)) \times s e c^{2} (s e c (c o s x)) \times s e c (c o s x) t a n (c o s x)$

أجد معادلة المماس لكل اقتران مما يأتي عند قيمة $x$ المعطاة

$19) f (x) = 4 e^{- 0.5 x^{2}}, x = - 2 S o l u t i o n : w h e n x_{1} = - 2 \Rightarrow y_{1} = f (- 2) = 4 e^{- 0.5 {(2)}^{2}} = 4 e^{- 2} = \frac{4}{e^{2}} m = f^{'} (- 2) f^{'} (x) = - 4 x e^{- 0.5 x^{2}} \Rightarrow f' (- 2) = - 4 ((- 2)) e^{- 0.5 {(- 2)}^{2}} = \frac{8}{e^{2}} y - y_{1} = m (x - x_{1}) y - \frac{4}{e^{2}} = \frac{8}{e^{2}} (x - - 2) \Rightarrow y = \frac{8}{e^{2}} x + \frac{20}{e^{2}}$

$20) f (x) = x + c o s 2 x, x = 0 S o l u t i o n : w h e n x_{1} = 0 \Rightarrow y_{1} = f (0) = 0 + c o s 2 (0) = 1 m = f^{'} (0) f^{'} (x) = 1 - 2 s i n 2 x \Rightarrow f' (0) = 1 - 2 s i n (0) = 1 y - y_{1} = m (x - x_{1}) y - 1 = 1 (x - 0) \Rightarrow y = x + 1$

$21) f (x) = 2^{x}, x = 0 S o l u t i o n : w h e n x_{1} = 0 \Rightarrow y_{1} = f (0) = 2^{(0)} = 1 m = f^{'} (0) f^{'} (x) = 2^{x} l n 2 \Rightarrow f^{'} (0) = 2^{(0)} l n 2 = l n 2 y - y_{1} = m (x - x_{1}) y - 1 = l n 2 (x - 0) \Rightarrow y = x l n 2 + 1$

$22) f (x) = \sqrt{x + 1} s i n \frac{π x}{2}, x = 3 S o l u t i o n : w h e n x_{1} = 3 \Rightarrow y_{1} = f (3) = \sqrt{3 + 1} s i n \frac{3 π}{2} = - 2 m = f^{'} (0) f^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}} s i n \frac{π x}{2} + \frac{π}{2} \sqrt{x + 1} c o s \frac{π x}{2} \Rightarrow f^{'} (3) = \frac{1}{2 \sqrt{3 + 1}} s i n \frac{3 π}{2} + \frac{π}{2} \sqrt{3 + 1} c o s \frac{3 π}{2} = \frac{1}{4} (- 1) + \frac{π}{2} (2) (0) = - \frac{1}{4} y - y_{1} = m (x - x_{1}) y - - 2 = - \frac{1}{4} (x - 3) \Rightarrow y = \frac{11}{4} - \frac{1}{4} x$

23) إذا كان $A (x) = f (g (x))$ ، $f (- 2) = 8, f^{'} (- 2) = 4$ ، وكان $f^{'} (5) = 3, g (5) = - 2, g^{'} (5) = 6$ ، فأجد $A' (5)$ ؟

$S o l u t i o n : A^{'} (x) = f^{'} (g (x)) \times g^{'} (x) A^{'} (5) = f^{'} (g (5)) \times g^{'} (5) = f^{'} (- 2) \times 6 = 4 \times 6 = 24$

24) إذا كان $f (x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ ، فأثبت أنَّ $f^{'} (x) = \frac{1}{\sqrt{{(x^{2} + 1)}^{3}}}$

$S o l u t i o n : f^{'} (x) = \frac{1 (\sqrt{x^{2} + 1}) - \frac{2 x}{2 \sqrt{x^{2} + 1}} (x)}{{(\sqrt{x^{2} + 1})}^{2}} = \frac{\sqrt{x^{2} + 1} - \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1}}}{x^{2} + 1} = \frac{x^{2} + 1 - x^{2}}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{1}{\sqrt{{(x^{2} + 1)}^{3}}}$

بكتيريا: يُمثَّل الاقتران: $A (t) = N e^{0.1 t}$ عدد الخلايا البكتيرية بعد t ساعة في مجتمع بكتيري:

25) أجد مُعدل نمو المجتمع بعد 3 ساعات بدلالة الثابت N .

$S o l u t i o n : A^{'} (t) = 0.1 N e^{0.1 t} A^{'} (3) = 0.1 N e^{0.1 (3)} = 0.1 N e^{0.3}$

26) إذا كان مُعدِّل نمو المجتمع بعد k ساعة هو 0.2 خلية لكل ساعة ، فما قيمة k بدلالة الثابت؟

$S o l u t i o n : A^{'} (k) = 0.1 N e^{0.1 k} 0.2 = 0.1 N e^{0.1 k} \Rightarrow \frac{0.2}{0.1 N} = e^{0.1 k} \Rightarrow \frac{2}{N} = e^{0.1 k} \Rightarrow l n (\frac{2}{N}) = l n (e^{0.1 k}) \Rightarrow l n (\frac{2}{N}) = 0.1 k \Rightarrow k = 10 l n (\frac{2}{N})$

أجد المشتقة العليا المطلوبة في كل ممَّا يأتي:

$27) f (x) = s i n π x, f^{'''} (x) S o l u t i o n : f^{'} (x) = π c o s π x f^{''} (x) = - π^{2} s i n π x f^{'''} (x) = - π^{3} c o s π x$

$28) f (x) = c o s (2 x + 1), f^{(5)} (x) S o l u t i o n : f^{'} (x) = - 2 s i n (2 x + 1) f^{''} (x) = - 4 c o s (2 x + 1) f^{'''} (x) = 8 s i n (2 x + 1) f^{(4)} (x) = 16 c o s (2 x + 1) f^{(5)} (x) = - 32 s i n (2 x + 1)$

$29) f (x) = c o s^{2} x, f^{''} (x) S o l u t i o n : f^{'} (x) = - 2 c o s x s i n x f^{''} (x) = 2 s i n x s i n x - 2 c o s x c o s x = 2 s i n^{2} x - 2 c o s^{2} x = - 2 c o s 2 x$

30) إذا كان الاقتران: $y = e^{s i n x}$ فأجد ميل مماس منحنى الاقتران عند النقطة $(1 ، 0)$ .

$S o l u t i o n : y = e^{s i n x} m = \frac{d}{d x} (e^{s i n x}) = c o s x e^{s i n x} w h e n x = 0 \Rightarrow m = c o s (0) e^{s i n (0)} = e^{0} = 1$

31) مواد ُمشِعّة: يُمكِن نمذجة الكمية A (بالغرام) المتبقية من عيَّنةٍ كتلتها الابتدائية $20 g$ من عنصر البلوتونيوم بعد t يومًا باستعمال الاقتران: $A (t) = 20 {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{140}}$ . أجد مُعدِّل تحلل عنصر البلوتونيوم عندما $t = 2$ .

$S o l u t i o n : A^{'} (t) = \frac{1}{140} l n (\frac{1}{2}) \times 20 {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{140}} w h e n t = 2 \Rightarrow A^{'} (2) = \frac{1}{70} l n (\frac{1}{2}) {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{140}} = \frac{1}{70} l n (\frac{1}{2}) {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{70}} = \frac{- l n 2}{70} {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{70}}$

زنبرك: تتحرّك كرة مُعلِّقة بزنبرك إلى الأعلى وإلى الأسفل. ويُحدد الاقتران: $s (t) = 0.1 s i n (2.4 t)$ :موقع الكرة عند أي زمن لاحق ، حيث t الزمن بالثواني ،

و S الموقع بالسنتيمترات:

32) أجد السرعة للكرة عندما $t = 1$ .

$S o l u t i o n : v (t) = s^{'} (t) = (0.1) (2.4) c o s (2.4 t) w h e n t = 1 \Rightarrow s^{'} (1) = (0.24) c o s (2.4 (1)) = (0.24) c o s (2.4) \approx 0.24 c m / s$

33) أجد موقع الكرة عندما تكون سرعتها صفرًا.

$S o l u t i o n : w h e n s^{'} (t) = 0 \Rightarrow s^{'} (t) = (0.24) c o s 2.4 t = 0 \Rightarrow c o s 2.4 t = 0 \Rightarrow 2.4 t = 90 \Rightarrow t = \frac{90}{2.4} \approx 37 s$

34) أجد موقع الكرة عندما يكون تسارعها صفرًا.

$S o l u t i o n : a (t) = s^{''} (t) = - (0.24) (2.4) s i n 2.4 t w h e n a (t) = 0 \Rightarrow - (0.24) (2.4) s i n 2.4 t = 0 \Rightarrow s i n 2.4 t = 0 \Rightarrow 2.4 t = 0 \Rightarrow t = 0 s o r \Rightarrow 2.4 t = π \Rightarrow t = \frac{π}{2.4} s$

أجد معادلة المماس لمنحنى كل معادلة وسيطية ممّا يأتي عند النقطة المُحدّدة بقيمة t المعطاة:

$\begin{array}{l} 35) x = t + 2, y = t^{2} - 1, t = 1 \\ S o l u t i o n : \\ y = t^{2} - 1 \Rightarrow \frac{d y}{d t} = 2 t w h e n t = 1 ∴ y = 0 \\ x = t + 2 \Rightarrow \frac{d x}{d t} = 1 w h e n t = 1 ∴ x = 3 \\ \frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d t} \times \frac{d t}{d x} = 2 t \times \frac{1}{1} = 2 t w h e n t = 1 ∴ \frac{d y}{d x} = 2 \\ y - y_{1} = m (x - x_{1}) \\ y - 0 = 2 (x - 3) \\ y = 2 x - 6 \end{array}$

$\begin{array}{l} 36) x = \frac{t}{2}, y = t^{2} - 4, t = - 1 \\ S o l u t i o n : \\ y = t^{2} - 4 \Rightarrow \frac{d y}{d t} = 2 t w h e n t = - 1 ∴ y = - 3 \\ x = \frac{t}{2} \Rightarrow \frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} w h e n t = - 1 ∴ x = - \frac{1}{2} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d t} \times \frac{d t}{d x} = 2 t \times \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 t \times 2 = 4 t w h e n t = - 1 ∴ \frac{d y}{d x} = 4 (- 1) = - 4 \\ y - y_{1} = m (x - x_{1}) \\ y - - 3 = - 4 (x - - \frac{1}{2}) \\ y = - 4 x + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} 37) x = t - s i n t, y = 1 - c o s t, t = \frac{π}{3} \\ S o l u t i o n : \\ y = 1 - c o s t \Rightarrow \frac{d y}{d t} = s i n t w h e n t = \frac{π}{4} ∴ y = 1 - c o s (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2} \\ x = t - s i n t \Rightarrow \frac{d x}{d t} = 1 - c o s t w h e n t = \frac{π}{4} ∴ x = \frac{π}{3} - s i n (\frac{π}{3}) = \frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d t} \times \frac{d t}{d x} = \frac{s i n t}{1 - c o s t} w h e n t = \frac{π}{4} ∴ \frac{d y}{d x} = \frac{s i n (\frac{π}{3})}{1 - c o s (\frac{π}{3})} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \\ y - y_{1} = m (x - x_{1}) \\ y - \frac{1}{2} = \sqrt{3} (x - \frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} 38) x = s e c^{2} t - 1, y = t a n t, t = - \frac{π}{4} \\ S o l u t i o n : \\ y = t a n t \Rightarrow \frac{d y}{d t} = s e c^{2} t \\ w h e n t = - \frac{π}{4} ∴ y = t a n (- \frac{π}{4}) = - 1 \\ x = s e c^{2} t - 1 \Rightarrow \frac{d x}{d t} = 2 s e c^{2} t t a n t \\ w h e n t = - \frac{π}{4} ∴ x = s e c^{2} (- \frac{π}{4}) - 1 = 1 \\ \frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d t} \times \frac{d t}{d x} \\ = \frac{s e c^{2} t}{2 s e c^{2} t t a n t} = \frac{1}{2 t a n t} \\ w h e n t = - \frac{π}{4} ∴ \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 t a n (- \frac{π}{4})} = \frac{1}{2 (- 1)} = - \frac{1}{2} \\ y - y_{1} = m (x - x_{1}) \\ y - - 1 = - \frac{1}{2} (x - 1) \\ y = - \frac{1}{2} x \end{array}$

39) يعطى منحنى بالمعادلة الوسيطية: $x = 2 (t - s i n t), y = 2 (1 - c o s t)$ ، حيث $0 \leq t \leq 2 π$ . أثبت أن ميل المماس وميل العمودي على المماس

لمنحنى هذه العلاقة عندما $t = \frac{π}{4}$ ، هما $1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}$ على الترتيب.

$S o l u t i o n : y = 2 (1 - c o s t) \Rightarrow \frac{d y}{d t} = 2 s i n t x = 2 (t - s i n t) \Rightarrow \frac{d x}{d t} = 2 (1 - c o s t) \frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d t} \times \frac{d t}{d x} = 2 s i n t \times \frac{1}{2 (1 - c o s t)} = \frac{s i n t}{1 - c o s t} w h e n t = \frac{π}{4} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{s i n (\frac{π}{4})}{1 - c o s (\frac{π}{4})} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} m_{t} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} \times \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt{2} + 1 \frac{- 1}{\frac{d y}{d x}} = \frac{- 1}{\frac{1}{\sqrt{2} - 1}} = 1 - \sqrt{2}$

$40) h^{'} (1) S o l u t i o n : h (x) = f (g (x)) h^{'} (1) = f^{'} (g (1)) g^{'} (1) = f^{'} (4) \times - 1 = - \frac{1}{3} \times - 1 = \frac{1}{3}$

$41) p^{'} (1) = S o l u t i o n : p (x) = g (f (x)) p^{'} (1) = g^{'} (f (1)) f^{'} (1) = g^{'} (2) \times 2 = - 1 \times 2 = - 2$

تبرير: إذا كان الاقتران: $y = l n (a x + b)$ ، حيث a ,b ثابتان موجبان. وكان ميل المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة P هو 1 .

فأجيب عن السؤالين الآتيين تباعًا:

42) أثبت أنَ الإحداثي $x$ ‏ للنقطة P أقل من 1 .

$S o l u t i o n : y = l n (a x + b); a > 0, b > 0 \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{a}{a x + b} = 1 \Rightarrow a = a x + b \Rightarrow a x = a - b \Rightarrow x = 1 - \frac{b}{a} l e t \frac{b}{a} < 1 \Rightarrow x = 1 - \frac{b}{a} < 1 l e t \frac{b}{a} > 1 \Rightarrow x = 1 - \frac{b}{a} < 0 < 1 ∴ x = 1 - \frac{b}{a} a l w a y s < 1$

43) أجد قيمة كل من $a, b$ ، علمًا بأنَ $P$ هي النقطة $(0, 2)$ .ثم أبرّر إجابتي.

$S o l u t i o n : x = 1 - \frac{b}{a} a n d x = 0 0 = 1 - \frac{b}{a} \Rightarrow a = b . . . 1 a n d y = l n (a x + b) w h e n x = 0 a n d y = 2 2 = l n b . . . 2 f r o m 1 a n d 2 : a = b = e^{2}$

44) أجد إحداثيي النقطة التي يكون عندها ميل المماس $\frac{1}{2}$ .

$S o l u t i o n : y = l n (e^{2} x + e^{2}) a n d \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \frac{d y}{d x} = \frac{e^{2}}{e^{2} x + e^{2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{e^{2}}{e^{2} (x + 1)} = \frac{1}{2} \Rightarrow x + 1 = 2 ∴ x = 1 a n d y = l n (2 e^{2})$

تبرير: يعطى منحنى بالمعادلة الوسيطية : $x = t^{2}, y = 2 t$

45) أجد $\frac{d y}{d x}$ بدلالة t .

$S o l u t i o n : y = 2 t \Rightarrow \frac{d y}{d t} = 2 x = t^{2} \Rightarrow \frac{d x}{d t} = 2 t \frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d t} \times \frac{d t}{d x} = 2 \times \frac{1}{2 t} = \frac{1}{t}$

46) أجد معادلة العمودي على مماس المنحنى عند النقطة $(t^{2}, 2 t)$

$S o l u t i o n : y = 2 t \Rightarrow \frac{d y}{d t} = 2 x = t^{2} \Rightarrow \frac{d x}{d t} = 2 t \frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d t} \times \frac{d t}{d x} = 2 \times \frac{1}{2 t} = \frac{1}{t} y - y_{1} = m (x - x_{1}) y - 2 t = \frac{1}{t} (x - t^{2}) y - 2 t = - t (x - t^{2})$

47) أثبت أن مساحة المثلث المُكوَّن من العمودي على المماس ، والمحورين الإحداثيين ، هي $\frac{1}{2} | t | {(2 + t^{2})}^{2}$ .

سنجد مقطعي العمودي على المماس والمحورين الإحداثيين :

$S o l u t i o n : f r o m (x, 0), (t^{2}, 2 t) a n d \frac{d y}{d x} = - t m = \frac{d y}{d x} \frac{2 t - 0}{t^{2} - x} = - t \Rightarrow x = t^{2} + 2 f r o m (0, y), (t^{2}, 2 t) a n d \frac{d y}{d x} = - t m = \frac{d y}{d x} \frac{2 t - y}{0 - t^{2}} = - t \Rightarrow y = t^{3} + 2 t T h e n A = \frac{1}{2} (x) (y) = \frac{1}{2} (t^{2} + 2) (t^{3} + 2 t) = \frac{1}{2} | t | (t^{2} + 2) (t^{2} + 2) = \frac{1}{2} | t | {(t^{2} + 2)}^{2}$

تحدّ: أجد $\frac{d y}{d x}$ لكل مما يأتي:

$48) y = \sqrt{s i n \sqrt{x}} S o l u t i o n : \frac{d y}{d x} = \frac{c o s \sqrt{x} \times \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{2 \sqrt{s i n \sqrt{x}}} = \frac{c o s \sqrt{x}}{4 \sqrt{x} \sqrt{s i n \sqrt{x}}} = \frac{c o s \sqrt{x}}{4 \sqrt{x s i n \sqrt{x}}}$

$49) y = e^{x} s i n^{2} x c o s x S o l u t i o n : \frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x} (e^{x}) s i n^{2} x c o s x + e^{x} \frac{d}{d x} (s i n^{2} x) c o s x + e^{x} s i n^{2} x \frac{d}{d x} (c o s x) = (e^{x}) s i n^{2} x c o s x + e^{x} (2 s i n x c o s x) c o s x - e^{x} s i n^{2} x (s i n x) = e^{x} s i n^{2} x c o s x + 2 e^{x} s i n x c o s^{2} x - e^{x} s i n^{3} x = e^{x} (s i n^{2} x c o s x + 2 s i n x c o s^{2} x - s i n^{3} x)$

50) إذا كان مماس منحنى المعادلة أفقيًّا عند النقطة A الواقعة في الربع الأوّل ، فأجد إحداثيي A .

$S o l u t i o n : y = s i n 3 t \Rightarrow \frac{d y}{d t} = 3 c o s 3 t x = s i n 2 t \Rightarrow \frac{d x}{d t} = 2 c o s 2 t \frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d t} \times \frac{d t}{d x} = 3 c o s 3 t \times \frac{1}{2 c o s 2 t} = 0; \frac{d y}{d x} = 0 \Rightarrow 3 c o s 3 t = 0 \Rightarrow 3 t = \frac{π}{2} \Rightarrow t = \frac{π}{6} \Rightarrow (x, y) = (s i n 2 t, s i n 3 t) A = (s i n \frac{π}{3}, s i n \frac{π}{2}) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

51) إذا كان مماس المنحنى موازيًا للمحور Y عند النقطة A فأجد إحداثيي B .

$S o l u t i o n : \frac{d y}{d x} = \frac{3 c o s 3 t}{2 c o s 2 t} = \frac{1}{0} \Rightarrow 2 c o s 2 t = 0 \Rightarrow 2 t = \frac{π}{2} \Rightarrow t = \frac{π}{4} \Rightarrow (x, y) = (s i n 2 t, s i n 3 t) ∴ B = (s i n \frac{π}{2}, s i n \frac{3 π}{4}) = (1, \frac{1}{\sqrt{2}})$

52) إذا مرَّ فرعان من المنحنى بنقطة الأصل كما هو مُوضّح في الشكل، فأجد ميل المماس لكل منهما عند هذه النقطة.

$S o l u t i o n : \frac{d y}{d x} = \frac{3 c o s 3 t}{2 c o s 2 t} W h e n t = 0 \Rightarrow m = \frac{d y}{d x} = \frac{3 c o s 3 (0)}{2 c o s 2 (0)} = \frac{3}{2}$

تبرير: يمثل الاقتران: $s (t) = l n (t^{2} - 2 t + 1.9), t \geq 0$ موقع جُسَيْم يتحرَّك في مسار مستقيم؛ حيث s الموقع بالأمتار، و t الزمن بالثواني:

53) أجد سرعة الجُسَيُم وتسارعه بعد t ثانية.

$S o l u t i o n : s (t) = l n (t^{2} - 2 t + 1.9), t \geq 0 v (t) = s^{'} (t) = \frac{2 t - 2}{t^{2} - 2 t + 1.9} a (t) = s^{''} (t) = \frac{(2) (t^{2} - 2 t + 1.9) - (2 t - 2) (2 t - 2)}{{(t^{2} - 2 t + 1.9)}^{2}} = \frac{(2) (t^{2} - 2 t + 1.9) - {(2 t - 2)}^{2}}{{(t^{2} - 2 t + 1.9)}^{2}} = - \frac{20 (10 t^{2} - 20 t + 1)}{{(10 t^{2} - 20 t + 19)}^{2}}$

54) أجد موقع الجُسَيْم وتسارعه عندما تكون سرعته صفرًا.

$S o l u t i o n : w h e n s^{'} (t) = 0 \Rightarrow s^{'} (t) = \frac{2 t - 2}{t^{2} - 2 t + 1.9} = 0 \Rightarrow 2 t - 2 = 0 \Rightarrow t = 2 w h e n t = 2 s (2) = l n (2^{2} - 2 (2) + 1.9) = l n (1.9) m a (2) = \frac{(2) (2^{2} - 2 (2) + 1.9) - {(2 (2) - 2)}^{2}}{{(2^{2} - 2 (2) + 1.9)}^{2}} = - \frac{0.2}{{(1.9)}^{2}} m / s^{2}$

55) متى يعود الجُسَيْم إلى موقعه الابتدائي؟

$S o l u t i o n : s (t) = l n (t^{2} - 2 t + 1.9), t \geq 0 0 = l n (t^{2} - 2 t + 1.9) \Rightarrow t^{2} - 2 t + 1.9 = 1 t^{2} - 2 t + 0.9 = 0 t = \frac{2 \pm \sqrt{{(2)}^{2} - 4 (1) (- 0.9)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{7.6}}{2} s$

رياضيات فصل أول

التوجيهي علمي

التطبيق لنظام

MAC

التطبيق لنظام

WINDOWS