رياضيات فصل ثاني

الحادي عشر خطة جديدة

icon

أتحقق من فهمي

ص: 109

أحل كل معادلة مما يأتي:

1) sin x=-32

x=4π3+2kπ , x=7π3+2

2) cos x=12

x=π3+2kπ , x=7π3+2

أتحقق من فهمي

ص: 110

أحل كل معادلة مما يأتي:

1) sin x=0.23

x=sin-10.23x=0.23+2kπ , x=2.91+2

2) tan x=-10

x=tan-1(-10)=x=1.67+kπ, x=4.81+

أتحقق من فهمي

ص: 112

أحل كل معادلة مما يأتي:

1) 5 sin x=3 sin x+3

5sinx-3sinx=32sinx=3sinx=32x=π3+2kπ , x=2π3+2

2) 2 cos2 x-1=0

cos2x=12cosx=±12x=π4+2kπ , x=3π4+2kπ , x=5π4+2kπ , 7π4+2kπ

أتحقق من فهمي

ص: 113

أحل كل معادلة مما يأتي في الفترة [0,2π):

1) 2 sin2 x-sin x-1=0

(sinx-1)(2sinx+1)=0sinx=1        sinx=-12x=π2+2Kπ , x=7π6+2Kπ , x=11π6+2Kπ

2) sin x cos x=2 sin x

sinx cosx-2sinx=0sinx(cosx-2)=0sinx=0   cosx=2x=2Kπ , x=π+2

أتحقق من فهمي

ص: 115

أحل كل معادلة مما يأتي في الفترة [0,2π):

1) 2 sin2 x-3 cos x=0

2(1-cos2 x)-3 cos x=02-2 cos2 x-3 cos x=02 cos2 x+3 cos x-2=0(2 cos x-1)(cos x+2)=0cos x=12       cos x=-2x=π3+2Kπ , x=5π3+2Kπ

2) 2 sin 2x-3 sin x=0

2(2sinx cosx) -3sinx=0sinx(4cosx-3)=0sinx=0     cosx=34x=0.72, x=5.56 , x=0,x=π

أتحقق من فهمي

ص: 116

أحل المعادلة: cos x-sin x=-1 في الفترة [0,2π).

cos x=sin x-1cos2 x=sin2 x-2 sin x+11-sin2 x=sin2 x-2 sin x+12 sin2 x-2 sin x=02 sin x(sin x-1)=02 sin x=0sin x=1x=0, x=π , x=π2, x=3π2

أتحقق من فهمي

ص: 117

أحل المعادلة: 2 cos 2x=1 في الفترة [0,2π).

cos 2x=122x=π3 , 2x=5π32x=7π3 , 2x=11π3x=π6 , x=5π6 , x=7π6 , x=11π6

أتحقق من فهمي

ص: 118

أحل المعادلة: 2 cos x2-1=0 في الفترة [0,2π).

cos x2=12x2=π3, 5π3x=2π3, 10π3

أتدرب وأحل المسائل

أحل كلا من المعادلات الآتية لقيم x جميعها:

1) 2 sin x+3=2

sin x=-12x=7π6+2kπ , x=11π6+2

2) 1-cos x=12

cos x=12x=π3+2kπ , x=5π3+2

3) sin x=-0.3

x=sin-1 (-0.3)x=5.98+2kπx=0.3+2

4) cos x=0.32

x=cos-1 (0.32)x=1.25+2kπx=5.03+2

5) tan x=5

x=tan-1 5x=1.37+kπx=4.51+kπ

6) sec2 x-2=0

sec2 x=2sec x=±2x=π4+2kπx=3π4+2x=5π4+2x=7π4+2

7) cot x+1=0

x=3π4+kπ , x=7π4+

8) csc2 x-4=0

csc2 x-4=0csc2 x=4csc x=±2x=π6+2kπ , x=5π6+2x=7π6+2 , x=11π6+2

9) 32cos x+2=-1

32 cos x=-3cos x=-12x=3π4+2kπx=5π4+2

أحل كلا من المعادلات الآتية في الفترة [0,2π):

10) cos2 x-sin2 x+sin x=0

1-sin2 x-sin2 x+sin x=0-2 sin2 x+sin x+1=02 sin2 x-sin x-1=0(2 sin x+1)(sin x-1)=0sin x=-12 , sin x=1x=7π6 , x=11π6x=π2

11) 3 sin2 x-7 sin x+2=0

(3 sin x-1)(sin x-2)=0sin x=13 , sin x=2x=0.35x=2.79

12) 2 cos2 x+cos x=0

cos x(2 cos x+1)=0cos x=0 , cos x=-12x=π2 , x=2π3 , x=3π2 , x=4π3

13) tan4 x-13 tan2 x+36=0

(tan2 x-9)(tan2 x-4)tan2 x=9 , tan2 x=4tan x=±3 , tan x=±2x=1.25 , x=1.89 , x=4.39 , x=5.03x=1.1 , x=2.03 , x=4.25 , x=5.18

14) sin x+2 sin x cos x=0

sin x(1+2 cos x)=0sin x=0 , cos x=-12x=0 , x=π , x=2π3 , x=4π3

15) tan2 x cos x=tan2 x

tan2 x cos x-tan2 x=0tan2 x(cos x-1)=0tan2 x=0 , cos x=1x=0 , x=π

أحل كلا من المعادلات الآتية في الفترة [0,2π):

16) 2 cos2 x+sin x=1

2(1-sin2 x)+sin x=12-2 sin2 x+sin x=1-2 sin2 x+sin x+1=02 sin2 x-sin x-1=0(2 sin x+1)(sin x-1)=0sin x=-12 , sin x=1x=7π6 , x=11π6 , x=π2

17) tan2 x-2 sec x=2

sec2 x-1-2 sec x-2=0sec2 x-2 sec x-3=0(sec x-3)(sec x+1)=0sec x=3 , sec x=-1x=π,x=1.22 , x=5.07

18) csc2 x=cot x+3

cot2 x+1=cot x+3cot2 x-cot x-2=0(cot x+1)(cot x-2)=0cot x=-1 , cot x=2x=3π4x=7π4x=0.46, x=3.6

19) sin 2x=3 cos 2x

sin 2xcos 2x=3tan 2x=3x=0.62 , x=3.77

20) 4 sin x cos x+2 sin x-2 cos x-1=0

2 sin x(2 cos x+1)-(2 cos x+1)=0(2 cos x+1)(2 sin x-1)=0cos x=-12 , sin x=12x=2π3, x=4π3 , x=π6 , x=5π6

أطوار القمر: عندما يدور القمر حول الأرض، فإن الجانب المواجه للأرض يكون في الغالب مضاءً جزئيًا بواسطة الشمس.تصف أطوار القمر مقدار الجزء الظاهر من سطحه بسبب سقوط ضوء الشمس عليه، ويعطي مقياس فلكي للطور بالعلاقة: F=12(1-cos θ)، حيث θ الزاوية بين الأرض والشمس والقمر (0°θ360). أجد قياس الزاوية θ لكل طور مما يأتي:

21) القمر الجديد (0=F).

 12(1-cos θ)=0cos θ=1θ=0 

22) الهلال (0.25=F).

1-cos θ=0.5cos θ=0.5θ=60 , θ=300

23) القمر المكتمل (1=F)

1-cos θ=2cos θ=-1θ=180°

24)زنبرك: تعطى الإزاحة لزنبرك نابض باستعمال العلاقة: y=4e-3t sin 2πt. ما الأوقات (قيم t) التي يكون فيها الزنبرك في وضعية الراحة (0=y)؟

0=4e-3t sin 2πtsin 2πt=02πt=0 , 2πt=πt=k , t=12+k

أحل كلا من المعادلات الآتية في الفترة [0,2π):

25) sin 2x+cos x=0

2 sin x cos x+cos x=0cos x(2 sin x+1)=0cos x=0 , sin x=-12x=π2 , x=3π2 , x=7π6 , x=11π6

26) tan x2-sin x=0

sin x2cos x2-2 sin x2 cos x2=0sin x2(1cos x2-2 cos x2)=0sin x2=0 , 1-2 cos2 x2cos x2=01-2 cos2 x2=0cos2 x2=12sin x2=0 , cos x2=±12x=0 , x=π2 , x=3π2, x=5π2, x=7π2

27) 2 sin2 x=2+cos 2x

2 sin2 x=2+1-2 sin2 x4 sin2 x=3sin2 x=34sin x=±32x=π3 , x=2π3 , x=4π3 , x=5π3

28) 2 sin2 x2-3 cos x2=0

2(1-cos2 x2)-3 cos x2=02-2 cos2 x2-3 cos x2=02 cos2 x2+3 cos x2-2=0(2 cos x2-1)(cos x2+2)=0cos x2=12 , cos x2=-2x=2π3, x=10π3

29) sin x-3 cos x=0

sin x=3 cos xsin xcos x=3tan x=3x=π3 , x=4π3

30) cos 2x=cos x

2 cos2 x-1=cos x2 cos2 x-cos x-1=0(2cos x+1)(cos x-1)=0cos x=-12 , cos x=1x=2π3 , x=4π3 , x=0

مهارات التفكير العليا

تبرير: إذا كان tan x+ktan x=2، حيث k ثابت، فأجيب عما يأتي:

31) أثبت عدم وجود حل للمعادلة عندما k>1 مبررًا إجابتي.

tan x+ktan x=2tan2 x+k=2 tan xtan2 x-2 tan x+k=0=b2-4 ac=4-4k<04-4k<0k>1

إذن المميز سالب فلا يوجد حل للمعادلة.

32) أحل المعادلة عندما k=-8، حيث: -π<x<π، مبررًا خطوات الحل.

tan2 x-2 tan x-8=0(tan x-4)(tan x+2)=0tan x=4 or tan x=-2x=1.33 , x=-1.82 , x=-1.11 , x=2.03

33) تبرير: أجد جميع الحلول الممكنة للمعادلة: sin (cos x)=0، مبررًا إجابتي.

sin (cos x)=0cos x=0 or cos x=πcos x=0x=π2+2x=3π2+2

34) تحد: أحل المعادلة: tan x+cot x=5، حيث: 0x2π.

tan x+cot x=5tan x+1tan x-5=0tan2 x-5 tan x+1=0tan x=5±212tanx = 4.79    tanx = 0.21x=1.37 , x=4.51 , x=0.21 , x=3.35

35) تحد:  أحل المتباينة: sin x<12، حيث: 0x2π.

sin x<12-12<sin x<12x0,π65π6,7π6[11π6,2π)

أسئلة كتاب التمارين

أحل كلا من المعادلات الآتية في الفترة [0,2π):

1) sin x+cos x=62

x=π12 , x=5π12

2) cot x-csc x=3

x=4π3

3) 1+cot2 xcot2 x=2

x=π4 , x=3π4 , x=5π4 , x=7π4

4) 3 cos2 x=sin2 x

x=π3 , x=2π3 , x=4π3 , x=5π3

5) 3 sin 3x+4 cos 3x=0

x=42°.29 , x=102°.29 , x=162°.29 , x=222°.29 , x=282°.29 , x=342°.29

6) 3 tan x2-1=0

x=π3

7) cot2 x+5 csc x=5

x=90° , x=189°.6 , x=350°.4

8) 4 sec2 x+9 sec x=8

x=109°.94 , x=250°.06

9) 11-sin x+11+sin x=5

x=50°.77 , x=129°.23 , x=230°.77 , x=309°.23

10) cos 2x-2 sin 2x cos 2x=0

x=π4 , x=3π4 , x=5π4 , x=7π4x=π12 , x=5π12 , x=13π12 , x=17π12

11) 4 sin x cos x-23  sin x-2 cos x+3=0

x=π6 , x=5π6 , x=11π6

12) sin (x+π4)+sin (x-π4)=1

x=π4 , x=3π4

ترفيه: يمثل الشكل المجاور دولابًا دوارًا في مدينة ألعاب يدور بسرعة ثابتة، وتمثل s نقطة صعود الراكب الذي موقعه الآن هو A، في حين تمثل النقطة O مركز الدولاب. إذا دار الدولاب بزاوية θ. فإن ارتفاع الراكب عن الأرض h بالأمتار يعطى بالعلاقة: h=67.5-67.5 cos θ حيث θ بالراديان:

13) أجد طول قطر الدولاب.

67.5 m

14) إذا علمت أن الرحلة في هذه اللعبة تمثل دورة واحدة، وأنها تستغرق 30 دقيقة، فكم دقيقة يلزم للوصول إلى ارتفاع 100 متر فوق سطح الأرض؟

7.07 min

يمثل الشكل المجاور منحنيي المعادلتين: y=cos x، و y=tan x:

15) كم حلا يوجد للمعادلة: cos x=tan x في الفترة [0°,360°]؟

يوجد حلان لهذه المعادلة.

16) أجد أصغر حل موجب للمعادلة.

x38°.17

تبرير: إذا كان sin (A+B)=2 sin (A-B)، فأجيب عن السؤالين الآتيين، مبررًا إجابتي:

17) أثبت أن: tan A=3 tan B.

sin (A+B)=2 sin (A-B)sin A cos B+cos A sin B=2 sin A cos B-2 cos A sin Bsin A cos B=3 cos A sin Btan A=3 tan B

18) أحل المعادلة: sin (x+0.5)=2 sin (x-0.5)، حيث 0x2π.

sin (x+0.5)=2 sin (x-0.5)tan x=3 tan 0.5x=1.02 rad , x=2.12 rad

Jo Academy Logo