مقاييس التشتت للجداول التكرارية ذات الفئات

تعرفت سابقا مقاييس التشتت التي تصف تباعد البيانات عن بعضها. ومن هذه المقاييس التباين؛ وهو الوسط الحسابي لمربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي، وقد أوجدته باستعمال الصيغة الآتية:

${\sigma }^2=\frac{\sum {\left(x-\overline{x}\right)}^2}{n}$

حيث: 

$\overline{x}$: الوسط الحسابي للبيانات 

n: عدد البيانات 

---

تعرفت أيضا الانحراف المعياري $\sigma$؛ وهو الجذر التربيعي للتباين. لنراجع كيفية حساب هذين المقياسين في المثال الآتي 

مثال 

أجد التباين والانحراف المعياري لمجموعة البيانات الآتية: 4,7,1,3,0,3

1) التباين ${\sigma }^2$: 

الخطوة 1: أجد الوسط الحسابي 

$$\begin{gathered} \overline{x}=\frac{\sum _{}x}{n} \\ =\frac{4+7+1+3+0+3}{6}=3 \end{gathered}$$

الخطوة 2: أنشئ جدولا أحسب فيه انحراف كل قيمة عن الوسط الحسابي، فضلا عن حساب مربعات الفروق 

الخطوة 3:  أعوض القيم التي توصلت إليها من الجدول بصيغة التباين 

$$\begin{gathered} {\sigma }^2=\frac{\sum {\left(x-\overline{x}\right)}^2}{n} \\ =\frac{30}{6}=5 \end{gathered}$$

2) الانحراف المعياري $\sigma$: 

الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي لتباين:$\sigma =\sqrt{5}$

---

بالرغم من أن الجداول التكرارية ذات الفئات لا تظهر فيها القيم الحقيقية للبيانات، فإنه يمكن استعمالها لتقدير التباين والانحراف المعياري للبيانات؛ إذ يمكن النظر إلى جميع قيم البيانات في فئة معينة على أساس أن كلا منها ممثلة بقيمة منتصف الفئة(مركز الفئة) x

مفهوم أساسي

• لتقدير الوسط الحسابي للبيانات المنظمة في جداول تكرارية ذات فئات، أستعمل الصيغة الآتية: 

$\overline{x}=\frac{\sum \left(x\times f\right)}{\sum f}$

حيث: 

x: مركز الفئة                                                                         f: التكرار المقابل للفئة 

• لتقدير التباين للبيانات المنظمة في جداول تكرارية ذات فئات، أستعمل الصيغة الآتية: 

${\sigma }^2=\frac{\sum \left({\left(x-\overline{x}\right)}^2\times f\right)}{\sum f}$

• لقدير الانحراف المعياري، أجد الجذر التربيعي للتباين 

---

مثال 

حفظ القرآن الكريم: يبين الجدول المجاور توزيعا لخمسين طالبا يحفظون 5 أجزاء من القرآن الكريم بحسب أعمارهم لأقرب سنة. أقدر التباين والانحراف المعياري لهذه البيانات 

لتقدير التباين، أنشئ جدولا جديدا يحوي الأعمدة المظللة عناوينها على النحو الآتي: 

$$\begin{gathered} \overline{x}=\frac{\sum \left(x\times f\right)}{\sum f}=\frac{530}{50}=10.6 \\ {\sigma }^2=\frac{\sum \left({\left(x-\overline{x}\right)}^2\times f\right)}{\sum f} \\ =\frac{342}{50} \\ =6.84 \end{gathered}$$

لتقدير الانحراف المعياري، أجد الجذر التربيعي للتباين: 

$\sigma \approx 2.62$

---

توجد صيغة أخرى لتقدير التباين للبيانات المنظمة في جداول تكرارية فئات، من دون حاجة إلى حساب انحرافات مراكز الفئات عن الوسط الحسابي، وهذه الصيغة هي: 

${\sigma }^2=\frac{\sum \left(x^2\times f\right)-\left(\sum f\right){\left(\overline{x}\right)}^2}{\sum f}$

---

مثال: من الحياة 

بريد إلكتروني: دونت سمية عدد رسائل البريد الإلكتروني اليرمية التي وصلتها في 40 يوما، ونظمت بياناتها في الجدول التكراري المجاور . أقدر التباين لهذه البيانات  

لتقدير التباين، أنشئ جدولا جديدا يحوي الأعمدة المظللة عناوينها على النحو الآتي: 

$$\begin{gathered} \overline{x}=\frac{\sum x\times f}{\sum f}=\frac{920}{40}=23 \\ {\sigma }^2=\frac{\sum \left(x^2\times f\right)-\left(\sum f\right)\left(x^2\right)}{\sum f} \\ =\frac{22870-21160}{40} \\ \approx 43 \end{gathered}$$

---

يمكنني أيضا تقدير مقاييس التشتت الممثلة بمدرج تكراري، عن طريق إعادة تنظيمها في جدول ذي فئات وتكرار

مثال

كتلة الجسم: يبين التمثيل بالمدرج التكراري المجاور توزيها لمجموعة أطفال من سن 10 سنوات وفق كتل أجسامهم مقربة إلى أقرب كيلوغرام 

أقدر التباين والانحراف المعياري لهذه البيانات 

1) التباين: أعيد تنظيم البيانات في جدول ذي فئات وتكرار  على النحو الآتي: 

2) الانحراف المعياري: 

لتقدير الانحراف المعياري، أجد الجذر  التربيعي للتباين: $\sigma \approx 4.36$

---