رياضيات فصل ثاني

حلول أسئلة أتحقق من فهمي 

المساحةُ الجانبيةُ وَالمساحةُ الكلّيةُ لِسطحِ المنشورِ:

2)

الْخُطْوَةُ 1:أَجِدُ محيطَ القاعدةِ:

           P = 2l + 2w                         محيط القاعدة المستطيلة   

    P = 2(8) + 2(3)                         تعويض الأبعاد 

                   22 = P                         أَجِدُ الناتجَ

إذنْ، محيطُ القاعدةِ  22cm  

الْخُطْوَةُ 2: أَجِدُ المساحةَ الجانبيةَ لِسطحِ المنشورِ:

        L.A = Ph                                صيغة المساحة الجانبية لسطح المنشور 

 22 × 5 =                                          تعويض الأبعاد 

      110 =                                       أَجِدُ الناتجَ  

 إذنْ، المساحةُ الجانبيةُ لِسطحِ المنشورِ 110cm²

الْخُطْوَةُ 3: أَجِدُ مساحةَ القاعدةِ:

     B = l × w                                 مساحة القاعدة 

    3 × 8 =                                    تعويض الأبعاد 

        24 =                                     أَجِدُ الناتجَ

إذنْ، مساحةُ قاعدةِ المنشورِ 24cm²

الْخُطْوَةُ 4:أَجِدُ المساحةَ الكلّيةَ لِسطحِ المنشورِ:

   S.A = L.A + 2B                         صيغة المساحة الكلية لسطح المنشور 

(24)110+2=                                تعويض الأبعاد 

         158 =                                 أَجِدُ الناتجَ

إذنْ، المساحةُ الكلّيةُ لِسطحِ المنشورِ تساوي 158cm²

 

3)

الْخُطْوَةُ 1:أَجِدُ محيطَ القاعدةِ:

            P = l+w+h                      محيط القاعدة (مثلث)                                

           P = 5+3+4                      تعويض الابعاد 

                  12 =                          أَجِدُ الناتجَ

إذنْ، محيطُ القاعدةِ  12cm  

الْخُطْوَةُ 2: أَجِدُ المساحةَ الجانبيةَ لِسطحِ المنشورِ:

      L.A = Ph                              صيغة المساحة الجانبية لسطح المنشور 

6 × 12 =                                     تعويض الابعاد  

      72 =                                     أَجِدُ الناتجَ

 إذنْ، المساحةُ الجانبيةُ لِسطحِ المنشورِ 72cm²

الْخُطْوَةُ 3: أَجِدُ مساحةَ القاعدةِ:

   $\frac{1}{2}\times \mathrm{b}\times \mathrm{h}$= B                        مساحة القاعدة (مثلث) 

 $\frac{1}{2}\times 3\times 4$ =                            تعويض الابعاد         

             6 =                             أَجِدُ الناتجَ

إذنْ، مساحةُ قاعدةِ المنشورِ 6cm²

الْخُطْوَةُ 4:أَجِدُ المساحةَ الكلّيةَ لِسطحِ المنشورِ:

S.A = L.A + 2B                      صيغة المساحة الكلية لسطح المنشور 

(6)72+2 =                              تعويض الابعاد 

        84 =                              أَجِدُ الناتجَ

إذنْ، المساحةُ الكلّيةُ لِسطحِ المنشورِ تساوي 84cm²

 

من مثال 2: أَجِدُ المساحةَ الكلّيةَ لِسطحِ المبنى إذا علمْتُ أنَّ مساحةَ قاعدتِهِ 39200m²

               S.A = L.A + 2B      صيغة المساحة الكلية لسطح المنشور 

$=25420+2\left(39200\right)$            تعويض الأبعاد 

                103820 =              أَجِدُ الناتجَ

إذنْ، المساحةُ الكلّيةُ لِسطحِ المبنى تساوي 103820cm²

---

المساحةُ الجانبيةُ وَالمساحةُ الكلّيةُ لِسطحِ الأسطوانة :

2)

المساحة الجانبية :

        $\mathrm{L}.\mathrm{A}=2\mathrm{\pi rh}$                   صيغة المساحة الجانبية لسطح الأسطوانة 

$$\begin{gathered} =2\mathrm{\pi }\left(5\right)\left(10\right) \\ \approx 314.16 \end{gathered}$$                         بتعويض الأبعاد أجد الناتج 

المساحة الكلية:

         $\mathrm{S}.\mathrm{A}=\mathrm{L}.\mathrm{A}+2{\mathrm{\pi r}}^2$        صيغة المساحة الكلية لسطح الأسطوانة 

$$\begin{gathered} \approx 314.16+2\mathrm{\pi }{\left(5\right)}^2 \\ \approx 471.24 \end{gathered}$$

إذنْ، المساحةُ الجانبيةُ لِسطحِ الأُسطوانةِ تساوي 314.16cm² تقريبًا، وَالمساحةُ الكلّيةُ لَهُ تساوي 471.24cm² تقريبًا

 

3)

المساحة الجانبية :

      $\mathrm{L}.\mathrm{A}=2\mathrm{\pi rh}$                   صيغة المساحة الجانبية لسطح الأسطوانة 

$$\begin{gathered} =2\mathrm{\pi }\left(5\right)\left(6\right) \\ \approx 188.5 \end{gathered}$$                         بتعويض الأبعاد ، أجد الناتج 

المساحة الكلية:

$\mathrm{S}.\mathrm{A}=\mathrm{L}.\mathrm{A}+2{\mathrm{\pi r}}^2$               صيغة المساحة الكلية لسطح الأسطوانة 

$$\begin{gathered} \approx 188.5+2\mathrm{\pi }{\left(5\right)}^2 \\ \approx 345.58 \end{gathered}$$

إذنْ، المساحةُ الجانبيةُ لِسطحِ الأُسطوانةِ تساوي 188.5m² تقريبًا، وَالمساحةُ الكلّيةُ لَهُ تساوي 345.58m² تقريبًا

 

علبٌ: يُنتجُ مصنعٌ علبًا أُسطوانيةَ الشكلِ، ارتفاعُ الواحدةِ منها 7cm وَطولُ قُطرِها 5cm أَجِدُ المساحةَ الكلّيةَ لِسطحِ العُلبةِ أقرّبُ إجابتي لِقربِ جزءٍ مِنْ عشرةٍ.

                 $$\begin{gathered} \mathrm{S}.\mathrm{A}=\mathrm{L}.\mathrm{A}+2\mathrm{B} \\ =2\mathrm{\pi rh}+2{\mathrm{\pi r}}^2 \\ =2\mathrm{\pi r}(\mathrm{h}+\mathrm{r}) \end{gathered}$$           صيغة المساحة الكلية لسطح الأسطوانة  - بأخذ $\mathbf{2}\mathbf{\pi r}$ عامل مشترك-

  $$\begin{gathered} =2\left(3.14\right)\left(2.5\right)\left(7+2.5\right) \\ =149.2 {\mathrm{cm}}^2 \end{gathered}$$           بتعويض الأبعاد ، أجد الناتج 

---

---

حلول أسئلة أتدرب وأحل المسائل 

أَجِدُ المساحةَ الجانبيةَ لِسطحِ كلِّ مجسَّمٍ ممّا يأتي:

1)

                      L.A = Ph                 صيغة المساحة الجانبية لسطح المنشور 

          L.A  = (2l+2w)h                 تعويض محيط المستطيل P  

$$\begin{gathered} \mathrm{L}.\mathrm{A}=\left(2\times 15+2\times 8\right)7 \\ =322 {\mathrm{m}}^2 \end{gathered}$$                  بتعويض الأبعاد ، أجد الناتج 

2)

                 $\mathrm{L}.\mathrm{A}=2\mathrm{\pi rh}$                   صيغة المساحة الجانبية لسطح الأسطوانة

$$\begin{gathered} \approx 2\left(3.14\right)\left(1.5\right)\left(4\right) \\ \approx 37.7{\mathrm{cm}}^2 \end{gathered}$$                          بتعويض الأبعاد ، أجد الناتج        

3)

                      L.A = Ph                 صيغة المساحة الجانبية لسطح المنشور 

               $=\left(6\times \mathrm{l}\right)\mathrm{h}$                       تعويض محيط القاعدة السداسية 

  $$\begin{gathered} =\left(6\times 6.5\right)\times 12.5 \\ =487.5{\mathrm{m}}^2 \end{gathered}$$                       بتعويض الأبعاد ، أجد الناتج 

 

أَجِدُ المساحةَ الكلية لِسطحِ كلِّ مجسَّمٍ ممّا يأتي:

4)

الْخُطْوَةُ 1:أَجِدُ محيطَ القاعدةِ:

             P = 2l + 2w                      محيط القاعدة المستطيلة   

 P = 2(14) + 2(3.5)                       تعويض الأبعاد 

                    35 = P                        أَجِدُ الناتجَ

الْخُطْوَةُ 2: أَجِدُ المساحةَ الجانبيةَ لِسطحِ المنشورِ:

        L.A = Ph                                صيغة المساحة الجانبية لسطح المنشور 

3.5×35 =                                          تعويض الأبعاد 

   122.5 =                                       أَجِدُ الناتجَ  

الْخُطْوَةُ 3: أَجِدُ مساحةَ القاعدةِ:

     B = l × w                                 مساحة القاعدة 

3.5 ×14 =                                    تعويض الأبعاد 

        49 =                                    أَجِدُ الناتجَ

الْخُطْوَةُ 4:أَجِدُ المساحةَ الكلّيةَ لِسطحِ المنشورِ:

       S.A = L.A + 2B                    صيغة المساحة الكلية لسطح المنشور 

(49)122.5+2 =                           تعويض الأبعاد 

           220.5 =                           أَجِدُ الناتجَ

إذنْ، المساحةُ الكلّيةُ لِسطحِ المنشورِ تساوي 220.5cm²

 

5)

          $$\begin{gathered} \mathrm{S}.\mathrm{A}=\mathrm{L}.\mathrm{A}+2\mathrm{B} \\ =2\mathrm{\pi rh}+2{\mathrm{\pi r}}^2 \\ =2\mathrm{\pi r}(\mathrm{h}+\mathrm{r}) \end{gathered}$$           صيغة المساحة الكلية لسطح الأسطوانة  - بأخذ$\mathbf{2}\mathbf{\pi r}$ كعامل مشترك -

 $$\begin{gathered} =2\left(3.14\right)\left(6\right)\left(36+6\right) \\ =1583.4{\mathrm{mm}}^2 \end{gathered}$$           بتعويض الأبعاد ، أجد الناتج 

 

6)

الْخُطْوَةُ 1:أَجِدُ محيطَ القاعدةِ:

            P = l+w+h                      محيط القاعدة (مثلث)                                

          P = 6+10+8                      تعويض الابعاد 

                  24 =                          أَجِدُ الناتجَ

الْخُطْوَةُ 2: أَجِدُ المساحةَ الجانبيةَ لِسطحِ المنشورِ:

      L.A = Ph                              صيغة المساحة الجانبية لسطح المنشور 

9 × 24 =                                    تعويض الابعاد  

     216 =                                    أَجِدُ الناتجَ

الْخُطْوَةُ 3: أَجِدُ مساحةَ القاعدةِ:

  $\frac{1}{2}\times \mathrm{b}\times \mathrm{h}$=B                            مساحة القاعدة (مثلث)

 $$\begin{gathered} =\frac{1}{2}\times 8\times 6 \\ =24 \end{gathered}$$                             بتعويض الأبعاد ، أجد الناتج 

الْخُطْوَةُ 4:أَجِدُ المساحةَ الكلّيةَ لِسطحِ المنشورِ:

    S.A = L.A + 2B                     صيغة المساحة الكلية لسطح المنشور 

(24)216+2 =                            تعويض الابعاد 

       264 =                               أَجِدُ الناتجَ

إذنْ، المساحةُ الكلّيةُ لِسطحِ المنشورِ تساوي 264m²

 

أَجِدُ المساحةَ الكلية لِسطحِ كلِّ مجسَّمٍ ممّا يأتي:

7) منشورٌ قاعدتُهُ مستطيلةُ الشكلِ، طولُها 6.2cm وَعرضُها 4cm وَارتفاعُهُ 8.5cm 

الْخُطْوَةُ 1:أَجِدُ محيطَ القاعدةِ:

             P = 2l + 2w                      محيط القاعدة المستطيلة   

   P = 2(6.2) + 2(4)                      تعويض الأبعاد 

                 20.4 = P                       أَجِدُ الناتجَ

الْخُطْوَةُ 2: أَجِدُ المساحةَ الجانبيةَ لِسطحِ المنشورِ:

           L.A = Ph                            صيغة المساحة الجانبية لسطح المنشور 

8.5×20.4 =                                     تعويض الأبعاد 

     173.4 =                                   أَجِدُ الناتجَ  

الْخُطْوَةُ 3: أَجِدُ مساحةَ القاعدةِ:

     B = l × w                                 مساحة القاعدة 

 4 × 6.2 =                                    تعويض الأبعاد 

     24.8 =                                     أَجِدُ الناتجَ

الْخُطْوَةُ 4:أَجِدُ المساحةَ الكلّيةَ لِسطحِ المنشورِ:

          S.A = L.A + 2B                  صيغة المساحة الكلية لسطح المنشور 

(24.8)173.4+2 =                        تعويض الأبعاد 

                 223 =                         أَجِدُ الناتجَ

إذنْ، المساحةُ الكلّيةُ لِسطحِ المنشورِ تساوي 223cm²

 

8)أُسطوانةٌ طولُ نصفِ قُطرِها 5mm وَارتفاعُهُا 15mm

          $$\begin{gathered} \mathrm{S}.\mathrm{A}=\mathrm{L}.\mathrm{A}+2\mathrm{B} \\ =2\mathrm{\pi rh}+2{\mathrm{\pi r}}^2 \\ =2\mathrm{\pi r}(\mathrm{h}+\mathrm{r}) \end{gathered}$$           صيغة المساحة الكلية لسطح الأسطوانة  - بأخذ $\mathbf{2}\mathbf{\pi r}$ كعامل مشترك-

$$\begin{gathered} =2\left(3.14\right)\left(5\right)\left(15+5\right) \\ =628.3{\mathrm{mm}}^2 \end{gathered}$$            بتعويض الأبعاد ، أجد الناتج 

 

9) أُسطوانةٌ طولُ قُطرِها 4m وَارتفاعُها 20m

          $$\begin{gathered} \mathrm{S}.\mathrm{A}=\mathrm{L}.\mathrm{A}+2\mathrm{B} \\ =2\mathrm{\pi rh}+2{\mathrm{\pi r}}^2 \\ =2\mathrm{\pi r}(\mathrm{h}+\mathrm{r}) \end{gathered}$$           صيغة المساحة الكلية لسطح الأسطوانة  - بأخذ $\mathbf{2}\mathbf{\pi r}$ كعامل مشترك- 

$$\begin{gathered} =2\left(3.14\right)\left(2\right)\left(20+2\right) \\ =276.5{\mathrm{m}}^2 \end{gathered}$$           بتعويض الأبعاد ، أجد الناتج 

 

10) أقلامٌ: قلمُ تلوينٍ على شكلِ منشورٍ سُداسيٍّ، طولُ ضِلعِ قاعدتِهِ 4mm وَارتفاعُهُ 170mm أَجِدُ المساحةَ الجانبيةَ للقلم 

                L.A = Ph                 صيغة المساحة الجانبية لسطح المنشور 

              $=\left(6\mathrm{l}\right)\mathrm{h}$                       تعويض محيط القاعدة السداسية 

$$\begin{gathered} =\left(6\times 4\right)\times 170 \\ =4080{\mathrm{mm}}^2 \end{gathered}$$                       بتعويض الأبعاد ، أجد الناتج 

 

11) ناطحاتُ سحابٍ: ناطحةُ سحابٍ على شكلِ منشورٍ قاعدتُهُ مربعةُ الشكلِ طولُ ضِلعِها 64m وَارتفاعُهُ 414m أَجِدُ المساحةَ الجانبيةَ لِسطحِ ناطحةِ السحابِ.

                L.A = Ph                 صيغة المساحة الجانبية لسطح المنشور 

             $=\left(4\mathrm{l}\right)\times \mathrm{h}$                    بتعويض محيط القاعدة المربعة = 4× طول الضلع 

$$\begin{gathered} =\left(4\times 64\right)\times 414 \\ =105984{\mathrm{m}}^2 \end{gathered}$$                       بتعويض الأبعاد ، أجد الناتج     

 

12) أبراجٌ: يبلغُ ارتفاعُ بُرجِ الساعةِ في مكّةَ المكرَّمةِ 250m وَهُوَ على شكلِ منشورٍ قاعدتُهُ مربعةُ الشكلِ طولُ ضِلعِها 43m أَجِدُ المساحةَ الجانبيةَ لِسطحِ البُرجِ.

                 L.A = Ph               صيغة المساحة الجانبية لسطح المنشور 

            $=\left(4\mathrm{l}\right)\times \mathrm{h}$                    بتعويض محيط القاعدة المربعة = 4× طول الضلع 

$$\begin{gathered} =\left(4\times 43\right)\times 250 \\ =43000{\mathrm{m}}^2 \end{gathered}$$                      بتعويض الأبعاد ، أجد الناتج     

 

13) أَجِدُ مساحةَ الكرتونِ اللازمةَ لِصُنعِ الأنبوبِ الآتي:

مساحة الكرتون اللازمة لصنع الأنبوب = المساحة الجانبية للأنبوب - أنتبه لتحويل الوحدات قبل الحل - 

                 $\mathrm{L}.\mathrm{A}=\mathrm{\pi dh}$           صيغة المساحة الجانبية لسطح الأسطوانة 

$$\begin{gathered} \approx 3.14\times 3\times 300 \\ \approx 2827.4 {\mathrm{cm}}^2 \end{gathered}$$                  بتعويض الأبعاد ، أجد الناتج 

 

14) عُلَبٌ: غَلّفَتْ منارُ جوانبَ عُلبةِ الأقلامِ المجاورةِ وَقاعدتَها بِورقٍ للتزيينِ. أَجِدُ مساحةَ ورقِ التغليفِ الّذي استعملَتْهُ منارُ.

مساحة ورق التغليف = المساحة الكلية للأسطوانة - مساحة الغطاء العلوي 

              $$\begin{gathered} \mathrm{S}.\mathrm{A}=\mathrm{L}.\mathrm{A}+\mathrm{B} \\ =\mathrm{\pi dh}+{\mathrm{\pi r}}^2 \end{gathered}$$    صيغة المساحة الكلية لسطح الأسطوانة - مساحة الغطاء العلوي (لاحظ تعويض B وليس 2B)            

$$\begin{gathered} =\left(\mathrm{\pi }16\times 15\right)+\left(\mathrm{\pi }{8}^2\right) \\ \approx 753.6+200.96 \\ \approx 955{\mathrm{cm}}^2 \end{gathered}$$           بتعويض الأبعاد ، أجد الناتج     

15) بيوتٌ زجاجيةٌ: يبيّنُ الشكلُ المجاورُ بيتًا زجاجيًّا لِلنباتاتِ، أَجِدُ مساحةَ الزجاجِ الّتي استُعمِلَتْ في بناءِ البيتِ.

مساحة الزجاج = المساحة الكلية للمنشور الخماسي - مساحة الأرض السفلية 

أجد محيط  الشكل الخماسي :

              $$\begin{gathered} \mathrm{P}=2.5+2.5+5+3+3 \\ =16 \end{gathered}$$     محيط المنشور يساوي مجموع أطوال أضلاعه 

أجد مساحة الشكل الخماسي :

$$\begin{gathered} \mathrm{B}={\mathrm{A}}_{\mathrm{مستطيل}}+{\mathrm{A}}_{\mathrm{مثلث}} \\ =\left(2.5\times 5\right)+\left(\frac{5\times 1.5}{2}\right) \\ =12.5+3.75 \\ =16.25 \end{gathered}$$                 مساحة الشكل الخماسي = مساحة المستطيل + مساحة المثلث (ارتفاع المثلث = 2.5-4)

أجد مساحة الزجاج :

                          $$\begin{gathered} \mathrm{S}.\mathrm{A}=\mathrm{L}.\mathrm{A}+2\mathrm{B}-{\mathrm{A}}_{\mathrm{الارض}} \\ =\mathrm{Ph}+2\mathrm{B}-\left(\mathrm{l}\times \mathrm{w}\right) \end{gathered}$$         صيغة المساحة الكلية لسطح المنشور - مساحة الأرض السفلية 

$$\begin{gathered} =\left(16\times 10\right)+2\times 16.25-\left(5\times 10\right) \\ =142.5{\mathrm{cm}}^2 \end{gathered}$$

 

16) راصفةُ طُرُقٍ: أعودُ إلى فقرةِ (أستكشفُ) بِدايةَ الدرسِ، وَأحلُّ المسألةَ.

المساحة المرصوفة من الطريق = مساحة الأسطوانة الجانبية 

$$\begin{gathered} \mathrm{L}.\mathrm{A}=\mathrm{\pi dh} \\ =\mathrm{\pi }\times 1.28\times 1.07 \\ \approx 4.3{\mathrm{m}}^2 \end{gathered}$$           صيغة المساحة الجانبية لسطح الأسطوانة 

 

تحدٍّ: أَجِدُ المساحةَ الكلّيةَ لِسطحِ كلِّ مجسَّمٍ ممّا يأتي:

17)

الْخُطْوَةُ1: أَجِدُ المساحةَ الجانبيةَ لِسطحِ المنشورِ:

                L.A = Ph                       صيغة المساحة الجانبية لسطح المنشور 

$$\begin{gathered} =\left(2\left(4+5\right)\right)\times 6 \\ =108 \end{gathered}$$                               بتعويض محيط المستطيل وارتفاع المنشور ، أجد الناتج 

الْخُطْوَةُ 2: أَجِدُ مساحةَ القاعدةِ:

$\mathrm{B}={\mathrm{B}}_{\mathrm{الخارجي}}-{\mathrm{B}}_{\mathrm{الداخلي} }$                   مساحة القاعدة 

$$\begin{gathered} =\left(5\times 4\right)-\left(3\times 2\right) \\ =14 \end{gathered}$$                        بتعويض أبعاد المستطيلين ، أجد الناتج 

الْخُطْوَةُ 3:أَجِدُ المساحةَ الكلّيةَ لِسطحِ المنشورِ:

   S.A = L.A + 2B                         صيغة المساحة الكلية لسطح المنشور 

(14)108+2=                                تعويض الأبعاد 

          136 =                                 أَجِدُ الناتجَ

إذنْ، المساحةُ الكلّيةُ لِسطحِ المنشورِ تساوي 136cm²

 

18)

الْخُطْوَةُ1: أَجِدُ المساحةَ الجانبيةَ لِسطحِ الأسطوانة :

     $\mathrm{L}.\mathrm{A}=\mathrm{\pi dh}$                              صيغة المساحة الجانبية لسطح الأسطوانة

$$\begin{gathered} =\mathrm{\pi }3\times 6 \\ =56.548 \end{gathered}$$                                    بتعويض الأبعاد ، أجد الناتج 

الْخُطْوَةُ 2: أَجِدُ مساحةَ القاعدةِ:

$\mathrm{B}={\mathrm{B}}_{\mathrm{الخارجي}}-{\mathrm{B}}_{\mathrm{الداخلي} }$                   مساحة القاعدة 

$$\begin{gathered} =\mathrm{\pi }\left({\mathrm{r}}^2-{\mathrm{r}}^2\right) \\ \approx 3.14\left(1.5^2-0.5^2\right) \\ \approx 6.28 \end{gathered}$$                   بتعويض الأبعاد ، أجد الناتج 

الْخُطْوَةُ 3:أَجِدُ المساحةَ الكلّيةَ لِسطحِ الأسطوانة:

       S.A = L.A + 2B                     صيغة المساحة الكلية لسطح الأسطوانة

(6.3)56.5+2$\approx$                           تعويض الأبعاد 

          $\approx 69.1$                              أَجِدُ الناتجَ

إذنْ، المساحةُ الكلّيةُ لِسطحِ المنشورِ تساوي 69.1cm²

 

19) تبريرٌ: إذا أصبحَتْ أطوالُ أضلاعِ مكعَّبٍ مِثْلَيْ طولِها الأصليِّ، فَما تأثيرُ ذلكَ في المساحةِ الكلّيةِ لِسطحِهِ؟ أبرّرُ إجابتي.

$$\begin{gathered} {\mathrm{A}}_1=\mathrm{L}.\mathrm{A}+2\mathrm{B} =\left(4\mathrm{l}\times \mathrm{l}\right)+2{\mathrm{l}}^2\stackrel{}{\to }6{\mathrm{l}}^2 \\ {\mathrm{A}}_2=6{\left(2\mathrm{l}\right)}^2\stackrel{}{\to }24{\mathrm{l}}^2 \end{gathered}$$

المساحة الجديدة 4 أمثال المساحة الأصلية.

 

20) أكتشفُ الخطأَ: يقولُ سيفٌ: إذا تساوى حجما أُسطوانتَينِ، فإنَّهُ يكون لَهُما المساحةُ الجانبيةُ نفسُها. هلْ ما يقولُهُ سيفٌ صحيحٌ؟ أبرّرُ إجابتي.

غير صحيح ، لأن تساوي الحجمين لا يعني تساوي أبعاد الأسطوانتين ، فمن الممكن أن يتساوى حجما الأسطوانيتين مع اختلافهما في القطر والارتفاع مما يعني اختلاف مساحتهما الجانبية

 

21) تحدٍّ: يبيّنُ الشكلُ المجاورُ 4 كراتِ تِنسٍ موضوعةً في عُلبةٍ أُسطوانيةِ  الشكلِ. إذا كانَ قُطرُ كلِّ كرةٍ مِنْها 7cm فَأَجِدُ المساحَةَ الجانبيةَ لِسطحِ العُلبةِ، وَأبرّرُ إجابتي. 

 

المساحةَ الجانبيةَ لِسطحِ الأسطوانة :

$$\begin{gathered} \mathrm{L}.\mathrm{A}=\mathrm{\pi dh} \\ =\mathrm{\pi }\times 7\times 28 \\ =615.75{\mathrm{cm}}^2 \end{gathered}$$                        ارتفاع الأسطوانة = 4 × قطر الكرة الواحدة و قطر الأسطوانة = قطر الكرة تقريباً 

 

22) أكتبُُ كيفَ أَجِدُ المساحةَ الجانبيةَ وَالمساحةَ الكلّيةَ لِسطحِ المنشورِ؟

المساحةَ الجانبيةَ: ناتج ضرب ارتفاع المنشور في محيط قاعدته 

المساحةَ الكلّيةَ : مجموع مساحته الجانبية ومثلي مساحة قاعدته 

---

---

حلول أسئلة كتاب التمارين

أَجِدُ المساحةَ الكليةَ لسطحِ كلِّ مجسَّمٍ ممّا يأتي:

1)

$$\begin{gathered} \mathrm{S}.\mathrm{A}=\mathrm{L}.\mathrm{A}+2\mathrm{B} \\ =\left(\left(29+21+20\right)\times 35\right)+\cancel{2}\left(\frac{20\times 21}{\cancel{2}}\right) \\ = 2450+420 \\ = 2870{\mathrm{cm}}^2 \end{gathered}$$

2)

$$\begin{gathered} \mathrm{S}.\mathrm{A}=\mathrm{L}.\mathrm{A}+2{\mathrm{\pi r}}^2 \\ =2\mathrm{\pi rh}+2{\mathrm{\pi r}}^2 \\ =2\mathrm{\pi r}(\mathrm{h}+\mathrm{r}) \\ \approx 2\times 3.14\times 6.5\left(17+6.5\right) \\ \approx 959.8{\mathrm{cm}}^2 \end{gathered}$$

 

3)

$$\begin{gathered} \mathrm{S}.\mathrm{A}=\mathrm{L}.\mathrm{A}+2\mathrm{B} \\ =\left(2\times \left(6+2.5\right)\times 4.2\right)+2\left(6\times 2.5\right) \\ = 71.4+30 \\ = 101.4{\mathrm{cm}}^2 \end{gathered}$$

 

أَجِدُ المساحةَ الكلّيةَ لِسطحِ كلِّ مجسَّمٍ ممّا يأتي:

4) أُسطُوانةٌ ارتفاعُها 9.4m ، وَطولُ قُطرِ قاعدتِها 8m 

$$\begin{gathered} \mathrm{S}.\mathrm{A}=\mathrm{L}.\mathrm{A}+2{\mathrm{\pi r}}^2 \\ =2\mathrm{\pi rh}+2{\mathrm{\pi r}}^2 \\ =2\mathrm{\pi r}(\mathrm{h}+\mathrm{r}) \\ \approx 2\times 3.14\times 4\left(9.4+4\right) \\ \approx 336.8{\mathrm{m}}^2 \end{gathered}$$

 

5) منشورٌ رباعيٌّ قاعدتُهُ مستطيلةُ الشكلِ طولُهُا 3cm وعَرضُهُا 5cm وَارتفاعُهُ 4cm

$$\begin{gathered} \mathrm{S}.\mathrm{A}=\mathrm{L}.\mathrm{A}+2\mathrm{B} \\ =\left(2\times \left(5+3\right)\times 4\right)+2\left(5\times 3\right) \\ = 64+30 \\ = 94 {\mathrm{cm}}^2 \end{gathered}$$

 

6) يبيّنُ الشكلُ المجاورُ منشورًا خماسيًّا قاعدتُهُ منتظمةٌ مساحتُها 43cm² طولُ ضلعِها 5cm .إذا كانَتِ المساحةُ الكليةُ لسطحِ المنشورِ 236cm²، فَأَجِدُ قيمةَ a 

$$\begin{gathered} \mathrm{S}.\mathrm{A}=\mathrm{L}.\mathrm{A}+2\mathrm{B} \\ 236=\left(5\times 5\times \mathrm{a} \right)+2\left(43\right) \\ \mathrm{a}=\frac{236-2\left(43\right)}{25} \\ \mathrm{a}=6\mathrm{cm} \end{gathered}$$

 

7) عبوّةُ طلاءٍ: يبيّنُ الشكلُ المجاورُ عبوّةَ طلاءٍ على شكلِ أُسطُوانةٍ.أَجِدُ المساحةَ الكليةَ لسطحِ العبوّةِ.

$$\begin{gathered} \mathrm{S}.\mathrm{A}=\mathrm{L}.\mathrm{A}+2{\mathrm{\pi r}}^2 \\ =2\mathrm{\pi rh}+2{\mathrm{\pi r}}^2 \\ =2\mathrm{\pi r}(\mathrm{h}+\mathrm{r}) \\ \approx 2\times 3.14\times 10\left(45+10\right) \\ \approx 3454{\mathrm{cm}}^2 \end{gathered}$$

 

8) منشورٌ ثلاثيٌّ، أبعادُ قاعدتِهِ 4cm,5cm,6cm وَمساحتُهُ الجانبيةُ 300cm²، أَجِدُ ارتفاعَهُ.

$$\begin{gathered} \mathrm{L}.\mathrm{A}=\mathrm{Ph} \\ 300=\left(4+5+6\right)\mathrm{h} \\ \mathrm{h}=\frac{300}{15} \\ \mathrm{h}=20\mathrm{cm} \end{gathered}$$

 

9) أكتشفُ الخطأَ: أوجدَ عاصمٌ المساحةَ الكليةَ لسطحِ الأُسطُوانةِ المجاورةِ كما يأتي: أحدّدُ الخطأَ الّذي وقعَ فيهِ عاصمٌ، ثمَّ أصحّحُهُ.

الخطأ أنه حسب مساحة قاعدة واحدة، عند حساب مساحة القاعدتين تكون الإجابة الصحيحة  490cm² تقريبا