رياضيات فصل أول

حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين

حلول أسئلة أتحقق من فهمي

أتحقق من فهمي صفحة 53

أجدُ ناتج كُلّ ممّا يأتي في أبسط صورة:

$\mathbf{2}\mathbf{)} \frac{7}{9}\times 3\frac{1}{7}$	$\mathbf{3}\mathbf{)} 4\frac{1}{5}\times \frac{5}{8}$
$\frac{7}{9}\times 3\frac{1}{7}=\frac{7}{9}\times (3+\frac{1}{7})=(\frac{7}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{9}}}}\times \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{3}}}}{1})+(\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{7}}}}{9}\times \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}})$	$4\frac{1}{5}\times \frac{5}{8}=(4+\frac{1}{5})\times \frac{5}{8}=(\frac{5}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{8}}}}\times \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{4}}}}{1})+(\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5}}}}{8}\times \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}})$
$=\frac{7\times 3}{3\times 3}+\frac{1}{9}=\frac{21}{9}+\frac{1}{9}=\frac{22}{9}=2\frac{4}{9}$	$=\frac{5\times 4}{2\times 4}+\frac{1}{8}=\frac{20}{8}+\frac{1}{8}=\frac{21}{8}=2\frac{5}{8}$

أستخدم هنا خاصية التوزيع اعتمادا على مثال (1).

---

أتحقق من فهمي صفحة 54

أجدُ ناتج كُلّ ممّا يأتي في أبسط صورة:

$\mathbf{2}\mathbf{)} 1\frac{2}{9}\times 4\frac{1}{2}$	$\mathbf{3}\mathbf{)} 10\frac{1}{2}\times 1\frac{1}{7}$
$1\frac{2}{9}\times 4\frac{1}{2}=\frac{11}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{9}}}}\times \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{9}}}}{2}=\frac{11}{2}=5\frac{1}{2}$	$10\frac{1}{2}\times 1\frac{1}{7}=\frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{21}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}}}\times \frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{8}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}}=\frac{12}{1}=12$

أستخدم هنا طريقة تحويل العدد الكسري لكسر غير فعلي اعتمادا على مثال (2).

---

أتحقق من فهمي صفحة 55

زِراعَةٌ: اشْتَرى إِبْراهيمُ عُلْبَةَ سَمادٍ لِنَباتاتِ الزّينَةِ، كُتِبَ في إِرْشاداتِ اسْتِعْمالِها $\frac{1}{20}\mathrm{L}$ من السَّمادِ لِكُلِّ لِتْرِ ماءٍ. كَمْ لِتْرًا مِنَ السَّمادِ سَيَضَعُ إِبْراهيمُ في $3\frac{1}{2}\mathrm{L}$ مِنَ الْماءِ؟

الجواب

لمعرفة كم لترا من السماد سيضع ابراهيم $3\frac{1}{2}\mathrm{L}$ من الماء، أضرب $3\frac{1}{2}\mathrm{L}$ في الكمية المسموح استخدامها لكل لتر ماء وهي $\frac{1}{20}\mathrm{L}$.

$3\frac{1}{2}\times \frac{1}{20}=\frac{7}{2}\times \frac{1}{20}=\frac{7}{40}\mathrm{L}$

 

---

حلول أسئلة أتدرب وأحل المسائل

أجدُ ناتج كُلّ ممّا يأتي في أبسط صورة:

$\mathbf{1}\mathbf{)} 1\frac{3}{4}\times 5\frac{1}{7}=\frac{7}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{4}}}}\times \frac{{\displaystyle \stackrel{9}{\cancel{36}}}}{7}=9$	$\mathbf{2}\mathbf{)} \frac{5}{12}\times 2\frac{5}{8}=\frac{5}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{12}}}}\times \frac{{\displaystyle \stackrel{7}{\cancel{21}}}}{8}=\frac{35}{32}=1\frac{3}{32}$
$\mathbf{3}\mathbf{)} 7\frac{1}{5}\times \frac{5}{8}=\frac{{\displaystyle \stackrel{9}{\cancel{36}}}}{5}\times \frac{5}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{8}}}}=\frac{9}{2}=4\frac{1}{2}$	$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }3\frac{1}{2}\times 1\frac{1}{7}=\frac{7}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}}}\times \frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{8}}}}{7}=4$
$\mathbf{5}\mathbf{)} 10\times 8\frac{3}{8}=\frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{10}}}}{1}\times \frac{67}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{8}}}}=\frac{335}{4}=83\frac{3}{4}$	$\mathbf{6}\mathbf{)}\mathbf{ }2\frac{5}{11}\times 33=\frac{27}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{11}}}}\times \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{33}}}}{1}=\frac{81}{1}=81$
$\mathbf{7}\mathbf{)} \stackrel{5}{\cancel{40}}\times \frac{11}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{32}}}}=\frac{55}{4}=13\frac{3}{4}$	$\mathbf{8}\mathbf{)} \frac{1}{{\displaystyle \underset{\underset{3}{\cancel{9}}}{\cancel{81}}}}\times \stackrel{\stackrel{2}{\cancel{6}}}{\cancel{54}}=\frac{2}{3}$

---

أَجِدُ مِساحَةَ كُلٍّ مِنَ الْمُسْتَطيلَيْنِ الآتِيَيْنِ:

$\mathrm{A}=l\times w , l=3\frac{4}{5}km , w=1\frac{7}{8}km$	$\mathrm{A}=l\times w , l=2\frac{1}{3}m , w=\frac{6}{7}m$
$\mathrm{A}=3\frac{4}{5}\times 1\frac{7}{8}=\frac{19}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}}\times \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{15}}}}{8}=\frac{57}{8}=7\frac{1}{8}K{m}^2$	$\mathrm{A}=2\frac{1}{3}\times \frac{6}{7}=\frac{7}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}}\times \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{6}}}}{7}=2 m^2$

---

11) وَقودٌ: ما ثَمَنُ $5\frac{3}{11}\mathrm{L}$ مِنَ الْوَقودِ إِذا كانَ ثَمَنُ اللِّتْرِ الْواحِدِ $\frac{22}{55}$ مِنَ الدّينارِ؟

الجواب

لمعرفة الثمن نضرب $5\frac{3}{11}\mathrm{L}$ في ثمن اللتر الواحد وهو $\frac{22}{25}$ دينار.

إذن؛ الثمن هو: $5\frac{3}{11}\times \frac{22}{25}=\frac{58}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{11}}}}\times \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{22}}}}{25}=\frac{116}{25}=4\frac{16}{25}\mathrm{JD}$

---

12) أَجِنَّةٌ: يَتَضاعَفُ طولُ الْجَنينِ سَريعًا، فَيُصْبِحُ طولُهُ في الأسْبوعِ الثّاني عَشَرَ  $3\frac{3}{10}$ أَضْعافِ طولِهِ وَهُوَ في الأسْبوعِ الثّامِنِ. إِذا كانَ طولُ جَنينٍ في الأسْبوعِ الثّامِنِ $1\frac{3}{5}cm$ فَكَمْ طولُهُ في الأسْبوعِ الثّاني عَشَرَ؟ 

الجواب

لمعرفة طول الجنين في الأسبوع الثاني عشر نضرب الكسرين: $1\frac{3}{5}\times 3\frac{3}{10}$

إذن طوله في الأسبوع الثاني عشر هو: $1\frac{3}{5}\times 3\frac{3}{10}=\frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{8}}}}{5}\times \frac{33}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}}}=\frac{132}{25}=5\frac{7}{25}cm$

---

13) فَواكِهُ: إِذا كانَ $\frac{9}{10}$ مِنْ كُتْلَةِ الْبِطّيخَةِ ماءً، فَما كُتْلَةُ الْماءِ في الْبِطّيخَةِ الْمُجاوِرَةِ؟  الجواب $\stackrel{3}{\cancel{15}}\times \frac{9}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{10}}}}=\frac{27}{2}= \mathrm{الماء} \mathrm{من} 13\frac{1}{2}kg$

---

14) صِحَّةٌ: يَحْتَوي الْكيلوغِرامُ الْواحِدُ مِنْ سَمَكِ السَّلْمونِ عَلى $22\frac{3}{5}g$ مِنْ دهونِ أُوميغا 3، كَمْ غِرامًا مِنَ الأوميغا 3 في سَمَكَةٍ مِنْ هذا النَّوْعِ كُتْلَتُها $3\frac{4}{7}kg$ ؟

الجواب

كتلة السمكة بالغرامات:  $3\frac{4}{7}kg=(3\frac{4}{7}\times 1000)g=(\frac{25}{7}\times \frac{1000}{1})g=\left(\frac{25000}{7}\right)g=3571\frac{3}{7}g$

إذن؛ عدد غرامات الأوميغا (3) هو:  $3571\frac{3}{7}\times 22\frac{3}{5}=\frac{{\displaystyle \stackrel{5000}{\cancel{25000}}}}{7}\times \frac{113}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}}=\frac{565000}{7}=80714\frac{2}{7}g$

---

15) هَندَْسَةٌ: صَمَّمَ مُهَنْدِسٌ نَموذَجًا لِسَيّارَةٍ، طولُهُ $\frac{1}{12}$ طولِ السَّيّارَةِ الْحَقيقِيَّةِ.   إِذا كانَ طولُ السَّيّارَةِ الْحَقيقِيَّةِ كَما في الشَّكْلِ الْمُجاوِرِ، فَما طولُ النَّموذَجِ؟
الجواب لمعرفة طول النموذج نضرب: $3\frac{1}{2}\times \frac{1}{12}$
إذن؛ طول النموذج هو: $3\frac{1}{2}\times \frac{1}{12}=\frac{7}{2}\times \frac{1}{12}=\frac{7}{24}m$

---

جَبْرٌ: إِذا كانَتْ $a=\frac{2}{3}$ ، و $b=3\frac{1}{2}$ ، و $c=1\frac{3}{4}$ فَأَجِدُ ناتِجَ كُلٍّ مِمّا يَأْتي: 

$\mathbf{17}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{1}{2}c=\frac{1}{2}\times 1\frac{3}{4}=\frac{1}{2}\times \frac{7}{4}=\frac{7}{8}$	$\mathbf{16}\mathbf{)} ab=\frac{2}{3}\times 3\frac{1}{2}=\frac{2}{3}\times \frac{7}{2}=\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}$
$\mathbf{19}\mathbf{)} \frac{1}{8}a=\frac{1}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{8}}}}\times \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{2}}}}{3}=\frac{1}{12}$	$\mathbf{18}\mathbf{)}\mathbf{ }cb=1\frac{3}{4}\times 3\frac{1}{2}=\frac{7}{4}\times \frac{7}{2}=\frac{49}{8}=6\frac{1}{8}$

---

حلول أسئلة مهارات التفكير العُليا

20) تَحَدٍّ: هَلْ عِبارَةُ " ناتجُِ ضَرْبِ عَدَدَيْنِ كَسْرِيَّيْنِ هُوَ أَقَلُّ مِنْ 1 ‶ صَحيحَةٌ دائِمًا ، أَمْ أَحْيانًا، أَمْ غَيْرُ صَحيحَةٍ أَبَدًا؟ أُبَرِّرُ إِجابَتي بِكِتابَةِ مِثالٍ.

الجواب

غير صحيحة أبدا مثال توضيحي: $1\frac{1}{3}\times 1\frac{1}{4}=\frac{4}{3}\times \frac{5}{4}=\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}$  وهنا $1\frac{2}{3} \mathbf{>} 1$

 

---

21) تَبْريرٌ: مِنْ دونِ إِجْراءِ عَمَلِيَّةِ الضَّرْبِ، أَيُّ النِّقاطِ: $A, B, C$ هِيَ ناتِجُ: $2\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}$؟ أبرر إجابتي.

الجواب

B ، لأن ثلثي العدد الكامل الـ 2 أقل من 2 وأكبر من 1.

---

22) تَحَدٍّ: إِذا كانَ مُحيطُ الْمُسْتَطيلِ الْمُجاوِرِ  $12\frac{2}{5}cm$ فَأَجِدُ مِساحَتَهُ. الجواب
مساحة المستطيل: $\mathrm{A}=l\times w$  حيثُ $l$ يمثل الطول ، و $w$ يمثل العرض.
محيط المستطيل: $P=2l+2w=12\frac{2}{5}cm$
$l=3\frac{1}{2}cm , w=? , p=12\frac{2}{5}cm$
$\mathrm{P}=2\left(3\frac{1}{2}\right)+2w=12\frac{2}{5} , 3\frac{1}{2}=\frac{7}{2} , 12\frac{2}{5}=\frac{62}{5}$
$2\left(\frac{7}{2}\right)+2w=\frac{62}{5} \to 7+2w=\frac{62}{5}$
$7 + 2w=\frac{62}{5} \to 2w=\frac{62}{5}-7$
$2w=\frac{62}{5}-\frac{7\times 5}{1\times 5}=\frac{62}{5}-\frac{35}{5}=\frac{27}{5}$
$\frac{1}{2}\times 2w=\frac{27}{5}\times \frac{1}{2} \to w=\frac{27}{10}=2\frac{7}{10}cm$
$\mathrm{A}=l\times w=\frac{7}{2}\times \frac{27}{10}=\frac{189}{20}=9\frac{9}{20}c{m}^2$

 

---

23) جُمْلَةٌ مَفْتوحَةٌ: أَمْلَُأ الْفَراغَ في الْجُمْلَةِ الآتِيَةِ بِما هُوَ مُناسِبٌ:

الجواب

والإجابات تتعدد.

---

24) تَبْريرٌ: قالَ هَيْثَمٌ إِنَّ ناتِجَ $2\frac{1}{5}\times 7\frac{1}{4}$ هو $14\frac{1}{20}$ هَلْ قَوْلُهُ صَحيحٌ؟ أُبَرِّرُ إِجابَتي.

الجواب

إجابته خاطئة لأنه لم يحول من أعداد كسرية إلى كسور قبل الضرب واخرج الناتج بضرب الأعداد الكاملة معا، ثم ضرب البسطين والمقامين وهذا خاطئ

---

25) أكتبٌ: كَيْفَ أَجِدُ ناتِجَ ضَرْبِ عَدَدٍ كَسْرِيٍّ في كَسْرٍ؟

الجواب

أحول العدد الكسري إلى كسر غير فعلي ثم أضرب البسطين وأضرب المقامين.

---

حلول أسئلة كتاب التمارين

أَجِدُ ناتِجَ كُلٍّ مِمّا يَأْتي في أَبْسَطِ صورَةٍ:

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }1\frac{2}{5}\times \frac{3}{7}=\frac{3}{5}$	$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }3\frac{2}{5}\times 3=10\frac{1}{5}$
$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }1\frac{3}{5}\times 1\frac{2}{3}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}$	$\mathbf{3}\mathbf{)} 2\frac{1}{4}\times 3\frac{1}{3}=7\frac{1}{2}$
$\mathbf{6}\mathbf{)} \frac{3}{5}\times 1\frac{2}{3}=1$	$\mathbf{5}\mathbf{)} 2\frac{1}{2}\times 1\frac{2}{3}=\frac{25}{6}=4\frac{1}{6}$
$\mathbf{8}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{4}{5}\times 1\frac{3}{4}=\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}$	$\mathbf{7}\mathbf{)}\mathbf{ }3\frac{3}{5}\times 1\frac{1}{9}=4$

---

9) وحدات طول عالمية: لِلتَّحْويلِ مِنْ وَحْدَةِ الْميلِ إِلى الْكيلومِتْرِ، أَضْرِبُ في $\frac{8}{5}$، ما الْمَسافَةُ بَيْنَ مَدينَتَيْنِ بِالْكيلومِتْراتِ إِذا كانَتِ الْمَسافَةُ بَيْنَهُما $16\frac{1}{2}$ ميلًا؟

الجواب

$\frac{132}{5}=26\frac{2}{5}km$

---

10) أَشْتالٌ: زَرَعَ سَعيدٌ شَتْلَةً طولُها $5\frac{6}{10}cm$ وَقَدْ تَضاعَفَ طولُها في شَهْرٍ $1\frac{1}{2}$ مَرَّةٍ. ما طولُها بَعْدَ شَهْرٍ؟ 

الجواب

$\frac{42}{5}=8\frac{2}{5}cm$

---

11) حَلْوى: صَنَعَتْ نَجْوى نَوْعًا مِنَ الْحَلْوى بِاسْتِعْمالِ $\frac{3}{8}kg$ مِنَ السَّميدِ، ثُمَّ أَرادَتْ صُنْعَ النَّوْعِ نَفْسِهِ مِنَ الْحَلْوى، وَلكِنْ بِحَجْمٍ مُضاعَفٍ $2\frac{1}{2}$ ضِعْفٍ. كَمْ كيلوغِرامًا مِنَ السَّميدِ يَلْزَمُها لِذلِكَ؟

الجواب

$\frac{15}{16}kg$

---

12) سُكَّرٌ: لَدى وَفاءَ حَجْمانِ مِنْ أَكْياسِ السُّكَّرِ، اسْتَعْمَلَتْ $2\frac{2}{9}$ كيسٍ مِنَ الْحَجْمِ الكبير، وَ $1\frac{1}{4}$ كيسٍ مِنَ الْحَجْمِ الصغير. كَمْ كيلوغِرامًا مِنَ السُّكَّرِ اسْتَهْلَكَتْ وَفاءُ؟ الجواب $\frac{245}{18}=13\frac{11}{18}kg$