رياضيات فصل ثاني

أتحقق من فهمي

ص: 109

أحل كل معادلة مما يأتي:

$1) \sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$x=\frac{4\mathrm{\pi }}{3}+2k\mathrm{\pi } , \mathrm{x}=\frac{7\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{k\pi }$

$2) \cos x=\frac{1}{2}$

$x=\frac{\mathrm{\pi }}{3}+2k\mathrm{\pi } , \mathrm{x}=\frac{7\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{k\pi }$

أتحقق من فهمي

ص: 110

أحل كل معادلة مما يأتي:

$1) \sin x=0.23$

$$\begin{gathered} x={\sin }^{-1}0.23 \\ x=0.23+2k\mathrm{\pi } , \mathrm{x}=2.91+2\mathrm{k\pi } \end{gathered}$$

$2) \tan x=-10$

$$\begin{gathered} x={\tan }^{-1}(-10)= \\ x=1.67+k\mathrm{\pi }, \mathrm{x}=4.81+\mathrm{k\pi } \end{gathered}$$

أتحقق من فهمي

ص: 112

أحل كل معادلة مما يأتي:

$1) 5 \sin x=3 \sin x+\sqrt{3}$

$$\begin{gathered} 5\sin x-3\sin x=\sqrt{3} \\ 2\sin x=\sqrt{3} \\ \sin x=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ x=\frac{\mathrm{\pi }}{3}+2k\mathrm{\pi } , \mathrm{x}=\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{k\pi } \end{gathered}$$

$2) 2 {\cos }^2 x-1=0$

$$\begin{gathered} co{s}^{2}x=\frac{1}{2} \\ cosx=\pm \frac{1}{\sqrt{2}} \\ x=\frac{\mathrm{\pi }}{4}+2k\mathrm{\pi } , \mathrm{x}=\frac{3\mathrm{\pi }}{4}+2k\pi , \mathrm{x}=\frac{5\mathrm{\pi }}{4}+2k\pi , \frac{7\mathrm{\pi }}{4}+2k\pi \end{gathered}$$

أتحقق من فهمي

ص: 113

أحل كل معادلة مما يأتي في الفترة $[0,2\mathrm{\pi })$:

$1) 2 {\sin }^2 x-\sin x-1=0$

$$\begin{gathered} (sinx-1)(2sinx+1)=0 \\ sinx=1 sinx=-\frac{1}{2} \\ x=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+2K\mathrm{\pi } , x=\frac{7\mathrm{\pi }}{6}+2K\mathrm{\pi } , \mathrm{x}=\frac{11\mathrm{\pi }}{6}+2K\mathrm{\pi } \end{gathered}$$

$2) \sin x \cos x=2 \sin x$

$$\begin{gathered} sinx cosx-2sinx=0 \\ sinx(cosx-2)=0 \\ sinx=0 cosx=2 \\ x=2K\mathrm{\pi } , \mathrm{x}=\mathrm{\pi }+2\mathrm{K\pi } \end{gathered}$$

أتحقق من فهمي

ص: 115

أحل كل معادلة مما يأتي في الفترة $[0,2\mathrm{\pi })$:

$1) 2 {\sin }^2 x-3 \cos x=0$

$$\begin{gathered} 2(1-{\cos }^2 x)-3 \cos x=0 \\ 2-2 {\cos }^2 x-3 \cos x=0 \\ 2 {\cos }^2 x+3 \cos x-2=0 \\ (2 \cos x-1)(\cos x+2)=0 \\ \cos x=\frac{1}{2} \cos x=-2 \\ x=\frac{\mathrm{\pi }}{3}+2K\mathrm{\pi } , \mathrm{x}=\frac{5\mathrm{\pi }}{3}+2K\mathrm{\pi } \end{gathered}$$

$2) 2 \sin 2x-3 \sin x=0$

$$\begin{gathered} 2(2\sin x \cos x) -3\sin x=0 \\ \sin x(4\cos x-3)=0 \\ \sin x=0 \cos x=\frac{3}{4} \\ x=0.72, \mathrm{x}=5.56 , x=0,\mathrm{x}=\mathrm{\pi } \end{gathered}$$

أتحقق من فهمي

ص: 116

أحل المعادلة: $\cos x-\sin x=-1$ في الفترة $[0,2\mathrm{\pi })$.

$$\begin{gathered} cos x=sin x-1 \\ co{s}^2 x=si{n}^2 x-2 sin x+1 \\ \cancel{1}-si{n}^2 x=si{n}^2 x-2 sin x+\cancel{1} \\ 2 si{n}^2 x-2 sin x=0 \\ 2 sin x(sin x-1)=0 \\ 2 sin x=0 \\ sin x=1 \\ x=0, x=\mathrm{\pi } , \mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}, x=\frac{3\mathrm{\pi }}{2} \end{gathered}$$

أتحقق من فهمي

ص: 117

أحل المعادلة: $2 \cos 2x=1$ في الفترة $[0,2\mathrm{\pi })$.

$$\begin{gathered} cos 2x=\frac{1}{2} \\ 2x=\frac{\mathrm{\pi }}{3} , 2x=\frac{5\mathrm{\pi }}{3} \\ 2x=\frac{7\mathrm{\pi }}{3} , 2x=\frac{11\mathrm{\pi }}{3} \\ x=\frac{\mathrm{\pi }}{6} , \mathrm{x}=\frac{5\mathrm{\pi }}{6} , \mathrm{x}=\frac{7\mathrm{\pi }}{6} , \mathrm{x}=\frac{11\mathrm{\pi }}{6} \end{gathered}$$

أتحقق من فهمي

ص: 118

أحل المعادلة: $2 \cos \frac{x}{2}-1=0$ في الفترة $[0,2\mathrm{\pi })$.

$$\begin{gathered} cos \frac{x}{2}=\frac{1}{2} \\ \frac{x}{2}=\frac{\mathrm{\pi }}{3}, \frac{5\mathrm{\pi }}{3} \\ x=\frac{2\mathrm{\pi }}{3}, \frac{10\mathrm{\pi }}{3} \end{gathered}$$

أتدرب وأحل المسائل

أحل كلا من المعادلات الآتية لقيم x جميعها:

$1) 2 \sin x+3=2$

$$\begin{gathered} \sin x=-\frac{1}{2} \\ x=\frac{7\mathrm{\pi }}{6}+2k\mathrm{\pi } , \mathrm{x}=\frac{11\mathrm{\pi }}{6}+2\mathrm{k\pi } \end{gathered}$$

$2) 1-\cos x=\frac{1}{2}$

$$\begin{gathered} cos x=\frac{1}{2} \\ x=\frac{\mathrm{\pi }}{3}+2k\mathrm{\pi } , \mathrm{x}=\frac{5\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{k\pi } \end{gathered}$$

$3) \sin x=-0.3$

$$\begin{gathered} x={\sin }^{-1} (-0.3) \\ x=5.98+2k\mathrm{\pi } \\ \mathrm{x}=0.3+2\mathrm{k\pi } \end{gathered}$$

$4) \cos x=0.32$

$$\begin{gathered} x={\cos }^{-1} (0.32) \\ x=1.25+2k\mathrm{\pi } \\ \mathrm{x}=5.03+2\mathrm{k\pi } \end{gathered}$$

$5) \tan x=5$

$$\begin{gathered} x={\tan }^{-1} 5 \\ x=1.37+k\mathrm{\pi } \\ \mathrm{x}=4.51+k\mathrm{\pi } \end{gathered}$$

$6) se{c}^2 x-2=0$

$$\begin{gathered} se{c}^2 x=2 \\ sec x=\pm \sqrt{2} \\ x=\frac{\mathrm{\pi }}{4}+2k\mathrm{\pi } \\ \mathrm{x}=\frac{3\mathrm{\pi }}{4}+2\mathrm{k\pi } \\ \mathrm{x}=\frac{5\mathrm{\pi }}{4}+2\mathrm{k\pi } \\ \mathrm{x}=\frac{7\mathrm{\pi }}{4}+2\mathrm{k\pi } \end{gathered}$$

$7) cot x+1=0$

$x=\frac{3\mathrm{\pi }}{4}+k\mathrm{\pi } , \mathrm{x}=\frac{7\mathrm{\pi }}{4}+\mathrm{k\pi }$

$8) cs{c}^2 x-4=0$

$$\begin{gathered} cs{c}^2 x-4=0 \\ cs{c}^2 x=4 \\ csc x=\pm 2 \\ x=\frac{\mathrm{\pi }}{6}+2k\mathrm{\pi } , \mathrm{x}=\frac{5\mathrm{\pi }}{6}+2\mathrm{k\pi } \\ \mathrm{x}=\frac{7\mathrm{\pi }}{6}+2\mathrm{k\pi } , \mathrm{x}=\frac{11\mathrm{\pi }}{6}+2\mathrm{k\pi } \end{gathered}$$

$9) 3\sqrt{2}\cos x+2=-1$

$$\begin{gathered} 3\sqrt{2} \cos x=-3 \\ \cos x=\frac{-1}{\sqrt{2}} \\ x=\frac{3\mathrm{\pi }}{4}+2k\mathrm{\pi } \\ \mathrm{x}=\frac{5\mathrm{\pi }}{4}+2\mathrm{k\pi } \end{gathered}$$

أحل كلا من المعادلات الآتية في الفترة $[0,2\mathrm{\pi })$:

$10) {\cos }^2 x-{\sin }^2 x+\sin x=0$

$$\begin{gathered} 1-{\sin }^2 \mathrm{x}-{\sin }^2 \mathrm{x}+\sin \mathrm{x}=0 \\ -2 {\sin }^2 \mathrm{x}+\sin \mathrm{x}+1=0 \\ 2 {\sin }^2 \mathrm{x}-\sin \mathrm{x}-1=0 \\ (2 \sin \mathrm{x}+1)(\sin \mathrm{x}-1)=0 \\ \sin \mathrm{x}=-\frac{1}{2} , \sin \mathrm{x}=1 \\ \mathrm{x}=\frac{7\mathrm{\pi }}{6} , \mathrm{x}=\frac{11\mathrm{\pi }}{6} \\ \mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{2} \end{gathered}$$

$11) 3 {\sin }^2 x-7 \sin x+2=0$

$$\begin{gathered} (3 \sin x-1)(\sin x-2)=0 \\ \sin x=\frac{1}{3} , \sin x=2 \\ x=0.35 \\ \mathrm{x}=2.79 \end{gathered}$$

$12) 2 {\cos }^2 x+\cos x=0$

$$\begin{gathered} cos x(2 cos x+1)=0 \\ cos x=0 , cos x=-\frac{1}{2} \\ x=\frac{\mathrm{\pi }}{2} , \mathrm{x}=\frac{2\mathrm{\pi }}{3} , \mathrm{x}=\frac{3\mathrm{\pi }}{2} , \mathrm{x}=\frac{4\mathrm{\pi }}{3} \end{gathered}$$

$13) {\tan }^4 x-13 {\tan }^2 x+36=0$

$$\begin{gathered} ({\tan }^2 x-9)({\tan }^2 x-4) \\ {\tan }^2 x=9 , {\tan }^2 x=4 \\ \tan x=\pm 3 , \tan x=\pm 2 \\ x=1.25 , x=1.89 , x=4.39 , x=5.03 \\ x=1.1 , x=2.03 , x=4.25 , x=5.18 \end{gathered}$$

$14) \sin x+2 \sin x \cos x=0$

$$\begin{gathered} sin x(1+2 cos x)=0 \\ sin x=0 , cos x=-\frac{1}{2} \\ x=0 , \mathrm{x}=\mathrm{\pi } , \mathrm{x}=\frac{2\mathrm{\pi }}{3} , \mathrm{x}=\frac{4\mathrm{\pi }}{3} \end{gathered}$$

$15) {\tan }^2 x \cos x={\tan }^2 x$

$$\begin{gathered} {\tan }^2 x cos x-ta{n}^2 x=0 \\ ta{n}^2 x(cos x-1)=0 \\ ta{n}^2 x=0 , cos x=1 \\ x=0 , \mathrm{x}=\mathrm{\pi } \end{gathered}$$

أحل كلا من المعادلات الآتية في الفترة $[0,2\mathrm{\pi })$:

$16) 2 {\cos }^2 x+\sin x=1$

$$\begin{gathered} 2(1-{\sin }^2 x)+\sin x=1 \\ 2-2 {\sin }^2 x+\sin x=1 \\ -2 {\sin }^2 x+\sin x+1=0 \\ 2 {\sin }^2 x-\sin x-1=0 \\ (2 \sin x+1)(\sin x-1)=0 \\ \sin x=-\frac{1}{2} , \sin x=1 \\ x=\frac{7\mathrm{\pi }}{6} , \mathrm{x}=\frac{11\mathrm{\pi }}{6} , \mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{2} \end{gathered}$$

$17) {\tan }^2 x-2 sec x=2$

$$\begin{gathered} se{c}^2 x-1-2 sec x-2=0 \\ se{c}^2 x-2 sec x-3=0 \\ (sec x-3)(sec x+1)=0 \\ sec x=3 , sec x=-1 \\ x=\mathrm{\pi },\mathrm{x}=1.22 , \mathrm{x}=5.07 \end{gathered}$$

$18) cs{c}^2 x=cot x+3$

$$\begin{gathered} co{t}^2 x+1=cot x+3 \\ co{t}^2 x-cot x-2=0 \\ (cot x+1)(cot x-2)=0 \\ cot x=-1 , cot x=2 \\ x=\frac{3\mathrm{\pi }}{4} \\ \mathrm{x}=\frac{7\mathrm{\pi }}{4} \\ x=0.46, x=3.6 \end{gathered}$$

$19) \sin 2x=3 \cos 2x$

$$\begin{gathered} \frac{sin 2x}{cos 2x}=3 \\ tan 2x=3 \\ x=0.62 , x=3.77 \end{gathered}$$

$20) 4 \sin x \cos x+2 \sin x-2 \cos x-1=0$

$$\begin{gathered} 2 \sin x(2 \cos x+1)-(2 \cos x+1)=0 \\ (2 \cos x+1)(2 \sin x-1)=0 \\ \cos x=-\frac{1}{2} , \sin x=\frac{1}{2} \\ x=\frac{2\mathrm{\pi }}{3}, x=\frac{4\mathrm{\pi }}{3} , x=\frac{\mathrm{\pi }}{6} , x=\frac{5\mathrm{\pi }}{6} \end{gathered}$$

أطوار القمر: عندما يدور القمر حول الأرض، فإن الجانب المواجه للأرض يكون في الغالب مضاءً جزئيًا بواسطة الشمس.تصف أطوار القمر مقدار الجزء الظاهر من سطحه بسبب سقوط ضوء الشمس عليه، ويعطي مقياس فلكي للطور بالعلاقة: $F=\frac{1}{2}(1-\cos \theta )$، حيث $\theta$ الزاوية بين الأرض والشمس والقمر $(0°\le \theta \le 360)$. أجد قياس الزاوية $\theta$ لكل طور مما يأتي:

21) القمر الجديد (0=F).

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}(1-\cos \theta )=0 \\ \cos \theta =1 \\ \theta =0 \end{gathered}$$

22) الهلال (0.25=F).

$$\begin{gathered} 1-\cos \theta =0.5 \\ \cos \theta =0.5 \\ \theta =60 , \theta =300 \end{gathered}$$

23) القمر المكتمل (1=F)

$$\begin{gathered} 1-\cos \theta =2 \\ \cos \theta =-1 \\ \theta =180° \end{gathered}$$

24)زنبرك: تعطى الإزاحة لزنبرك نابض باستعمال العلاقة: $y=4e^{-3t} \sin 2\mathrm{\pi t}$. ما الأوقات (قيم t) التي يكون فيها الزنبرك في وضعية الراحة (0=y)؟

$$\begin{gathered} 0=4e^{-3t} \sin 2\mathrm{\pi t} \\ \sin 2\mathrm{\pi t}=0 \\ 2\mathrm{\pi t}=0 , 2\mathrm{\pi t}=\mathrm{\pi } \\ \mathrm{t}=\mathrm{k} , \mathrm{t}=\frac{1}{2}+\mathrm{k} \end{gathered}$$

أحل كلا من المعادلات الآتية في الفترة $[0,2\mathrm{\pi })$:

$25) \sin 2x+\cos x=0$

$$\begin{gathered} 2 \sin x \cos x+\cos x=0 \\ \cos x(2 \sin x+1)=0 \\ \cos x=0 , \sin x=-\frac{1}{2} \\ x=\frac{\mathrm{\pi }}{2} , x=\frac{3\mathrm{\pi }}{2} , x=\frac{7\mathrm{\pi }}{6} , x=\frac{11\mathrm{\pi }}{6} \end{gathered}$$

$26) \tan \frac{x}{2}-\sin x=0$

$$\begin{gathered} \frac{sin {\displaystyle \frac{x}{2}}}{cos {\displaystyle \frac{x}{2}}}-2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2}=0 \\ sin \frac{x}{2}(\frac{1}{cos {\displaystyle \frac{x}{2}}}-2 cos \frac{x}{2})=0 \\ sin \frac{x}{2}=0 , \frac{1-2 co{s}^2 {\displaystyle \frac{x}{2}}}{cos {\displaystyle \frac{x}{2}}}=0 \\ 1-2 co{s}^2 \frac{x}{2}=0 \\ co{s}^2 \frac{x}{2}=\frac{1}{2} \\ sin \frac{x}{2}=0 , cos \frac{x}{2}=\pm \frac{1}{\sqrt{2}} \\ x=0 , x=\frac{\mathrm{\pi }}{2} , x=\frac{3\mathrm{\pi }}{2}, x=\frac{5\mathrm{\pi }}{2}, x=\frac{7\mathrm{\pi }}{2} \end{gathered}$$

$27) 2 {\sin }^2 x=2+\cos 2x$

$$\begin{gathered} 2 {\sin }^2 x=2+1-2 {\sin }^2 x \\ 4 {\sin }^2 x=3 \\ {\sin }^2 x=\frac{3}{4} \\ \sin x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2} \\ x=\frac{\mathrm{\pi }}{3} , x=\frac{2\mathrm{\pi }}{3} , x=\frac{4\mathrm{\pi }}{3} , x=\frac{5\mathrm{\pi }}{3} \end{gathered}$$

$28) 2 {\sin }^2 \frac{x}{2}-3 \cos \frac{x}{2}=0$

$$\begin{gathered} 2(1-{\cos }^2 \frac{x}{2})-3 \cos \frac{x}{2}=0 \\ 2-2 {\cos }^2 \frac{x}{2}-3 \cos \frac{x}{2}=0 \\ 2 {\cos }^2 \frac{x}{2}+3 \cos \frac{x}{2}-2=0 \\ (2 \cos \frac{x}{2}-1)(\cos \frac{x}{2}+2)=0 \\ \cos \frac{x}{2}=\frac{1}{2} , \cos \frac{x}{2}=-2 \\ x=\frac{2\mathrm{\pi }}{3}, x=\frac{10\mathrm{\pi }}{3} \end{gathered}$$

$29) \sin x-\sqrt{3} \cos x=0$

$$\begin{gathered} \sin x=\sqrt{3} cos x \\ \frac{sin x}{cos x}=\sqrt{3} \\ tan x=\sqrt{3} \\ x=\frac{\mathrm{\pi }}{3} , x=\frac{4\mathrm{\pi }}{3} \end{gathered}$$

$30) \cos 2x=\cos x$

$$\begin{gathered} 2 {\cos }^2 x-1=\cos x \\ 2 {\cos }^2 x-\cos x-1=0 \\ (2\cos x+1)(\cos x-1)=0 \\ \cos x=-\frac{1}{2} , \cos x=1 \\ x=\frac{2\mathrm{\pi }}{3} , x=\frac{4\mathrm{\pi }}{3} , x=0 \end{gathered}$$

مهارات التفكير العليا

تبرير: إذا كان $\tan x+\frac{k}{\tan x}=2$، حيث k ثابت، فأجيب عما يأتي:

31) أثبت عدم وجود حل للمعادلة عندما $k>1$ مبررًا إجابتي.

$$\begin{gathered} tan x+\frac{k}{tan x}=2 \\ ta{n}^2 x+k=2 tan x \\ ta{n}^2 x-2 tan x+k=0 \\ ∆=b^2-4 ac=4-4k \\ ∆<0 \\ 4-4k<0 \\ k>1 \end{gathered}$$

إذن المميز سالب فلا يوجد حل للمعادلة.

32) أحل المعادلة عندما $k=-8$، حيث: $-\mathrm{\pi }<\mathrm{x}<\mathrm{\pi }$، مبررًا خطوات الحل.

$$\begin{gathered} ta{n}^2 x-2 tan x-8=0 \\ (tan x-4)(tan x+2)=0 \\ tan x=4 or tan x=-2 \\ x=1.33 , x=-1.82 , x=-1.11 , x=2.03 \end{gathered}$$

33) تبرير: أجد جميع الحلول الممكنة للمعادلة: $\sin (\cos x)=0$، مبررًا إجابتي.

$$\begin{gathered} sin (cos x)=0 \\ cos x=0 or cos x=\mathrm{\pi } \\ \cos \mathrm{x}=0 \\ \mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+2\mathrm{k\pi } \\ \mathrm{x}=\frac{3\mathrm{\pi }}{2}+2\mathrm{k\pi } \end{gathered}$$

34) تحد: أحل المعادلة: $\tan x+cot x=5$، حيث: $0\le x\le 2\mathrm{\pi }$.

$$\begin{gathered} tan x+cot x=5 \\ tan x+\frac{1}{tan x}-5=0 \\ ta{n}^2 x-5 tan x+1=0 \\ tan x=\frac{5\pm \sqrt{21}}{2} \\ tanx = 4.79 tanx = 0.21 \\ x=1.37 , x=4.51 , x=0.21 , x=3.35 \end{gathered}$$

35) تحد:  أحل المتباينة: $\left|\sin x\right|<\frac{1}{2}$، حيث: $0\le x\le 2\mathrm{\pi }$.

$$\begin{gathered} \left|sin x\right|<\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2}<sin x<\frac{1}{2} \\ x\in \left[0,\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right]\cup \left[\frac{5\mathrm{\pi }}{6},\frac{7\mathrm{\pi }}{6}\right]\cup [\frac{11\mathrm{\pi }}{6},2\mathrm{\pi }) \end{gathered}$$

أسئلة كتاب التمارين

أحل كلا من المعادلات الآتية في الفترة $[0,2\mathrm{\pi })$:

$1) \sin x+\cos x=\frac{\sqrt{6}}{2}$

$x=\frac{\mathrm{\pi }}{12} , x=\frac{5\mathrm{\pi }}{12}$

$2) cot x-csc x=\sqrt{3}$

$x=\frac{4\mathrm{\pi }}{3}$

$3) \frac{1+co{t}^2 x}{co{t}^2 x}=2$

$x=\frac{\mathrm{\pi }}{4} , x=\frac{3\mathrm{\pi }}{4} , x=\frac{5\mathrm{\pi }}{4} , x=\frac{7\mathrm{\pi }}{4}$

$4) 3 {\cos }^2 x={\sin }^2 x$

$x=\frac{\mathrm{\pi }}{3} , x=\frac{2\mathrm{\pi }}{3} , x=\frac{4\mathrm{\pi }}{3} , x=\frac{5\mathrm{\pi }}{3}$

$5) 3 \sin 3x+4 \cos 3x=0$

$x=42°.29 , x=102°.29 , x=162°.29 , x=222°.29 , x=282°.29 , x=342°.29$

$6) \sqrt{3} \tan \frac{x}{2}-1=0$

$x=\frac{\mathrm{\pi }}{3}$

$7) co{t}^2 x+5 csc x=5$

$x=90° , x=189°.6 , x=350°.4$

$8) 4 se{c}^2 x+9 sec x=8$

$x=109°.94 , x=250°.06$

$9) \frac{1}{1-\sin x}+\frac{1}{1+\sin x}=5$

$x=50°.77 , x=129°.23 , x=230°.77 , x=309°.23$

$10) \cos 2x-2 \sin 2x \cos 2x=0$

$$\begin{gathered} x=\frac{\mathrm{\pi }}{4} , x=\frac{3\mathrm{\pi }}{4} , x=\frac{5\mathrm{\pi }}{4} , x=\frac{7\mathrm{\pi }}{4} \\ x=\frac{\mathrm{\pi }}{12} , x=\frac{5\mathrm{\pi }}{12} , x=\frac{13\mathrm{\pi }}{12} , x=\frac{17\mathrm{\pi }}{12} \end{gathered}$$

$11) 4 \sin x \cos x-2\sqrt{3} \sin x-2 \cos x+\sqrt{3}=0$

$x=\frac{\mathrm{\pi }}{6} , x=\frac{5\mathrm{\pi }}{6} , x=\frac{11\mathrm{\pi }}{6}$

$12) \sin (x+\frac{\mathrm{\pi }}{4})+\sin (x-\frac{\mathrm{\pi }}{4})=1$

$x=\frac{\mathrm{\pi }}{4} , x=\frac{3\mathrm{\pi }}{4}$

ترفيه: يمثل الشكل المجاور دولابًا دوارًا في مدينة ألعاب يدور بسرعة ثابتة، وتمثل s نقطة صعود الراكب الذي موقعه الآن هو A، في حين تمثل النقطة O مركز الدولاب. إذا دار الدولاب بزاوية $\theta$. فإن ارتفاع الراكب عن الأرض h بالأمتار يعطى بالعلاقة: $h=67.5-67.5 \cos \theta$ حيث $\theta$ بالراديان:

13) أجد طول قطر الدولاب.

$67.5 m$

14) إذا علمت أن الرحلة في هذه اللعبة تمثل دورة واحدة، وأنها تستغرق 30 دقيقة، فكم دقيقة يلزم للوصول إلى ارتفاع 100 متر فوق سطح الأرض؟

$7.07 min$

يمثل الشكل المجاور منحنيي المعادلتين: y=cos x، و y=tan x:

15) كم حلا يوجد للمعادلة: cos x=tan x في الفترة $[0°,360°]$؟

يوجد حلان لهذه المعادلة.

16) أجد أصغر حل موجب للمعادلة.

$x\approx 38°.17$

تبرير: إذا كان $\sin (A+B)=2 \sin (A-B)$، فأجيب عن السؤالين الآتيين، مبررًا إجابتي:

17) أثبت أن: $\tan A=3 \tan B$.

$$\begin{gathered} sin (A+B)=2 sin (A-B) \\ sin A cos B+cos A sin B=2 sin A cos B-2 cos A sin B \\ sin A cos B=3 cos A sin B \\ tan A=3 tan B \end{gathered}$$

18) أحل المعادلة: $\sin (x+0.5)=2 \sin (x-0.5)$، حيث $0\le x\le 2\mathrm{\pi }$.

$$\begin{gathered} sin (x+0.5)=2 sin (x-0.5) \\ tan x=3 tan 0.5 \\ x=1.02 rad , x=2.12 rad \end{gathered}$$