رياضيات فصل ثاني

حلول أسئلة أتحقق من فهمي 

3)

$\mathrm{C} = 2\mathrm{\pi r}$                      صيغة محيط الدائرة 

$$\begin{gathered} \mathrm{C} \approx 2\times \left(3.14\right)\times 7 \\ \approx 43.96\mathrm{cm} \end{gathered}$$                     أعوض نصف القطر r و قيمة $\mathrm{\pi }$ التقريبية  ،ثم أجد الناتج 

محيط الدائرة يساوي 43.96cm 

4)

$\mathrm{C}=\mathrm{\pi d}$                           صيغة محيط الدائرة 

$$\begin{gathered} \approx 3.14\times 4 \\ \approx 12.56\mathrm{cm} \end{gathered}$$                              أعوض القطر d و قيمة $\mathrm{\pi }$ التقريبية ،ثم أجد الناتج           

محيط الدائرة يساوي 12.56cm 

 

3) أَجِدُ طولَ نصفِ قُطْرِ دائرةٍ محيطُها 75.36cm ، أستعملُ 3.14$\mathbf{\pi }\mathbf{\approx }$

              $C=2\pi r$                          صيغة محيط الدائرة 

$$\begin{gathered} 75.36=2\left(3.14\right)\times r \\ \frac{75.36}{2\left(3.14\right)}=\frac{2\left(3.14\right)\times r}{2\left(3.14\right)} \\ r=12\mathrm{cm} \end{gathered}$$              بتعويض قيم المحيط و قيمة $\mathrm{\pi }$ التقريبية ، ثم القسمة على 2×3.14 وأجد الناتج 

طول نصف قطر الدائرة يساوي 12cm 

    

4) أَجِدُ طولَ قُطْرِ دائرةٍ محيطُها 47.1km أستعملُ 3.14 $\mathbf{\pi }\mathbf{\approx }$

                $C=\pi d$                       صيغة محيط الدائرة

$$\begin{gathered} 47.1= 3.14\times \mathrm{d} \\ \frac{47.1}{3.14}=\frac{3.14\times \mathrm{d} }{3.14} \\ \mathrm{d}= 15\mathrm{km} \end{gathered}$$                 بتعويض قيم المحيط وقيمة $\mathrm{\pi }$ التقريبية ، ثم القسمة على 3.14 أجد الناتج 

طول قطر الدائرة يساوي 15km

 

مقودٌ: أَجِدُ محيطَ مقودِ سيّارةٍ إذا كانَ قُطْرُهُ 45cm 

بما أن المقود على شكل دائري ، أكتب صيغة محيط الدائرة 

           $C=\pi d$                         صيغة محيط الدائرة

$$\begin{gathered} =3.14\times 45 \\ \approx 141.3\text{cm} \end{gathered}$$                        بتعويض قيمة قطر الدائرة وقيمة $\mathrm{\pi }$ التقريبية ، ثم أجد الناتج 

محيط المقود يساوي 141.3cm 

---

---

حلول أسئلة أتدرب وأحل المسائل 

أَجِدُ محيطَ كلِّ دائرةٍ ممّا يأتي، وَأستعملُ الآلةَ الحاسبةَ لأتحقّقَ مِنْ صحةِ إجابتي:(أقرّبُ إجابتي لأقربِ جزءٍ مِنْ عشرةٍ)

1)

$C =\pi d$                      صيغة محيط الدائرة

$$\begin{gathered} \mathrm{C} \approx 3.14\times 13 \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\approx }\mathbf{40}\mathbf{.}\mathbf{82}\mathbf{cm} \end{gathered}$$                     أعوض القطر d و قيمة π التقريبية ، ثم أجد الناتج 

 

2)

$C=2\pi r$                       صيغة محيط الدائرة

 $$\begin{gathered} \mathrm{C} \approx 2\times \left(3.14\right)\times 18 \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\approx }\mathbf{113}\mathbf{.}\mathbf{04}\mathbf{km} \end{gathered}$$                      أعوض نصف القطر  r و قيمة π التقريبية ، ثم أجد الناتج 

3)

$C=\pi d$                      صيغة محيط الدائرة

$$\begin{gathered} \mathrm{C} \approx 3.14\times 5 \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\approx }\mathbf{ }\mathbf{15}\mathbf{.}\mathbf{7}\mathbf{m} \end{gathered}$$                      أعوض القطر d و قيمة π التقريبية ، ثم أجد الناتج 

 

4) أَجِدُ طولَ نصفِ قُطْرِ دائرةٍ محيطُها 94.2cm  أستعمل $\mathbf{\pi }\mathbf{\approx }\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{14}$

$$\begin{gathered} \mathrm{C}= 2\mathrm{\pi r} \\ 94.2\approx 2\left(3.14\right)\times \mathrm{r} \\ \frac{94.2}{2\left(3.14\right)}\approx \frac{2\left(3.14\right)\times \mathrm{r}}{2\left(3.14\right)} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{r}\mathbf{\approx }\mathbf{15}\mathbf{cm} \end{gathered}$$             بتعويض كل من قيم محيط الدائرة و π التقريبية  ، ثم قسمة الطرفين على 2×3.14 ، أجد الناتج     

5) أَجِدُ طولَ قُطْرِ دائرةٍ محيطُها 36.11m أستعملُ $\mathbf{\pi }\mathbf{\approx }\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{14}$

$$\begin{gathered} \mathrm{C}= \mathrm{\pi d} \\ 36.11\approx 3.14\times \mathrm{d} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{d}\mathbf{\approx }\mathbf{11}\mathbf{.}\mathbf{5}\mathbf{cm} \end{gathered}$$                     بتعويض كل من قيم محيط الدائرة و π التقريبية  ، ثم قسمة الطرفين على 3.14 ، أجد الناتج  

6)أَجِدُ محيطَ الشكلِ المجاورِ الّذي يمثّلُ ثلاثةَ أرباعِ دائرةٍ طولُ نصفِ قُطْرِها 3.6cm 

محيط الشكل التالي يساوي 3/4 الدائرة مضافاً اليها 2×نصف القطر 

$$\begin{gathered} \mathrm{C}=\frac{3}{4}\left(2\mathrm{\pi r}\right)+2\mathrm{r} \\ \approx \frac{6\times 3.14\times 3.6}{4}+2\left(3.6\right) \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\approx }\mathbf{ }\mathbf{24}\mathbf{.}\mathbf{16}\mathbf{cm} \end{gathered}$$

 

7) ساعةٌ: يبلغُ قُطْرُ ساعةِ بيغْ بِنْ البريطانيةِ 7m أَجِدُ المسافةَ الّتي يقطعُها رأسُ عقربِ الدقائقِ في اليومِ الواحدِ. 

المسافة خلال اليوم الواحد = 24 ساعة × محيط الدائرة 

$$\begin{gathered} \mathrm{C}=\mathrm{\pi d} \\ \approx 3.14\times 7 \\ \approx 21.98 \end{gathered}$$                          صيغة محيط الدائرة

$$\begin{gathered} \mathrm{Distance} = 24 \times \mathrm{C} \\ = 24 \times 21.98 \\ \mathbf{ }\mathbf{\approx }\mathbf{528}\mathbf{m} \end{gathered}$$           المسافة المقطوعة في اليوم 

8) سياجٌ: صمّمَ عليٌّ حديقةً على شكلِ نصفِ دائرةٍ قُطْرُها 8m وَأرادَ إحاطَتَها بِسياجٍ؛ لِغلاقِها. ما طولُ السياجِ الّذي يلزمُهُ لإغلاقِ الحديقةِ؟ إذا كانَ سعرُ المترِ الواحدِ السياجِ 4JD أجد تكلفةَ السياجِ. 

طول السياج المطلوب = محيط نصف الدائرة التي قطرها 8m + القطر d 

$$\begin{gathered} C=\frac{1}{2}\left(\mathrm{\pi d}\right) +\mathrm{d} \\ \approx \frac{3.14\times 8}{2}+8 \\ \approx 20.56\mathrm{m} \end{gathered}$$

تكلفة السياج = طول السياج × سعر المتر الواحد 

                       = 20.56 × 4

                       =82.24 دينار 

 

9) خيطٌ: بَكَرَةُ خيوطٍ على شكلِ أُسطُوانةٍ طولُ قُطْرِها 6cm إذا لُفَّ خيطٌ حولَها 150 مرةً. أَجِدُ طولَ الخيطِ.

طول الخيط = عدد اللفات × محيط الدائرة 

$$\begin{gathered} \mathrm{C}=\mathrm{\pi d} \\ \approx 3.14\times 6 \\ \approx 18.84 \end{gathered}$$                          صيغة محيط الدائرة

$$\begin{gathered} \mathrm{L}=18.84\times 150 \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{2826}\mathbf{cm} \end{gathered}$$                            طول الخيط

 

10) عَجلةٌ: يبيّنُ الشكلُ المجاورُ درّاجتَينِ مِنْ ذواتِ العَجلةِ الواحدةِ. إذا كانَ طولُ نصفِ قُطْرِ الدرّاجةِ الأولى 48cm وَطولُ نصفِ قُطْرِ الدرّاجةِ الثانيةِ 33cm بِكَمْ تزيدُ المسافةُ الّتي تقطعُها العَجلةُ الأولى عَنِ المسافةِ الّتي تقطعُها العَجلةُ الثانيةُ في الدورةِ الواحدةِ لكلٍّ منهُما؟ أُقرّبُ إجابتي لأقربِ سَنتيمترٍ.

الفرق في المسافة المقطوعة في الدورة الواحد = الفرق بين محيط الدائرتين 

$$\begin{gathered} \mathrm{D}={\mathrm{C}}_1-{\mathrm{C}}_2 \\ =2\mathrm{\pi }\left({\mathrm{r}}_1-{\mathrm{r}}_2\right) \\ \approx 2\times 3.14\left(48-33\right) \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\approx }\mathbf{94}\mathbf{cm} \end{gathered}$$                  بأخذ $\mathbf{2}\mathbf{\pi }$ كعامل مشترك 

 

11) صمّمَتْ فادِيةُ مجسَّمًا يشبِهُ شعارَ دورةِ الألعابِ الأولومبية مِنْ حلَقاتٍ بلاستيكيةٍ صنعَتْها بِاستعمالِ أنبوبٍ بلاستيكيٍّ، بحيثُ كانَ طولُ نصفِ قُطْرِ كلِّ حلَقةٍ دائريةٍ 75cm كَمْ سَنتيمترًا مِنَ الأنبوبِ استعملَتْ فادِيةُ؟

طول الانابيب = محيط كل الدوائر 

                       = 5 × محيط الدائرة التي نصف قطرها 75cm 

$$\begin{gathered} \mathrm{L}=5\mathrm{C} \\ =5\left(2\mathrm{\pi r}\right) \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\approx }\mathbf{2355}\mathbf{cm} \end{gathered}$$

 

12) يتكوّنُ الشكلُ المجاورُ مِنْ 3 أنصافِ دوائرَ، إذا علمْتُ أنَّ نصفَيِ الدائرتَينِ الصغيرتَينِ متطابقانِ، أَجِدُ محيطَ الشكلِ مقرّبًا إجابتي لِقربِ جزءٍ مِنْ عشرةٍ.

محيط الشكل = محيط نصف الدائرة الكبيرة + 2 محيط نصف الدائرتين الصغيرة ( ولأنهما متطابقتان نجد محيط الدائرة الصغيرة كاملاً)

$$\begin{gathered} C_t=C_{small }+\frac{C_{big}}{2} \\ =\mathrm{\pi d} + \frac{\mathrm{\pi d}}{2} \\ =\mathrm{\pi }\left(\mathrm{d}+\frac{\mathrm{d}}{2}\right) \\ \approx 3.14 (10+\frac{20}{2}) \\ \mathbf{ }\mathbf{\approx }\mathbf{ }\mathbf{62}\mathbf{.}\mathbf{8}\mathbf{ }\mathbf{cm} \end{gathered}$$                   بأخذ $\mathbf{\pi }$ كعامل مشترك 

13) خواتِمُ: أعودُ إلى فقرةِ(أستكشفُ) بدايةَ الدرسِ وَأحلُّ المسألةَ.

نقارن بين محيط اصبع علا والذي يساوي 59mm مع محيط الخاتمين لإختيار الخاتم المناسب 

محيط الخاتم الأول (الذي قطره 17mm):

$$\begin{gathered} \mathrm{C}=\mathrm{\pi d} \\ \approx 53.38\mathrm{mm} \end{gathered}$$

محيط الخاتم الثاني (الذي قطره 19mm):

$$\begin{gathered} \mathrm{C}=\mathrm{\pi d} \\ \approx 59.66\mathrm{mm} \end{gathered}$$

الخاتم الثاني هو الأنسب 

 

14) تبريرٌ: أحددُ ما إذا كانَ محيطُ دائرةٍ طولُ نصفِ قُطْرِها 4m أقلَّ أَمْ أكبرَ مِن 24m منْ دونِ إجراءِ الحساباتِ، وَأبرّرُ إجابتي.

العدد 24 هو ثلاثة اضعاف القطر في حين ان المحيط = 3.14×8 تقريبا 

$24<8\times 3.14$ 

لذلك فإن المحيط سيكون أكبر من 24متر 

 

15) تبريرٌ: ركضَ محمودٌ على طولِ المسارِ الأزرقِ، وركضَتْ سميرةُ على طولِ المسارِ  الأحمرِ، أيُّهُما قطعَ مسافةً أكبرَ: محمودٌ أَمْ سميرةُ؟ أبرّرُ إجابتي. علمًا بأنَّ المساراتِ مكونةٌ مِنْ مجموعةٍ مِنْ أنصافِ دوائرَ.

المسار الأزرق : 

محيط نصف دائرتين : الأولى قطرها 4 وحدات والثانية نصف قطرها 6 وحدات 

$$\begin{gathered} \mathrm{C}=\frac{1}{2}({\mathrm{C}}_{\mathrm{small} }+{\mathrm{C}}_{\mathrm{big}}) \\ =\frac{1}{2}({\mathrm{\pi d}}_{\mathrm{small}}+{\mathrm{\pi d}}_{\mathrm{big}}) \\ =\frac{\mathrm{\pi }}{2}(4+6) \\ =5\mathrm{\pi } \end{gathered}$$                  بأخذ $\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{2}}$ كعامل مشترك

المسار الأحمر : 

محيط أربعة أنصاف دوائر : ثلاثة أنصاف دائرة قطرها وحدتان  و دائرة قطرها 4 وحدات 

$$\begin{gathered} C=\frac{1}{2}(3C_{small}+C_{big}) \\ =\frac{1}{2}(3{\mathrm{\pi d}}_{\mathrm{small}}+{\mathrm{\pi d}}_{\mathrm{big}}) \\ =\frac{\mathrm{\pi }}{2}(3\left(2\right)+4) \\ =5\mathrm{\pi } \end{gathered}$$                  بأخذ$\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{2}}$كعامل مشترك

قطعوا المسافة نفسها $\mathbf{5}\mathbf{\pi }$

 

16 تبريرٌ:إذا أصبحَ طولُ قُطرِ دائرةٍ مِثْلَيْ طولِ قُطرِها الأصليِّ، ما تأثيرُ ذلكَ في محيطِها؟ أبرّرُ إجابتي.

يتضاعف محيطها 

$$\begin{gathered} {\mathrm{C}}_1=\mathrm{\pi d}\underset{}{\stackrel{}{\to }{\mathrm{C}}_2=\mathrm{\pi }\left(2\mathrm{d}\right)}=2\mathrm{\pi d} \\ {\mathrm{C}}_2=2{\mathrm{C}}_1 \end{gathered}$$

 

17) أكتشفُ الخطأَ: يتكوَّنُ الشكلُ المظلَّلُ الآتي مِنْ نِصفَيْ دائرةٍ، طولُ قطرِ الدائرةِ الصغيرةِ 20cm،وَطولُ قطرِ الدائرةِ الكبيرةِ 30cm تقولُ ريما: إنّ محيطَ المنطقةِ المظللةِ 88.5cm أمّا عاصمٌ فيقولُ: إنَّ محيطَها 78.5cm فأيٌّ منهُما على صوابٍ؟ أبرّرُ إجابتي.

إجابة ريما هي الاجابة الصحيحة (محيط الشكل يساوي مجموع محيط انصاف الدائرتين مضافا له 10cm)

$$\begin{gathered} {\mathrm{C}}_{\mathrm{total} }=\frac{1}{2}\left({\mathrm{C}}_{\mathrm{big}}+{\mathrm{C}}_{\mathrm{small}}\right)+\left({\mathrm{d}}_{\mathrm{big}}-{\mathrm{d}}_{\mathrm{small}}\right) \\ =\frac{1}{2}\left({\mathrm{\pi d}}_{\mathrm{big}}+{\mathrm{\pi d}}_{\mathrm{small}}\right)+\left({\mathrm{d}}_{\mathrm{big}}-{\mathrm{d}}_{\mathrm{small}}\right) \\ =\frac{\mathrm{\pi }}{2}(30+20)+\left(30-20\right) \\ = 88.5 \mathrm{cm} \end{gathered}$$

 

18)أكتبُُ كيفَ أَجِدُ محيطَ دائرةٍ علمْتُ نصفَ قُطْرِها؟

مثلي نصف القطر مضروبا في $\mathrm{\pi }$

---

---

حلول أسئلة كتاب التمارين

 أَجِدُ محيطَ كلِّ دائرةٍ ممّا يأتي، وَأستعملُ الآلةَ الحاسبةَ لِتحقَّقَ مِنْ صحةِ إجابتي:(أقرّبُ إجابتي لِقربِ جزءٍ مِنْ عَشرةٍ)

1)

$$\begin{gathered} \mathrm{C}=2\mathrm{\pi r} \\ \approx 40.80\mathrm{cm} \end{gathered}$$                           صيغة محيط الدائرة

2)

$$\begin{gathered} \mathrm{C}=\mathrm{\pi d} \\ \approx 65.94\mathrm{m} \end{gathered}$$                             صيغة محيط الدائرة                        

3)

$$\begin{gathered} \mathrm{C}=\mathrm{\pi d} \\ \approx 113.4\mathrm{mm} \end{gathered}$$                           صيغة محيط الدائرة

4) أَجِدُ محيطَ رُبُعِ الدائرةِ المبيَّنِ في الشكلِ المجاورِ.

$$\begin{gathered} \mathrm{C}=0.25\left(\mathrm{C}\right)+2\mathrm{r} \\ =0.25\left(2\mathrm{\pi r}\right)+2\mathrm{r} \\ \approx 22.85\mathrm{cm} \end{gathered}$$                         

 

5) أَجِدُ محيطَ نصفِ الدائرةِ المبيَّنِ في الشكلِ المجاورِ.

$$\begin{gathered} \mathrm{C}=0.5\mathrm{C}+\mathrm{d} \\ =0.5\left(\mathrm{\pi }\times 16\right)+16 \\ \approx 41.12\mathrm{m} \end{gathered}$$

 

6) أفترضُ أنَّني سَألُفُّ حبلً حولَ الأرضِ، ما طولُ هذا الحبلِ؟ (أعتمدُ على الشكلِ المجاورِ)

$$\begin{gathered} \mathrm{C}=2\mathrm{\pi r} \\ \approx 40009.88 \mathrm{km} \end{gathered}$$                           صيغة محيط الدائرة

 

7) سِكّةٌ: تملِكُ مريمُ لعبةَ قطارٍ سِكّتُهُ على شكلِ دائرةٍ طولُ قُطرِها 1.4m تحركَ القطارُ على السّكّةِ 25 مرةً. أحسبُ المسافةَ التي قطعَها القطارُ. أقرّبُ إجابتي لِقربِ عددٍ صحيحٍ.

$$\begin{gathered} \mathrm{D}=25\times \mathrm{C} \\ =25\times \left(1.4\mathrm{\pi }\right) \\ =110\mathrm{m} \end{gathered}$$ 

 

8) إذا كانَ محيطُ دائرةٍ 85cm أحسبُ طولَ قُطرِها، أقرّبُ إجابتي لِقربِ جزءٍ مِنْ عشرةٍ.

$$\begin{gathered} 85=\mathrm{\pi d} \\ \mathrm{d}=27.1\mathrm{cm} \end{gathered}$$

 

9) ساعةٌ: يبيّنُ الشكلُ المجاورُ ساعةً طولُ قُطرِ واجهتِها 21.4cm أَجِدُ المسافةَ الّتي قطعُها رأسُ عقربِ الدقائقِ كلَّ ساعةٍ. أقرّبُ إجابتي لِقربِ عددٍ صحيحٍ.

$$\begin{gathered} \mathrm{C}=21.4\mathrm{\pi } \\ =67\mathrm{cm} \end{gathered}$$

10) رياضةٌ: يبيّنُ الشكلُ المجاورُ مضمارًا لِلركضِ، يتكونُ مِنْ مستطيلٍ وَنصفَيْ دائرةٍ، يرغبُ كريمٌ بِالركضِ مسافةَ 4km ما أقلُّ عددٍ مِنَ اللّفّاتِ الّتي يحتاجُ إليها كريمٌ لِقطعِ المسافةِ المطلوبةِ؟

محيط الشكل :

$$\begin{gathered} \mathrm{C}=\mathrm{\pi d}+2\mathrm{L} \\ =50\mathrm{\pi }+2\times 75 \\ =307\mathrm{m} \end{gathered}$$

عدد اللفات :

$\frac{4000}{307}\approx 13$

 

 

 

 

 

.