الرياضيات فصل أول

التوجيهي أدبي

الشرح الملخص أوراق العمل حل اسئلة الدرس النتاجات

مسألة اليوم صفحة 35:

يمثل الاقتران: $L = 10 \log_{10} R$ شدة الصوت بالديسيبل، حيث $R$ شدة الصوت النسبية بالواط لكل متر مربع.

أجد شدة صوت بالديسيبل إذا كانت شدته النسبية $100 \times 10^{6} W / m^{2}$

الحل:

$L = 10 \log_{10} R$	المعادلة المعطاة
$L = 10 l o g_{10} (100 \times 10^{6})$	بتعويض $R = 100 \times 10^{6}$
$= 10 (\log_{10} 10^{2} \times 10^{6})$	حيث $100 = 10^{2}$
$= 10 (\log_{10} 10^{8})$	قوانين الأسس
$= 10 (8 \log_{10} 10)$	قانون القوة في اللوغاريتمات
$= 10 (8) = 80$	$\log_{10} 10 = 1$
إذن شدة الصوت هي $80$ ديسيبل إذا كانت شدته النسبية $100 \times 10^{6} W / m^{2}$

أتحقق من فهمي صفحة 36:

إذا كان $\log_{b} 7 \approx 1.21$ ، وكان $\log_{b} 2 \approx 0.43$ ، فجد كلًا مما يأتي:

$a) \log_{b} 14 b) \log_{b} \frac{2}{7} c) \log_{b} 32 d) \log_{b} \frac{1}{49}$

الحل:

a) \log_{b} 14

b) \log_{b} \frac{2}{7}

c) \log_{b} 32

d) \log_{b} \frac{1}{49}

$\log_{b} 14 = \log_{b} (2 \times 7) = \log_{b} 2 + \log_{b} 7$

$\approx 0.43 + 1.21 \approx 1.64$

\log_{b} \frac{2}{7} = \log_{b} 2 - \log_{b} 7 \approx 0.43 - 1.21 \approx - 0.78

\log_{b} 32 = \log_{b} {(2)}^{5} = 5 \log_{b} 2 = 5 (0.43) \approx 2.15

\log_{b} \frac{1}{49} = \log_{b} 1 - \log_{b} 49 = 0 - \log_{b} 7^{2} = - 2 \log_{b} 7 = - 2 (1.21) \approx - 2.42

أتحقق من فهمي صفحة 38:

أكتب كل مقدار لوغاريتمي مما يأتي بالصورة المطولة ، علمًا بأن المتغيرات جميعها تمثل أعدادًا حقيقية موجبة:

$a) \log_{2} a^{2} b^{9} b) \log_{5} \frac{{(x + 1)}^{3}}{8} c) \log_{3} \frac{x^{7} y^{3}}{z^{5}} d) \log_{b} \sqrt[3]{\frac{x^{7} b^{2}}{y^{5^{}}}}$

$a) \log_{2} a^{2} b^{9} \log_{2} a^{2} b^{9} = l o g_{2} a^{2} + l o g_{2} b^{9} = 2 l o g_{2} a + 9 l o g_{2} b$ $b) \log_{5} \frac{{(x + 1)}^{3}}{8} \log_{5} \frac{{(x + 1)}^{3}}{8} = l o g_{5} {(x + 1)}^{3} - l o g_{5} 8 = 3 l o g_{5} (x + 1) - l o g_{5} 8$

$c) \log_{3} \frac{x^{7} y^{3}}{z^{5}} \log_{3} \frac{x^{7} y^{3}}{z^{5}} = l o g_{3} x^{7} y^{3} - l o g_{3} z^{5} = l o g_{3} x^{7} + l o g_{3} y^{3} - l o g_{3} z^{5} = 7 l o g_{3} x + 3 l o g_{3} y - 5 l o g_{3} z$ $d) \log_{b} \sqrt[3]{\frac{x^{7} b^{2}}{y^{5}}} \log_{b} \sqrt[3]{\frac{x^{7} b^{2}}{y^{5}}} = l o g_{b} {(\frac{x^{7} b^{2}}{y^{5}})}^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3} l o g_{b} (\frac{x^{7} b^{2}}{y^{5}}) = \frac{1}{3} (\log_{b} x^{7} b^{2} - \log_{b} y^{5}) = \frac{1}{3} (\log_{b} x^{7} + \log_{b} b^{2} - \log_{b} y^{5}) = \frac{1}{3} (7 \log_{b} x + 2 \log_{b} b - 5 \log_{b} y) = \frac{1}{3} (7 \log_{b} x + 2 - 5 \log_{b} y) = \frac{7}{3} \log_{b} x + \frac{2}{3} - \frac{5}{3} \log_{b} y$

أتحقق من فهمي صفحة 39:

أكتب كل مقدار لوغاريتمي مما يأتي بالصورة المختصرة ، علمًا بأن المتغيرات جميعها تمثل أعدادًا حقيقية موجبة:

$a) \log_{5} a + 3 \log_{5} b b) 5 \log_{b} x + \frac{1}{2} \log_{b} y - 9 \log_{b} z$

الحل:

$a) l o g_{5} a + 3 l o g_{5} b l o g_{5} a + 3 l o g_{5} b = l o g_{5} a + l o g_{5} b^{3} = l o g_{5} a b^{3}$ $b) 5 l o g_{b} x + \frac{1}{2} l o g_{b} y - 9 l o g_{b} z 5 l o g_{b} x + \frac{1}{2} l o g_{b} y - 9 l o g_{b} z = l o g_{b} x^{5} + l o g_{b} y^{\frac{1}{2}} - l o g_{b} z^{9} = l o g_{b} x^{5} y^{\frac{1}{2}} - l o g_{b} z^{9} = l o g_{b} \frac{x^{5} y^{\frac{1}{2}}}{z^{9}} = l o g_{b} \frac{x^{5} \sqrt{y}}{z^{9}}$

أتحقق من فهمي صفحة 40:

يمثل الاقتران: $M (t) = 92 - 28 \log_{10} (t + 1)$ النسبة المئوية للموضوعات التي يتذكرها طالب من مادة معينة بعد $t$ شهرًا من إنهائه دراستها.

أجد النسبة المئوية للموضوعات التي يتذكرها هذا الطالب بعد $29$ شهرًا من إنهائه دراسة المادة، علمًا بأن $\log_{10} 3 \approx 0.4771$ ، مقربًا إجابتي إلى أقرب عدد صحيح.

الحل:

$M (t) = 92 - 28 \log_{10} (t + 1)$	المعادلة المعطاة
$M (29) = 92 - 28 \log_{10} (29 + 1)$	بتعويض 29=t
$= 92 - 28 \log_{10} (30)$	بالتبسيط
$= 92 - 28 \log_{10} (10 \times 3)$	30 = 3 × 10
$= 92 - 28 (\log_{10} 10 + \log_{10} 3)$	قانون الضرب في اللوغاريتمات
$\approx 92 - 28 (1 + 0.4771)$	بتعويض $l o g_{10} 10 = 1, l o g_{10} 3 \approx 0.4771$
$\approx 92 - 28 (1.4771)$	بالتبسيط
$\approx 92 - 41.3588 \approx 50.6412$	بالتبسيط
$∴$ النسبة المئوية للموضوعات التي يتذكرها الطالب بعد 29 شهرًا من إنهائه دراستها هي % 51

أتدرب وأحل المسائل صفحة 40:

إذا كان $l o g_{a} 6 \approx 0.778$ ، وكان $l o g_{a} 5 \approx 0.699$ ، فأجد كلًا مما يأتي:

$1) \log_{a} \frac{5}{6} l o g_{a} \frac{5}{6} = l o g_{a} 5 - l o g_{a} 6 \approx 0.699 - 0.778 \approx - 0.079$ $2) \log_{a} 30 l o g_{a} 30 = l o g_{a} (5 \times 6) = l o g_{a} 5 + l o g_{a} 6 \approx 0.699 + 0.778 \approx 1.477$ $3) \frac{l o g_{a} 5}{l o g_{a} 6} \frac{l o g_{a} 5}{l o g_{a} 6} \approx \frac{0.699}{0.778} \approx 0.899$

$4) \log_{a} \frac{1}{6} l o g_{a} \frac{1}{6} = l o g_{a} 1 - l o g_{a} 6 \approx 0 - 0.778 \approx - 0.778$ $5) \log_{a} 900 l o g_{a} 900 = l o g_{a} {(30)}^{2} = 2 l o g_{a} 30 \approx 2 (1.477) \approx 2.954$ $6) \log_{a} \frac{18}{15} l o g_{a} \frac{18}{15} = l o g_{a} \frac{6}{5} l o g_{a} \frac{6}{5} = l o g_{a} 6 - l o g_{a} 5 \approx 0.778 - 0.699 \approx 0.079$

$7) \log_{a} (6 a^{2}) l o g_{a} (6 a^{2}) = l o g_{a} 6 + l o g_{a} a^{2} \approx 0.778 + 2 l o g_{a} a \approx 0.778 + 2 (1) \approx 0.778 + 2 \approx 2.778$ $8) \log_{a} \sqrt[4]{25} l o g_{a} \sqrt[4]{25} = l o g_{a} \sqrt[4]{{(5)}^{2}} = l o g_{a} 5^{\frac{2}{4}} = l o g_{a} 5^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} l o g_{a} 5 \approx \frac{1}{2} (0.699) \approx 0.350$ $9) (\log_{a} 5) (\log_{a} 6) (l o g_{a} 5) (l o g_{a} 6) \approx (0.699) (0.778) \approx 0.544$

أكتب كل مقدار لوغاريتمي مما يأتي بالصورة المطولة ، علمًا بأن المتغيرات جميعها تمثل أعدادًا حقيقية موجبة:

$10) \log_{a} x^{2} \log_{a} x^{2} = l o g_{a} x^{2} = 2 l o g_{a} x$ $11) \log_{a} (\frac{a}{b c}) \log_{a} (\frac{a}{b c}) = l o g_{a} a - l o g_{a} b c = l o g_{a} a - (l o g_{a} b + l o g_{a} c) = 1 - l o g_{a} b - l o g_{a} c$ $12) \log_{a} (\sqrt{x} \sqrt{y}) \log_{a} (\sqrt{x} \sqrt{y}) = l o g_{a} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}) = l o g_{a} x^{\frac{1}{2}} + l o g_{a} y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} l o g_{a} x + \frac{1}{2} l o g_{a} y$

$13) \log_{a} (\frac{\sqrt{z}}{y}) \log_{a} (\frac{\sqrt{z}}{y}) = l o g_{a} \sqrt{z} - l o g_{a} y = l o g_{a} z^{\frac{1}{2}} - l o g_{a} y = \frac{1}{2} l o g_{a} z - l o g_{a} y$ $14) \log_{a} \frac{1}{x^{2} y^{2}} \log_{a} \frac{1}{x^{2} y^{2}} = l o g_{a} 1 - l o g_{a} x^{2} y^{2} = 0 - (\log_{a} x^{2} + \log_{a} y^{2}) = - (2 \log_{a} x + 2 \log_{a} y) = - 2 \log_{a} x - 2 \log_{a} y$ $15) \log_{a} (\sqrt[5]{32 x^{5}}) \log_{a} (\sqrt[5]{32 x^{5}}) = l o g_{a} {(32 x^{5})}^{\frac{1}{5}} = \frac{1}{5} l o g_{a} (32 x^{5}) = \frac{1}{5} (\log_{a} 32 + \log_{a} x^{5}) = \frac{1}{5} \log_{a} 2^{5} + \frac{1}{5} \log_{a} x^{5} = \frac{5}{5} \log_{a} 2 + \frac{5}{5} \log_{a} x = \log_{a} 2 + \log_{a} x$

$16) \log_{a} \frac{{(x^{2} y^{3})}^{2}}{{(x^{2} y^{3})}^{3}} \log_{a} \frac{{(x^{2} y^{3})}^{2}}{{(x^{2} y^{3})}^{3}} = l o g_{a} {(x^{2} y^{3})}^{2 - 3} = l o g_{a} {(x^{2} y^{3})}^{- 1} = - 1 l o g_{a} (x^{2} y^{3}) = - (\log_{a} x^{2} + \log_{a} y^{3}) = - (2 \log_{a} x + 3 \log_{a} y) = - 2 \log_{a} x - 3 \log_{a} y$ $17) \log_{a} {(x + y - z)}^{7}, x + y > z \log_{a} {(x + y - z)}^{7} = 7 l o g_{a} (x + y - z)$ $18) \log_{a} \sqrt[]{\frac{x^{12} y}{y^{3} z^{4}}} \log_{a} \sqrt[]{\frac{x^{12} y}{y^{3} z^{4}}} = l o g_{a} \sqrt{\frac{x^{12}}{y^{2} z^{4}}} = l o g_{a} {(\frac{x^{12}}{y^{2} z^{4}})}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} (l o g_{a} x^{12} - l o g_{a} y^{2} z^{4}) = \frac{1}{2} (l o g_{a} x^{12} - (\log_{a} y^{2} + \log_{a} z^{4})) = \frac{1}{2} (12 l o g_{a} x - (2 \log_{a} y + 4 \log_{a} z)) = \frac{1}{2} (12 l o g_{a} x - 2 \log_{a} y - 4 \log_{a} z) = \frac{12}{2} l o g_{a} x - \frac{2}{2} l o g_{a} y - \frac{4}{2} l o g_{a} z = 6 l o g_{a} x - l o g_{a} y - 2 l o g_{a} z$

أكتب كل مقدار لوغاريتمي مما يأتي بالصورة المختصرة ، علمًا بأن المتغيرات جميعها تمثل أعدادًا حقيقية موجبة:

$19) l o g_{a} x + l o g_{a} y l o g_{a} x + l o g_{a} y = l o g_{a} x y$ $20) l o g_{b} (x + y) - l o g_{b} (x - y), x > y l o g_{b} (x + y) - l o g_{b} (x - y) = l o g_{b} \frac{(x + y)}{(x - y)}$

$21) l o g_{a} \frac{1}{\sqrt{x}} - l o g_{a} \sqrt{x} l o g_{a} \frac{1}{\sqrt{x}} - l o g_{a} \sqrt{x} = l o g_{a} \frac{{(x)}^{- \frac{1}{2}}}{{(x)}^{\frac{1}{2}}} = = l o g_{a} {(x)}^{- \frac{1}{2} - \frac{1}{2}} = l o g_{a} {(x)}^{- 1} = l o g_{a} (\frac{1}{x})$ $22) l o g_{a} (x^{2} - 4) - l o g_{a} (x + 2), x > 2 l o g_{a} (x^{2} - 4) - l o g_{a} (x + 2) = l o g_{a} \frac{(x^{2} - 4)}{(x + 2)} = l o g_{a} \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2)} = l o g_{a} (x - 2)$

$23) 2 l o g_{b} x - 3 l o g_{b} y + \frac{1}{3} l o g_{b} z 2 l o g_{b} x - 3 l o g_{b} y + \frac{1}{3} l o g_{b} z = l o g_{b} x^{2} - l o g_{b} y^{3} + l o g_{b} z^{\frac{1}{3}}$ $24) l o g_{b} 1 + 2 \log_{b} b \log_{b} 1 + 2 \log_{b} b = 0 + 2 (1) = 2$

$= \log_{b} x^{2} + \log_{b} z^{\frac{1}{3}} - \log_{b} y^{3} = \log_{b} \frac{x^{2} z^{\frac{1}{3}}}{y^{3}} = \log_{b} \frac{x^{2} \sqrt[3]{z}}{y^{3}}$

25) نمو: يمثل الاقتران: $f (x) = 29 + 48.8 \log_{6} (x + 2)$ النسبة المئوية لطول الطفل الذكر الآن من طوله عند البلوغ، حيث $x$ عمره بالسنوات.

أجد النسبة المئوية لطول طفل عمره $10$ سنوات من طوله عند البلوغ، علمًا بأن $\log_{6} 2 \approx 0.3869$

الحل:

$f (x) = 29 + 48.8 \log_{6} (x + 2)$	المعادلة المعطاة
$f (10) = 29 + 48.8 \log_{6} (10 + 2)$	بتعويض 10=x
$= 29 + 48.8 \log_{6} (12)$	بالتبسيط
$= 29 + 48.8 \log_{6} (6 \times 2)$	12 = 2 × 6
$= 29 + 48.8 (\log_{6} (6) + \log_{6} (2))$	قانون الضرب في اللوغاريتمات
$\approx 29 + 48.8 (1 + 0.3869)$	بتعويض( $l o g_{6} 6 = 1, l o g_{6} 2 \approx 0.3869$ )
$\approx 29 + 48.8 (1.3869)$	بالتبسيط
$\approx 29 + 67.68072 \approx 96.68072$	بالتبسيط
إذن النسبة المئوية لطول طفل عمره 10 سنوات من طوله عند البلوغ هي تقريبًا % 97

مهارات التفكير العليا:

26) تحدٍّ: أثبت أنّ $\frac{\log_{a} 216}{\log_{a} 36} = \frac{3}{2}$

ابدأ بالطرف الأيسر :

$\frac{\log_{a} 216}{\log_{a} 36} = \frac{l o g_{a} 6^{3}}{l o g_{a} 6^{2}} = \frac{3 l o g_{a} 6}{2 l o g_{a} 6} = \frac{3}{2} \frac{l o g_{a} 6}{l o g_{a} 6} = \frac{3}{2} . 1 = \frac{3}{2}$

27) أكتشف الخطأ: أكتشف الخطأ في الحل الآتي ، ثم أصححه:

الخطأ: توزيع اللوغاريتم على عملية الضرب ليكون الناتج ضربًا فـــ $\log_{2} 5 x \neq (\log_{2} 5) (\log_{2} x)$

التصحيح: $\log_{2} 5 x = \log_{2} 5 + \log_{2} x$

28) تبرير: أثبت أن $\log_{b} (b - 3) + \log_{b} (b^{2} + 3 b) - \log_{b} (b^{2} - 9) = 1$ ، حيث: $b > 3$ ، مبررًا إجابتي.

$\log_{b} (b - 3) + \log_{b} (b^{2} + 3 b) - \log_{b} (b^{2} - 9)$	ابدأ بالطرف الأيسر :
$= l o g_{b} {(b - 3) (b^{2} + 3 b)}_{} - l o g_{b} (b^{2} - 9)$	قانون الضرب في اللوغاريتمات
$= l o g_{b} {\frac{(b - 3) (b^{2} + 3 b)}{(b^{2} - 9)}}_{}$	قانون القسمة في اللوغاريتمات
$= l o g_{b} {\frac{(b - 3) b (b + 3)}{(b^{2} - 9)}}_{}$	بإخراج b عامل مشترك من (b² +3b)
$= l o g_{b} {\frac{(b - 3) b (b + 3)}{(b - 3) (b + 3)}}_{}$	بتحليل $(b^{2} - 9)$ باستخدام الفرق بين مربعين
$= l o g_{b} {\frac{b (b - 3) (b + 3)}{(b - 3) (b + 3)}}_{} = l o g_{b} b$	حاصل قسمة المقادير المتشابهة =1
$\to l o g_{b} b = 1$	وهو المطلوب

كتاب التمارين صفحة 11:

إذا كان $\log_{a} 7 \approx 0.936$ ، وكان $\log_{a} 3 \approx 0.528$ ، فأجد كلًا مما يأتي:

$1) \log_{a} \frac{3}{7} l o g_{a} \frac{3}{7} = l o g_{a} 3 - l o g_{a} 7 \approx 0.528 - 0.936 \approx - 0.408$ $2) \log_{a} 21 l o g_{a} 21 = l o g_{a} (3 \times 7) = \log_{a} 3 + \log_{a} 7 \approx 0.528 + 0.936 \approx 1.464$ $3) \frac{l o g_{a} 3}{l o g_{a} 7} \frac{l o g_{a} 3}{l o g_{a} 7} \approx \frac{0.528}{0.936} \approx 0.564$

$4) \log_{a} \frac{1}{7} l o g_{a} \frac{1}{7} = l o g_{a} 1 - l o g_{a} 7 \approx 0 - 0.936 \approx - 0.936$ $5) \log_{a} 441 l o g_{a} 441 = l o g_{a} {(21)}^{2} = 2 l o g_{a} 21 \approx 2 (1.464) \approx 2.928$ $6) \log_{a} \frac{49}{27} l o g_{a} \frac{49}{27} = l o g_{a} 49 - l o g_{a} 27 = l o g_{a} 7^{2} - l o g_{a} 3^{3} = 2 l o g_{a} 7 - 3 l o g_{a} 3 \approx 2 (0.936) - 3 (0.528) \approx 1.872 - 1.584 \approx 0.288$

$7) \log_{a} (7 a^{2}) l o g_{a} (7 a^{2}) = l o g_{a} 7 + l o g_{a} a^{2} \approx 0.936 + 2 l o g_{a} a \approx 0.936 + 2 (1) \approx 0.936 + 2 \approx 2.936$ $8) \log_{a} \sqrt[4]{81} l o g_{a} \sqrt[4]{81} = l o g_{a} \sqrt[4]{{(3)}^{4}} = l o g_{a} 3^{\frac{4}{4}} = l o g_{a} 3^{1} \approx 0.528$ $9) (\log_{a} 3) (\log_{a} 7) (l o g_{a} 3) (l o g_{a} 7) \approx (0.528) (0.936) \approx 0.494$

أكتب كل مقدار لوغاريتمي مما يأتي بالصورة المطولة ، علمًا بأن المتغيرات جميعها تمثل أعدادًا حقيقية موجبة:

$10) \log_{a} x^{7} \log_{a} x^{7} = l o g_{a} x^{7} = 7 l o g_{a} x$ $11) \log_{a} (\frac{a c}{b}) \log_{a} (\frac{a c}{b}) = l o g_{a} a c - l o g_{a} b = l o g_{a} a + l o g_{a} c - l o g_{a} b = 1 + l o g_{a} c - l o g_{a} b$ $12) \log_{a} (\sqrt{x}) \log_{a} (\sqrt{x}) = l o g_{a} (x^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} l o g_{a} x$

$13) \log_{a} (\frac{\sqrt{x y}}{z}) \log_{a} (\frac{\sqrt{x y}}{z}) = l o g_{a} \sqrt{x y} - l o g_{a} z = l o g_{a} {(x y)}^{\frac{1}{2}} - l o g_{a} y = \frac{1}{2} (\log_{a} x + \log_{a} y) - l o g_{a} z = \frac{1}{2} \log_{a} x + \frac{1}{2} \log_{a} y - l o g_{a} z$ $14) \log_{a} \frac{1}{x^{3} y^{4}} \log_{a} \frac{1}{x^{3} y^{4}} = l o g_{a} 1 - l o g_{a} x^{3} y^{4} = 0 - (\log_{a} x^{3} + \log_{a} y^{4}) = - (3 \log_{a} x + 4 \log_{a} y) = - 3 \log_{a} x - 4 \log_{a} y$ $15) \log_{a} (\sqrt[7]{128 x^{7}}) \log_{a} (\sqrt[7]{128 x^{7}}) = l o g_{a} {(2^{7} x^{7})}^{\frac{1}{7}} = l o g_{a} {({(2 x)}^{7})}^{\frac{1}{7}} = l o g_{a} {(2 x)}^{\frac{7}{7}} = l o g_{a} (2 x) = \log_{a} 2 + \log_{a} x$

$16) \log_{a} \frac{{(x^{- 1} y^{2})}^{4}}{{(x^{5} y^{- 2})}^{3}} \log_{a} \frac{{(x^{- 1} y^{2})}^{4}}{{(x^{5} y^{- 2})}^{3}} = l o g_{a} (\frac{x^{- 4} y^{8}}{x^{15} y^{- 6}}) = l o g_{a} (\frac{y^{14}}{x^{19}}) = l o g_{a} y^{14} x^{- 19} = \log_{a} x^{- 19} + \log_{a} y^{14} = - 19 \log_{a} x + 14 \log_{a} y$ $17) \log_{a} \sqrt{\frac{x^{2} y^{3}}{z^{3}}} \log_{a} \sqrt{\frac{x^{2} y^{3}}{z^{3}}} = l o g_{a} {(\frac{x^{2} y^{3}}{z^{3}})}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} l o g_{a} (\frac{x^{2} y^{3}}{z^{3}}) = \frac{1}{2} (l o g_{a} x^{2} + \log_{a} y^{3} - l o g_{a} z^{3}) = \frac{1}{2} (2 l o g_{a} x + 3 \log_{a} y - 3 \log_{a} z) = \frac{2}{2} l o g_{a} x + \frac{3}{2} l o g_{a} y - \frac{3}{2} l o g_{a} z = l o g_{a} x + \frac{3}{2} l o g_{a} y - \frac{3}{2} l o g_{a} z$

$18) \log_{a} {(x - y + z)}^{9}, y - x < z \log_{a} {(x - y + z)}^{9} = 9 l o g_{a} (x - y + z)$

أكتب كل مقدار لوغاريتمي مما يأتي بالصورة المختصرة ، علمًا بأن المتغيرات جميعها تمثل أعدادًا حقيقية موجبة:

$19) l o g_{a} x - l o g_{a} y l o g_{a} x - l o g_{a} y = l o g_{a} \frac{x}{y}$ $20) l o g_{b} (b - 1) + 2 l o g_{b} b, b > 1 l o g_{b} (b - 1) + 2 l o g_{b} b = l o g_{b} (b - 1) + l o g_{b} b^{2} = l o g_{b} (b - 1) b^{2}$

$21) l o g_{a} \sqrt{x} - l o g_{a} \frac{1}{\sqrt{x}} l o g_{a} \sqrt{x} - l o g_{a} \frac{1}{\sqrt{x}} = l o g_{a} \frac{\sqrt{x}}{\frac{1}{\sqrt{x}}} = l o g_{a} \sqrt{x} \sqrt{x} = l o g_{a} x$ $22) l o g_{a} (x^{2} - 25) - l o g_{a} (x + 5), x > 5 l o g_{a} (x^{2} - 25) - l o g_{a} (x + 5) = l o g_{a} \frac{(x^{2} - 25)}{x + 5} = l o g_{a} \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 5} = l o g_{a} (x - 5)$

$23) 3 l o g_{b} 1 - l o g_{b} b 3 l o g_{b} 1 - l o g_{b} b = 3 (0) - 1 = 0 - 1 = - 1$ $24) 8 l o g_{b} x + 4 l o g_{b} y - \frac{1}{2} l o g_{b} z 8 l o g_{b} x + 4 l o g_{b} y - \frac{1}{2} l o g_{b} z = l o g_{b} x^{8} + l o g_{b} y^{4} - l o g_{b} z^{\frac{1}{2}}$

$= \log_{b} \frac{x^{8} y^{4}}{z^{\frac{1}{2}}} = \log_{b} \frac{x^{8} y^{4}}{\sqrt{z}}$

25) إيرادات: يمثل الاقتران: $T (a) = 10 + 20 \log_{6} (a + 1)$ مبيعات شركة (بآلاف الدنانير) من منتج جديد،

حيث $a$ المبلغ (بآلاف الدنانير) الذي تنفقه الشركة على إعلانات المنتج، و $a \geq 0$ .

وتعني القيمة $T (1) \approx 17.7$ أن إنفاق $J D 1000$ على الإعلانات يحقق إيرادات قيمتها $J D 17700$ من بيع المنتج.

أجد قيمة إيرادات الشركة بعد إنفاقها مبلغ 11 ألف دينار على الإعلانات، علمًا بأن $\log_{6} 2 \approx 0.3869$

الحل:

$T (a) = 10 + 20 \log_{6} (a + 1)$	المعادلة المعطاة
$T (11) = 10 + 20 \log_{6} (11 + 1)$	بتعويض 11=a
$= 10 + 20 \log_{6} (12)$	بالتبسيط
$= 10 + 20 (\log_{6} 6 \times 2)$	12 = 2 × 6
$= 10 + 20 (\log_{6} 6 + \log_{6} 2)$	قانون الضرب في اللوغاريتمات
$\approx 10 + 20 (1 + 0.3869)$	بتعويض $l o g_{6} 6 = 1, l o g_{6} 2 \approx 0.3869$
$\approx 10 + 20 (1.3869) \approx 10 + 27.738$	بالتبسيط
$\approx 37.738$	بالتبسيط
إذن، إن إنفاق مبلغ 11 ألف دينار على الإعلانات حقق إيرادات قيمتها تقريبًا $J D 37738$ من بيع المنتج.

الرياضيات فصل أول

التوجيهي أدبي

التطبيق لنظام

MAC

التطبيق لنظام

WINDOWS