قانون جيوب التمام

تعرفت في الدرس السابق قانون الجيوب،وكيف يستعمل لحل مثلثات علم فيها ضلع واحد وزاويتان $\left(SAA\mathrm{او،}ASA\right)$،أو ضلعان وزاوية مقابلة  لأحدهما $\left(SSA\right)$

تستعمل أيضا نسبة جيب التمام لإيجاد علاقات أخرى بين أطوال الأضلاع وقياسات الزوايا؛ما يساعد على حل بعض المثلثات التي لا يمكن حلها باستعمال قانون الجيوب

ففي الشكل المجاور، يمثل $h$ الارتفاع المرسوم من $B$ عموديا على $AC$.وباستعمال نظرية فيثاغورس وتعريف جيب التمام، يمكن استنتاج بعض العلاقات على النحو الآتي:

$$\begin{gathered} h^2=c^2-x^2 \\ h^2=a^2-{\left(b-x\right)}^2 \\ c^2-x^2=a^2-{\left(b-x\right)}^2 \\ c^2-x^2=a^2-b^2+2xb-x^2 \\ a^2=b^2+c^2-2xb \end{gathered}$$

لإدخال جيب التمام في المعادلة: $a^2=b^2+c^2-2xb$،فإننا نكتب $x$ بدلالة $\cos A$:

$$\begin{gathered} \cos A=\frac{x}{c} \\ x=c\times \cos A \\ {a}^2=b^2+c^2-2bc \cos A \end{gathered}$$

وبذلك،نتوصل إلى العلاقة الآتية بين أطوال أضلاع المثلث وقياسات زواياه باستعمال جيب التمام:

$a^2=b^2+c^2-2bc \cos A$

وبطريقة مشابهة، يمكن التوصل إلى العلاقتين الآتيتين:

$$\begin{gathered} b^2=a^2+c^2-2ac \cos B \\ {c}^2=a^2+b^2-2ab \cos C \end{gathered}$$

تسمى هذه العلاقات الثلاث قانون جيوب التمام، ويستعمل هذا القانون لحل أي مثلث علمت ثلاثة من قياساته في الحالتين الآتيتين:

1.  ضلعان وزاوية محصورة بينهما $\left(SAS\right)$
2. ثلاثة أضلاع $\left(SSS\right)$

---

مثال

أجد قيمة $x$ في المثلث المجاور

$$\begin{gathered} x^2=6^2+{10}^2-2\times 6\times 10 \cos 80° \\ {x}^2=115.16 \\ x=\pm \sqrt{115.16}=\pm 10.7cm \end{gathered}$$

إذن،$x=10.7$؛لأن قيمة x لا يمكن أن تكون سالبة

يستعمل قانون جيوب التمام أيضا لإيجاد قياس زاوية مجهولة في المثلث

مثال

أجد قيمة $x$ في المثلث $RST$ المجاور

$$\begin{gathered} 8^2=5^2+7^2-2\times 5\times 7 \cos x \\ \cos x=\frac{5^2+7^2-8^2}{2\times 5\times 7} \\ \cos x=0.1428 \\ x=81.8° \end{gathered}$$

قد نحتاج في بعض المسائل إلى استعمال قانوني الجيوب وجيوب التمام معا لإيجاد القياسات المطلوبة

---

مثال:من الحياة

شوهدت طائرة مروحية تحلق في السماء من القريتين $YوX$ في اللحظة نفسها.كان بعد الطائرة عن القرية $X$ هو $8.5km$،وعن القرية $Y$هو $12km$،وكانت القريتان في مستوى أفقي واحد، وزاوية ارتفاع الطائرة من القرية $Y$ هي $43°$،فما المسافة بين هاتين القريتين؟

لإيجاد المسافة بين القريتين،يجب معرفة قياس الزاوية بين الضلعين اللذين يمثلان بعدي الطائرة عن القريتين كما يأتي:

الخطوة 1: استعمال قانون الجيوب لإيجاد قياس الزاوية $X$ في المثلث $HYX$

$$\begin{gathered} \frac{\sin 43°}{8.5}=\frac{\sin X}{12} \\ \sin X=\frac{12 \sin 43°}{8.5} \\ \sin X\approx 0.963 \\ X={\sin }^{-1}0.963 \\ \approx 74.3° \end{gathered}$$

الخطوة 2: إيجاد قياس الزاوية H

$m\angle H=180°-43°-74.3=62.7°$

الخطوة 3: استعمال قانون جيوب التمام لإيجاد المسافة بين القريتين

$$\begin{gathered} {\left(XY\right)}^2={12}^2+8.5^2-2\left(12\right)\left(8.5\right) \cos 62.7° \\ {\left(XY\right)}^2=122.7 \\ XY=\pm \sqrt{122.7}=\pm 11.1 \end{gathered}$$

إذا،المسافة بين المدينتين $11.1km$تقريبا

---

مثال:من الحياة

أقلعت طائرة بزاوية $100°$ عن الشمال من المدينة $A$، فقطعت مسافة $400km$،ثم انعطفت يمينا،فأصبحت الزاوية بين خط مسارها الجديد والشمال $170°$،ثم قطعت مسافة $500km$ لتصل إلى المدينة B.ما المسافة بين هاتين المدينتين؟

يمكن حساب المسافة بين المدينتين $\left(\mathrm{طول} \mathrm{القطعة} \mathrm{المستقيمة} BA\right)$ بإيجاد قياس الزاوية $AMB$من الملاحظ أن الزاوية $AM{N}_2$ مكملة للزاوية $MA{N}_1$،وهي تساوي $80°$

$$\begin{gathered} \mathit{m}\mathbf{\angle }\mathit{A}\mathit{M}\mathit{B}\mathbf{=}\mathbf{360}\mathbf{°}\mathbf{-}\left(80°+170°\right)\mathbf{=}\mathbf{110}\mathbf{°} \\ {\left(AB\right)}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}{\left(400\right)}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\left(500\right)}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{\times }\mathbf{400}\mathbf{\times }\mathbf{500}\mathbf{ }\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{ }\mathbf{110}\mathbf{°} \\ {\left(AB\right)}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{546808}\mathbf{.}\mathbf{0573} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{A}\mathit{B}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{546808}\mathbf{.}\mathbf{0573}}\mathbf{\approx }\mathbf{739}\mathbf{.}\mathbf{5} \end{gathered}$$

إذا،المسافة بين المدينتين $739.5km$ تقريبا

---