رياضيات فصل ثاني

حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف

 

أستند في طريقة الحل بالحذف على جمع المعادلتين أو طرحهما بحيث يؤدي ذلك الى حذف أحد المتغيرات

وتسمى هذه الطريقة : حل المعادلات الخطية بطريقة الحذف .

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

خطوات حل معادلتين خطيتين بالحذف : 

1- أرتب النظام بحيث تكون الحدود المتشابهة فوق بعضها .

2- أضرب ان لزم الأمر احدى المعادلتين أو كليهما بعدد ثابت بحيث يكون هناك حدان متشابهان معاملاهما متساويان أو متعاكسان.

3- اجمع المعادلتين او اطرحهما للتخلص من احدى المتغيرات.

4- تنتج قيمة احدى المتغيرات وأعوضها في احدى المعادلتين لأحصل على المتغير الاخر

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

مثال ( 1 ) : استعمل الحذف لحل نظام المعادلات الاتي :

 

ألاحظ أن الحدود الجبرية المتشابهة مرتبة فوق بعضها

5x + y = 22

2x - y = 6                                  أجمع المعادلتين

---------------------

7x = 28                                     أقسم طرفي المعادلة على 7

$\frac{\mathbf{7}\mathbf{x}}{\mathbf{7}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{28}}{\mathbf{7}}$

x = 4

أعوض ( 4 ) بدلاً من x في المعادلة الثانية:

2x - y = 6                                   المعادلة الثانية

2 ( 4 ) - y = 6                             x  أعوض ( 4) بدلاً من 

8 -- y = 6                                     أبسط

8 - y - 8 = 6 - 8                         اطرح  8  من الطرفين

$\frac{\mathbf{-}\mathbf{y}\mathbf{ }}{\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{2}}{\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{على}\mathbf{ }\mathbf{المعادلة}\mathbf{ }\mathbf{طرفي}\mathbf{ }\mathbf{اقسم}$

y = 2

اذن حل النظام  ( 2 , 4 ) 

..................................................................................................................................................................................................................................................................................

مثال ( 2 ) : استعمل الحذف لحل نظام المعادلات الاتي : 

12x + 2y = 30

8x + 2y = 22

ألاحظ أن المعادلات الجبرية المتشابهة مرتبة فوق بعضها البعض

12x + 2y = 30

8x + 2y = 22            أطرح

----------------------

4x = 8

$\frac{\mathbf{4}\mathbf{x}}{\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{8}}{\mathbf{4}}$

x = 2

أعوض  2  بدلاً من  في المعادلة الثانية : 

8x + 2y = 22                                        المعادلة الثانية

8 ( 2 ) + 2y = 22                                 x اعوض  2  بدلاً من  

16 + 2y = 22                                       ابسط

16 + 2y - 16 = 22 - 16                        اطرح  16  من الطرفين

2y = 6

$\frac{\mathbf{2}\mathbf{y}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{6}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{على}\mathbf{ }\mathbf{المعادلة}\mathbf{ }\mathbf{طرفي}\mathbf{ }\mathbf{اقسم}$

y = 3 

حل النظام  ( 3 , 2 ) 

..................................................................................................................................................................................................................................................................................

مثال ( 3 ) : استعمل الحذف لحل نظام المعادلات الاتي : 

3x + 2y = 18

2x - y = 5

الحل : ألاحظ أن الحدود الجبرية المتشابهة فوق بعضها

اضرب المعادلة الثانية ب 2 فتكون المعادلتين : 

3x + 2y = 18

4x - 2y = 10

----------------------

7x = 28

$\frac{\mathbf{7}\mathbf{x}}{\mathbf{7}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{28}}{\mathbf{7}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{7}\mathbf{ }\mathbf{على}\mathbf{ }\mathbf{المعادلة}\mathbf{ }\mathbf{طرفي}\mathbf{ }\mathbf{اقسم}$

x = 4

أعوض 14 بدلاً من x في المعادلة الثانية :

3x + 2y = 18                                          المعادلة الثانية

3 ( 4 ) + 2y = 18                                  x أعوض 4 بدلاً من 

12 + 2y = 18                                         

12 + 2y - 12 = 18 - 12                         اطرح 12 من طرفي المعادلة

2y = 6

$\frac{\mathbf{2}\mathbf{y}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{6}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{على}\mathbf{ }\mathbf{المعادلة}\mathbf{ }\mathbf{طرفي}\mathbf{ }\mathbf{اقسم}$

y = 3

إذن حل النظام ( 3 , 4 )

..................................................................................................................................................................................................................................................................................

مثال ( 4 ) : استعمل الحذف لحل نظام المعادلات الاتي : 

4x + 3y = 27

5x - 2y = 5

الحل : 

ألاحظ أن الحدود الجبرية المتشابهة مرتبة فوق بعضها 

لحل نظام المعادلات السابق أضرب المعادلة الاولى ب 2 وأضرب المعادلة الثانية ب 3

ليصبح نظام المعادلتين : 

8x + 6y = 54

15x - 6y = 15          أجمع

-----------------------

23 x        = 69

$\frac{\mathbf{23}\mathbf{x}}{\mathbf{23}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{69}}{\mathbf{23}}$                 اقسم طرفي المعادلة على 23

x =3                                ابسط

أعوض 3  بدلاً عن  x  في المعادلة الثانية

5x - 2y = 5                            المعادلة الثانية 

5 ( 3 ) - 2y = 5

15 - 2y = 5

15 - 2y - 15 = 5 - 15               اطرح 15  من طرفي المعادلة

- 2y = - 10 

$\frac{\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{y}}{\mathbf{-}\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{-}\mathbf{10}}{\mathbf{-}\mathbf{2}}$       - اقسم طرفي المعادلة على 2

y = 5                                     ابسط

اذن حل النظام  ( 5 , 3 )

....................................................................................................................................................................................................................................................................................

مسألة حياتية: 

يعمل ماجد وحازم أثناء عطلة الجامعة في محطتين مختلفتين لوقود السيارات، ويتقاضى كل منهما أجرته على عدد ساعات العمل.

في أحد الايام عمل ماجد  6  ساعات وعمل حازم 7 ساعات، فكان مجموع ما تقاضياه معاً 36 دينار ،

وفي اليوم التالي عمل ماجد 8 ساعات وعمل حازم 6 ساعات فكان مجموع ما تقاضياه 38 دينار ، كم يتقاضى كل منهما عن كل ساعة عمل ؟

الحل : 

المعطيات : - في أحد  الايام : 

                     عمل ماجد  6 ساعات

                    عمل حازم  7  ساعات

                   مجموع ما تقاضياه معاً 36 دينار

              - في اليوم التالي:

                  عمل ماجد  8 ساعات

                عمل حازم  6 ساعات

مجموع ما تقاضياه معاً  38 دينار

المطلوب : كم يتقاضى كل من ماجد وحازم عن كل ساعة عمل 

المتغيرات :    x  : الاجرة التي يتقاضاها ماجد عن كل ساعة عمل

                       y  : الاجرة التي يتقاضاها حازم عن كل ساعة عمل

المعادلات:

6x + 7y = 36

8x + 6y = 38

أضرب المعادلة الاولى ب 4 والمعادلة الثانية ب 3- لتصبح المعادلتين :

24x + 28y = 144

- 24x - 18y = - 114                 اجمع

---------------------------

10y = 30

$\frac{\mathbf{10}\mathbf{y}}{\mathbf{10}}\mathbf{ }\mathbf{=}\frac{\mathbf{30}}{\mathbf{10}}$

y = 3

أعوض 3 بدلاً من  y  في المعادلة الاولى:

6x + 7y = 36

6x + 7 ( 3 ) = 36

6x + 21 = 36

6x + 21 - 21 = 36 - 21             اطرح 21 من طرفي المعادلة

6x = 15

$\frac{\mathbf{6}\mathbf{x}}{\mathbf{6}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{15}}{\mathbf{6}}$          اقسم طرفي المعادلة على 6

x = 2.5                                    أبسط 

إذن يتقاضى ماجد عن كل ساعة   2.5 دينار

ويتقاضى حازم عن كل ساعة  3 دنانير

..................................................................................................................................................................................................................................................................................-'