ضَرْبُ الأعداد الصَّحيحَةِ وَقِسْمَتُها

فكرة الدرس:

• أضربُ عددين صحيحين، وأقسمُهُما.
• أستعملُ ترتيب العمليّات لإجراء عمليّاتٍ حسابيّةٍ بسيطةٍ.

 

تعلّم أنّ عمليّة الضّرب هي عمليّةُ جمعٍ مُتكرّرٍ. فمثلا: 

                                                                              $4 \times (-2) = (-2) + (-2) + (-2) + (-2) = -8$

يُمكنُ تمثيلُ الجمع المُتكرّر بقطع العدّ، وعلى خطّ الأعداد:

وبشكل عام: ناتج ضرب عددين صحيحين مُختلفين في الإشارة يكونُ سالبًا؛ أي إنّ:

ناتج ضرب عددٍ سالبٍ في عددٍ موجبٍ يُساوي عددًا سالبًا
ناتج ضرب عددٍ موجبٍ في عددٍ سالبٍ يُساوي عددًا سالبًا

 

 

 

 

مثال:

أجدُ ناتج كُلٍّ ممّا يأتي، ثُمّ أتحقّقُ من صحّة الحلّ باستعمال خطّ الأعداد:

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }-5 \times 3$

العددان مُختلفان في الإشارة. إذن، ناتجُ الضّرب سالبٌ                             $-5 \times 3 = -15$

للتحقق: أستعملُ خطّ الأعداد.

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }4 \times (-4)$

العددان مُختلفان في الإشارة. إذن، ناتجُ الضّرب سالبٌ                      $4 \times (-4) = -16$

للتحقق: أستعملُ خطّ الأعداد.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

يُمكنُ استعمالُ معكوس ناتج ضرب عددين مُختلفين في الإشارة لإيجاد ناتج ضرب عددين مُتشابهين في الإشارة.

أتعلم: مَعْكوسُ $3 \times (-5)$ هُوَ $-(3\times (-5\left)\right)$  أو  $-1 \times 3 \times (-5)$ وَهُوَ أيضاً $-3 \times (-5)$ 

مثال آخر : معكوس $6\times (-7)$ هو $-6 \times (-7)$ وبما أنّ $6 \times (-7)=-42$ فيكون $-6 \times (-7)=-42$

 

وبشكل عام: ناتج ضرب عددين صحيحين مُتشابهين في الشارة يكونُ موجبًا؛ أي إنّ:

ناتج ضرب عددٍ موجبٍ في عددٍ موجبٍ يُساوي عددًا موجبًا
ناتج ضرب عددٍ سالبٍ في عددٍ سالبٍ يُساوي عددًا موجبًا

 

 

 

 

مثال:

أجدُ ناتج كُلٍّ ممّا يأتي:

$\mathbf{1}\mathbf{)} -2 \times (-11)$

العددان لهُما الإشارةُ نفسُها. إذن، ناتجُ الضّرب موجبٌ   $-2 \times (-11) = 22$

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }6 \times 8$

العددان لهُما الإشارةُ نفسُها. إذن، ناتجُ الضّرب موجبٌ                 $6 \times 8 = 48$

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }{(-5)}^2$

تعريف مربع العدد وناتج الضرب يكون موجب                        $( -5)² = (-5) \times (-5) = 25$

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }-3 \times (-1) \times (-7)$

خاصِّية التَّجميع                                    $-3 \times (-1) \times (-7) = [-3 \times (-1) ] \times (-7)$

أَبدأُ العملِيّة داخلَ الأقواس                            $= 3 \times (-7) =-21$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

يُمكنُ استعمالُ حقائق الضّرب والقسمة المُترابطة لإيجاد ناتج قسمة عددين صحيحين.

فمثلا، لإيجاد ناتج: $-40 ÷ 8$ ، أستعملُ حقائق الضّرب كما في المُخطّط الآتي:

وبشكل عام: ناتج قسمة عددين صحيحين مُختلفين في الإشارة يكونُ سالبًا؛ أي إنّ:

ناتج قسمة عددٍ سالبٍ على عددٍ موجبٍ يُساوي عددًا سالبًا
ناتج قسمة عددٍ موجبٍ على عددٍ سالبٍ يُساوي عددًا سالبًا

 

 

 

 

مثال:

أجدُ ناتج كُلٍّ ممّا يأتي:

$\mathbf{1}\mathbf{)} -30 ÷ 6$

العددان الصّحيحان مُختلفان في الإشارة. إذن، ناتجُ القسمة سالبٌ    $-30 ÷ 6 = -5$

$\mathbf{2}\mathbf{)} 72 ÷ (-9)$

العددان الصّحيحان مُختلفان في الإشارة. إذن، ناتجُ القسمة سالبٌ     $72 ÷ (-9) = -8$

 

 

 

 

 

---

يُمكنُ أيضًا استعمالُ خصائص الضّرب والقسمة لإيجاد ناتج قسمة الأعداد الصّحيحة المُتشابهة في الإشارة، بحيثُ لا يكونُ المقسومُ عليه صفرًا. فمثلً، لإيجاد ناتج: $-40 ÷ (-8)$ ، أستعملُ حقائق الضّرب كما في الشّكل الآتي:

وبشكل عام: ناتج قسمة عددين صحيحين مُتشابهين في الإشارة يكونُ موجبًا؛ أي إنّ:

ناتج قسمة عددٍ موجبٍ على عددٍ موجبٍ يُساوي عددًا موجبًا
ناتج قسمة عددٍ سالبٍ على عددٍ سالبٍ يُساوي عددًا موجبًا

 

 

 

 

مثال:

أجدُ ناتج كُلٍّ ممّا يأتي:

$\mathbf{1}\mathbf{)} 63 ÷ 7$

العددان لهُما الإشارةُ نفسُها. إذن، ناتجُ القسمة موجبٌ                         $63 ÷ 7 = 9$

$\mathbf{2}\mathbf{)} -20 ÷ (-5)$

العددان لهُما الإشارةُ نفسُها. إذن، ناتجُ القسمة موجبٌ               $-20 ÷ (-5)=4$

$\mathbf{3}\mathbf{)} -8 ÷ (-2) \times 4$

$-8 ÷ (-2) \times 4 =[-8 ÷ (-2\left)\right] \times 4$                                                                         أَقسمُ أَولا

$= 2 \times 4 = 8$                                                       4 أَضْرِبُ ناتِجَ الْقِسْمَةِ 2 في

$\mathbf{4}\mathbf{)} 36 ÷ (3 \times -2) \times 5$

أَبدأُ بِالعملِيَّةِ داخلَ الأقواس                            $36 ÷ (3 \times -2) \times 5 = 36 ÷ (-6) \times 5$

أقسمُ أولا ثم أضرب 5 في ناتج القسمة              $=-6\times 5=-30$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

مثال: أسماكٌ: يُبيّنُ التّمثيلُ البيانيُّ المُجاورُ العُمق التّقريبيّ (بالأمتار) الّذي تعيشُ فيه بعضُ الأسماك. أجدُ مُعدّل الوسط الحسابيّ لهذه الأعماق. الجواب الأعماق الّتي تعيشُ فيها هذه الأسماكُ هي:   $- 90, - 45, -10, -15, -65$ مُعدّل العُمق ($\overline{x}$) هُو مجموعُ الأعماق مقسومًا على عددها.
$\overline{x}=\frac{(-65) + (-15) + (-10) + (-45) + (-90)}{5}=\frac{-225}{5}=-45$
أي إنّ مُعدّل الأعماق الّتي تعيشُ فيها هذه الأسماكُ هُو $-45$