رياضيات فصل أول

الثامن

الشرح الملخص أوراق العمل حل اسئلة الدرس النتاجات

أتحققُ من فهمي 1 : أثبتُ أنَّ المثلثَينِ $∆ Q P T, △ R S T$ المبيّنَينِ في الشكلِ المجاورِ متطابقانِ باستعمالِ البرهانِ السهميِّ.

أتحققُ من فهمي 2 : أثبتُ أنَّ المثلثَينِ $∆ A B E, △ D C E$ المبيّنَينِ في الشكلِ المجاورِ متطابقانِ، باستعمالِ البرهانِ ذي العمودَينِ.

العبارات	المبررات
$B E ≅ C E$	معطى
$AE ≅ DE$	معطى
$∠ C E D ≅ ∠ B E A$	تقابل بالرأس
$∆ A B E ≅ △ D C E$	SAS

أتحققُ من فهمي 3 : بساطٌ: يبيّنُ الشكلُ المجاورُ بساطًا تقليديًّا يستعملُ الحائكُ في تصميمِهِ انسحابًا لمثلثٍ متطابقِ الضلعَينِ. أثبتُ أنّ $∆ A B C, △ C D E$ , المبيّنَينِ في الشكلِ متطابقانِ باستعمالِ البرهانِ ذي العمودَينِ.

بما أن المثلثين متطابقا الضلعين إذاً زوايا القاعدتين متطابقة في المثلثين وبالتالي الزاوية الثالثة من كل مثلث متطابقة مع الأخرى وعليه :

العبارات	المبررات
$AB ≅ CD$	معطى
$BC ≅ D E$	معطى
$∠ B ≅ ∠ D$	نتيجة
$∆ A B C ≅ △ C D E$	SAS

حل آخر :

بما أن المثلث الثاني يمثل انسحاباً للمثلث الأول ، إذاً فهو متطابق معه تماماً وبالتالي فالأضلاع المتناظرة متطابقة وعليه :

العبارات	المبررات
$AB ≅ CD$	معطى
$BC ≅ DE$	معطى
$AC ≅ CE$	معطى
$∆ A B C ≅ △ C D E$	SSS

أتحققُ من فهمي 4 : في الشكلِ المجاورِ، إذا علمْتُ أنَّ $∠ J K L ≅ ∠ M L K$ فأثبت أن $∠ J ≅ ∠ M$ باستعمالِ البرهانِ السهميِّ.

أتحققُ من فهمي 5 : أستعملُ المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ المجاورِ في كتابةِ برهانٍ ذي عمودَينِ ، لأثبتَ أن $∆ A B C ≅ ∆ D C B$

الحل : من الواضح أن المثلثين قائمي الزاوية وبالتالي نحتاج فقط إلى وتر وضلع في المثلث الأول متطابق مع وتر وضلع في المثلث الثاني .

العبارات	المبررات
$AC ≅ BD$	معطى(وتر)
$∠ D C B ≅ ∠ C B A$	زاوية قائمة
$BC ≅ B C$	ضلع مشترك
$∆ A B C ≅ ∆ D C B$	HL

أتدرب وأحل مسائل

أبيّنُ أنَّ كلَّ زوجٍ مِنَ المثلثاتِ الآتيةِ متطابقٌ أَمْ لا، مبررًا إجابتي:

المثلثين متطابقين بثلاثة أضلاع SSS حيث : $A B ≅ D E A C ≅ D F B C ≅ E F$

المثلثين متطابقين بضلعين وزاوية محصورة حيث : $A C ≅ E F C B ≅ F D ∠ A C B ≅ ∠ E F D$

المثلثين متطابقين بثلاثة أضلاع SSS حيث : $A B ≅ D B A C ≅ D C B C ≅ B C (مشترك ضلع)$

المثلثين متطابقين بثلاثة أضلاع SSS حيث : $E D ≅ G D E F ≅ G F F D ≅ F D (مشترك ضلع)$

5) أستعمل المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ الآتي لكتابةِ برهانٍ ذي عمودَينِ ؛ لأثبتَ أنَّ $∆ A B C ≅ ∆ C D A$ .

العبارات	المبررات
$∠ A D C ≅ ∠ C B A$	زاوية قائمة
$AB ≅ CD$	معطى
$A C ≅ A C$	وتر (ضلع مشترك)
$∆ A B C ≅ ∆ C D A$	$H L$

6) أستعمل المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ الآتي لكتابةِ برهانٍ ذي عمودَينِ ؛ لأثبتَ أنَّ $∆ N P Q ≅ ∆ R S T$ .

العبارات	المبررات
$N P ≅ R S$	معطى
$N Q ≅ R T$	معطى
$S T ≅ P Q$	معطى
$∆ N P Q ≅ ∆ R S T$	SSS

7) استعمل المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ الآتي لكتابةِ برهانٍ سهمي ؛ لأثبتَ أنَّ $∆ S P Q ≅ ∆ T P Q$ .

8) استعمل المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ الآتي لكتابةِ برهانٍ سهمي ؛ لأثبتَ أنَّ $∆ P Q T ≅ ∆ R S T$

9) أستعمل المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ الآتي لكتابةِ برهانٍ ذي عمودَينِ ؛ لأثبتَ أنَّ $∠ A ≅ ∠ D$ .

العبارات	المبررات
$A B ≅ D B$	معطى
$AC ≅ D C$	معطى
$B C ≅ B C$	ضلع مشترك
$∆ A B C ≅ ∆ D B C$	SSS
$∠ A ≅ ∠ D$	نتيجة

توضيح للنتيجة : بما أن المثلثين متطابقين وبالتالي أضلاعهما متطابقة وزواياهما متطابقة .

10) استعمل المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ الآتي لكتابةِ برهانٍ سهمي ؛ لأثبتَ أنَّ $J M ≅ M L$ .

مصباحٌ: يبيّنُ الشكلُ المجاورُ الضوءَ الناشئَ عَنْ مصباحَينِ يبعدانِ المسافةَ نفسَها عَنْ أرضيةِ مسرحٍ:

11) أثبت أنّ : $∆ A B D ≅ ∆ C B D$

12) هَلِ المثلثاتُ الأربعةُ الموضَّحةُ في الشكلِ متطابقةٌ؟ أبرّرُ إجابتي.

نعم جميع المثلثات متطابقة لأن امصباحان يبعدان المسافة نفسها عن أرض المسرح ـ توضيح : $∆ A B D ≅ ∆ C B D : H L$

$∆ C E G ≅ ∆ F E G : H L$

$∆ A B D ≅ ∆ C E G : H L$

$∆ C B D ≅ ∆ F E G : H L$

في الشكلِ المجاورِ المثلثانِ $∆ A B C ≅ ∆ D E C$

13) أكتبُ برهانًا ذا عمودَينِ؛ لأثبتَ أنَّ $∠ A B C ≅ ∠ D E C$ .

العبارات	المبررات
العبارات	المبررات
$A C ≅ D C$	معطى
$BC ≅ EC$	معطى
$∠ A C B ≅ ∠ D C E$	تقابل بالرأس
$∆ A B C ≅ ∆ D E C$	SAS

14) أجدُ قيمةَ كلٍّ مِنْ X و y .

بما أن : $AC ≅ DC$ إذن $4 y - 6 = 2 x + 2$ ومنه $4 y - 6 - 6 = 2 x + 6 - 6$

$4 y - 12 = 2 x \Rightarrow 2 y - 6 = x$

وبما أن : $BC ≅ EC$ إذن $3 y + 1 = 4 x$

$3 y + 1 = 4 (2 y - 6)$

$3 y + 1 = 8 y - 24$

$5 y = 25 \Rightarrow y = 5$

وبالتعويض في أي معادلة : $3 y + 1 = 4 x$

$3 * 5 + 1 = 4 x$

$15 + 1 = 4 x$

$16 = 4 x \Rightarrow x = 4$

15) اتّصالاتٌ: برجُ اتّصالاتٍ عموديٌّ على الأرضِ، يتصلُ رأسُهُ بكلّ مِنَ النقاطِ D و B و C عَنْ طريقِ كابلاتٍ لَها الطولُ نفسُهُ كما في الشكلِ المجاورِ. أثبتُ أنَّ $∆ A E B$ و $∆ A E C$ و $∆ A E D$ متطابقة .

بما أن برج الاتصالات عمودي على الأرض ، فإنه يصنع زاوية قائمة وبالتالي سيتشكل عندنا ثلاثة مثلثات قائمة الزاوية ومنها سنحتاج إلى وتَر وضلع متطابقين مع باقي المثلثات فقط لإثبات أن المثلثات متطابقة .

العبارات	المبررات
$∠ A E D ≅ ∠ A E B ≅ ∠ A E C$	زاوية قائمة
$AD ≅ A B ≅ AC$	معطى
$A E$	وتر (ضلع مشترك)
$∆ A E D ≅ ∆ A E C ≅ ∆ A E B$	$H L$

16) تحدٍّ : أثبتُ أنَّ $∆ P M O ≅ ∆ P M N$ مستعملاً حالتي SSS و SAS من دون استعمال المنقلة لقياس الزوايا.

1)يمكن معرفة أطوال الأضلاع عن طريق العد ، ولذلك من الواضح عن طريق عد المربعات أن :

العبارات	المبررات
$P O ≅ P N$	معطى
$O M ≅ O N$	معطى
$M P ≅ M P$	ضلع مشترك
$∆ P M O ≅ ∆ P M N$	SSS

2) نلاحظ أن الضلع المشترك بين المثلثين والخارج من النقطة P يقطع المربعات في المستوى البياني من المنتصف : وبالتالي يصنع زاويتين متساويتين مقدار كل منهما 45 درجة .

العبارات	المبررات
$PO ≅ PN$	معطى
$MP ≅ MP$	ضلع مشترك
$∠ O P M ≅ ∠ N P M$	نتيجة (حسب الملاحظة)
$∆ P M O ≅ ∆ P M N$	SAS

17) تبريرٌ: في الشكلِ المجاورِ، إذا علمْتُ أنَّ $∠ S R T ≅ ∠ U R T$ و $R$ مركزُ الدائرةِ، فأكتبُ برهانًا ذا عمودَينِ؛ لإثباتِ أنَّ $∆ T R S ≅ ∆ T R U$ ، مبرراً إجابتي .

العبارات	المبررات
$S R ≅ U R$	نصف قطر
$R T ≅ R T$	ضلع مشترك
$∠ S R T ≅ ∠ U R T$	معطى
$∆ T R S ≅ ∆ T R U$	SAS

18) اكتشف : أحددُ الخطأَ في إيجادِ قيمةِ x في الحلِّ الآتي الّتي تجعلُ المثلثَينِ متطابقَينِ، وأصحّحُهُ .

الخطأ هو أن $6 x \neq 2 x + 1$ لأن $J M ≇ J K$ .

$6 x = 4 x + 4 2 x = 4 x = 2$

19) تحدٍّ: أستعملُ المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ الآتي : لأثبتَ أنَّ $∆ A C F ≅ ∆ E G B$ .

من الواضح أن الشكل BCFG يمثل مستطيلاً لأن زواياه قوائم وفيه ضلعان متقابلان متطابقان .

العبارات	المبررات
$A C ≅ E G$	معطى
$AF ≅ EB$	معطى
$B G ≅ C F$	ضلعين متقابلين في مستطيل
$∆ A C F ≅ ∆ E G B$	SSS

20) أكتبُُ كيفَ أتحققُ مِنْ تطابقِ مثلثَينِ بثلاثةِ أضلاع، أَوْ ضلعَينِ وزاويةٍ محصورةٍ بينَهُما.

يمكن التحقق من تطابق المثلثين عن طريق مقارنة الأضلاع المتناظرة في المثلثين مع بعضها .

ومقارنة الزوايا المتناظرة في المثلثين مع بعضها.

أسئلة كتاب التمارين :

أحددُ المسلمةَ الّتي تساعدُني على إثباتِ تطابقِ كلِّ زوجٍ مِنَ المثلثاتِ الآتيةِ:

1) SSS : من المعطيات واضح أن هناك ضلعان متطابقان ، ونلاحظ أن هناك ضلع مشترك .

2) SAS : من المعطيات واضح أن كل مثلث يحوي ضلعان متطابقان وزاوية محصورة متطابقة مع المثلث الآخر .

3) SAS : من المعطيات واضح أن كل مثلث يحوي ضلعان متطابقان وزاوية محصورة متطابقة مع المثلث الآخر .

ملاحظة : قمنا بمعرفة أن الزاويتين متطابقتين عن طريق التقابل بالرأس .

4) أستعملُ المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ الآتي لكتابةِ برهانٍ ذي عمودَينِ؛ لأثبتَ أنَّ $∆ A B C ≅ △ D C B$ .

العبارات	المبررات
$∠ A B C ≅ ∠ D C B$	زاوية قائمة
$A C ≅ B D$	معطى(وتر)
$B C$	ضلع مشترك
$∆ A B C ≅ △ D C B$	$H L$

5) أستعملُ المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ الآتي لكتابةِ برهانٍ ذي عمودَينِ؛ لأثبتَ أنَّ $∆ R S T ≅ ∆ P Q T$ .

العبارات	المبررات
$R S ≅ P Q$	معطى
$TS ≅ TQ$	معطى
$R T ≅ P T$	معطى
$∆ R S T ≅ ∆ P Q T$	SSS

6) أستعملُ المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ الآتي لكتابةِ برهانٍ سهمي ؛ لأثبتَ أنَّ $∆ A F B ≅ ∆ C E B$ .

7 ) أستعملُ المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ الآتي لكتابةِ برهانٍ سهميٍّ؛ لأثبتَ أنَّ : $∆ Q W T ≅ ∆ Q Y R$ .

إذا كان $∆ A B C ≅ ∆ K L M, A B = 7 c m, ∠ B = 60 °, ∠ A = 40 °$ فأجدُ كلًّ ممّا يأتي :

ملاحظة مساعدة في الحل : دون الحاجة للرسم يمكننا مقارنة الأحرف المتناظرة حسب التسمية فمثلاً في المثلثين المعطيين : $∠ A ≅ ∠ K$

$∠ B ≅ L$

$∠ C ≅ ∠ M$

$AB ≅ KL$

$B C ≅ LM$

$AC ≅ KM$

$8) ∠ L = 60 °$

$9) ∠ K = 40 °$

(مجموع زوايا المثلث 180 ) $10) ∠ M = 80 °$

$11) K L = 7 c m$

12) تبدو الطائراتُ في العرضِ الجوّيِّ كأنَّها مثلثَينِ بينَهُما ضلعٌ مشتركٌ. أكتبُ برهانًا ذا عمودَينِ أثبتُ فيهِ أنَّ $∆ S R T ≅ ∆ Q R T$ حيث T نقطة منتصف $S Q$ و $SR ≅ QR$

العبارات	المبررات
$ST ≅ Q T$	لأن T نقطة المنتصف
$R T$	ضلع مشترك
$SR ≅ QR$	معطى
$∆ S R T ≅ ∆ Q R T$	SSS

رياضيات فصل أول

الثامن

التطبيق لنظام

MAC

التطبيق لنظام

WINDOWS