حلُّ المُعادلاتِ التربيعيَّةِ بالتحليلِ 1

حلُّ المُعادلاتِ التربيعيَّةِ بالتحليلِ (1)

Solving Quadratic Equations by Factoring (1)

فكرةُ الدرسِ : حلُّ المُعادلاتِ التربيعيَّةِ بالتحليلِ.

حلُّ المُعادلات التربيعيةِ بالتحليل ، وبخاصية الضرب الصفريّ.

مفهوم أساسيّ (خاصية الضرب الصفريّ)

بالكلمات : إذا كان حاصل ضرب عددَيْن حقيقيَّيْن يُساوي صِفرًا، فإنَّ أحدَهُما على الأقلِّ يجبُ أنْ يكونَ صِفرًا.

بالرُّموز : إذا كانَ a وَ b عددَيْن حقيقيَّيْن، وكانَ ab = 0 ، فإنَّ : a = 0  or  b = 0

 

•• يمكنُ استعمالُ خاصيَّة الضَّرب الصِّفريِّ والتحليل لحلِّ المُعادلات التربيعيَّة، فإذا كان أحدُ طرفي مُعادلة مكتوبًا بالصورة التحليليَّة، والطرفُ

الآخَرُ هُوَ 0، فيمكنُ استعمالُ خاصيَّة الضَّرب الصِّفريِّ لحلِّها.

 

مفهومٌ أساسيٌّ (حلُّ المُعادلة التربيعيَّة بالتحليل)

لحلِّ المُعادلات التربيعية بالتحليل ، أتَّبِع الخُطوات الآتية : الخطوة 1 : أنقل جميع الحدود إلى الطرف الأيسر من المُعادلة، وأترك الصِّفر في الطرف الأيمن. الخطوة 2 : أُحَلِّلُ المقدار الجبريّ في الطرف الأيسر من المُعادلة على صورة حاصل ضرب عامِلَيْن. الخطوة 3 : أُساوي كلَّ عاملٍ بالصِّفرِ (خاصية الضّرب الصفريّ)، وأَحلّ كلّ مُعادلة خطيَّة. الخطوة 4 : حلولُ المُعادلة التربيعيّة هي حلول المُعادلتين الخَطِّيَّتين.

 

أولًا : حلّ المُعادلات التربيعيّة بالتحليل (إخراج العامل المُشترَك الأكبر)

مثال : 

أَحل كُل من المُعادلات الآتية : 

$\mathit{a}\mathbf{)} x^2= 3x \mathbf{ }\mathit{b}\mathbf{)} 4x^2 = -12x$

الحل : 

$\mathit{a}\mathbf{)} x^2= 3x$

المُعادلة المُعطاة	x2 = 3x
بطرح 3x إلى طَرَفَيِ المُعادلة	x2 - 3x = 0
بإخراج العامل المُشترك الأكبر	x(x - 3) = 0
خاصيَّة الضَّرب الصِّفريِّ	x = 0  or  x - 3 = 0
بحلِّ كلِّ مُعادلة	x = 0   or   x = 3

 

 

 

 

 

إذن ، الجذران هُما : 3 , 0

التحقّق : أُعَوِّض قيمتَي x في المُعادلة الأصليَّة.

---

 

$\mathit{b}\mathbf{)} 5x^2 = -10x$

المُعادلة المُعطاة	5x2 = -10x
بجمع  10x إلى طَرَفَيِ المُعادلة	5x2 + 10x = 0
بإخراج العامل المُشترك الأكبر	5x(x + 2) = 0
خاصيَّة الضَّرب الصِّفريِّ	5x = 0  or  x + 2 = 0
بحلِّ كلِّ مُعادلة	x = 0   or   x = -2

 

 

 

 

 

إذن ، الجذران هُما :  2- , 0

التحقّق : أُعَوِّض قيمتَي x في المُعادلة الأصليَّة.

---

ثانيًا : حلُّ المُعادلاتِ التربيعيَّةِ بالتحليلِ (الصورةُ القياسيَّةُ $\mathit{a}{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathit{b}\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathit{c}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{0}$ )

إذا كان المقدار الجبريّ x² + bx + c قابلً للتحليل فيمكنُ أيضًا استعمال خاصيَّة الضرب الصفريِّ لحلِّ المُعادلة التربيعية المكتوبة بالصورة

القياسية 0 = x² + bx + c

مثال : 

أَحل كُل من المُعادلات الآتية : 

$\mathit{a}\mathbf{)} x^2-5x +4 = 0$                                                                 $\mathit{b}\mathbf{)} x^2-8x -9 = 0$

الحل : 

$\mathit{a}\mathbf{)} x^2-5x +4 = 0$

المُعادلة المُعطاة	x2 -5x + 4 = 0
بالتحليل إلى العوامل	(x - 4) (x - 1) = 0
خاصيَّة الضَّرب الصِّفريِّ	x - 4 = 0  or  x - 1 = 0
بحلِّ كلِّ مُعادلة	x = 4   or  x = 1

 

 

 

 

إذن ، الجذران هُما :  1 , 4

التحقّق : أُعَوِّض قيمتَي x في المُعادلة الأصليَّة.

---

$\mathit{b}\mathbf{)} x^2-8x -9 = 0$

المُعادلة المُعطاة	x2 - 8x - 9 = 0
بالتحليل إلى العوامل	(x + 1) (x - 9) = 0
خاصيَّة الضَّرب الصِّفريِّ	x + 1 = 0  or  x - 9 = 0
بحلِّ كلِّ مُعادلة	x = -1   or  x = 9

 

 

 

 

إذن ، الجذران هُما :  9 , 1-

التحقّق : أُعَوِّض قيمتَي x في المُعادلة الأصليَّة.

---

ثالثًا : حلُّ المُعادلاتِ التربيعيَّةِ بالتحليلِ (تحليلُ الفرقِ بينَ مُرَبَّعَيْنِ) 

يمكنُ استعمالُ خاصيَّة الضَّرب الصِّفريِّ والتحليل لحلِّ مُعادلات تربيعيَّة تتضمَّن فرقًا بين مُربّعين.

مثال : 

أَحل كُل من المُعادلات الآتية : 

$\mathit{a}\mathbf{)} x^2- 64 = 0$                                                            $\mathit{b}\mathbf{)} 3x^2 - 27 = 0$

الحل : 

$\mathit{a}\mathbf{)} x^2- 64 = 0$

المُعادلة المُعطاة	x2 - 64 = 0
بتحليل الفرق بين مربعين	(x - 8) (x + 8) = 0
خاصيَّة الضَّرب الصِّفريِّ	x - 8 = 0   or  x + 8 = 0
بحلِّ كلِّ مُعادلة	x = 8    or   x = -8

 

 

 

 

إذن ، الجذران هُما :  8- , 8

التحقّق : أُعَوِّض قيمتَي x في المُعادلة الأصليَّة.

---

$\mathit{b}\mathbf{)} 3x^2 - 27 = 0$

المُعادلة المُعطاة	3x2 - 27 = 0
بقسمة طرفي المُعادلة على 3	x2 - 9 = 0
بتحليل الفرق بين مربعين	(x - 3) (x + 3) = 0
خاصيَّة الضَّرب الصِّفريِّ	x - 3 = 0   or  x + 3 = 0
بحلِّ كلِّ مُعادلة	x = 3    or   x = -3

 

 

 

 

 

إذن ، الجذران هُما :  3- , 3

التحقّق : أُعَوِّض قيمتَي x في المُعادلة الأصليَّة.

---

رابعًا : حلُّ المُعادلاتِ التربيعيَّةِ بالتحليلِ (تحليلُ المُرَبَّعاتِ الكاملةِ) 

تعلَّمتُ سابقًا أنَّ ثلاثِيَّ الحدودِ على الصورةِ a² + 2ab + b² أوِ الصورةِ a² - 2ab + b² يُسَمّى مُرَبَّعا كاملًا ثلاثِيَّ الحدودِ ، ويمكنُ تحليلُهُ كالآتي :

                              $$\begin{gathered} a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)(a + b) \\ {a}^2 - 2ab + b^2 = (a - b)(a - b) \end{gathered}$$

إذن ، ينتج المُربع الكامل ثلاثِيُّ الحدود من ضرب مقدارٍ جبريٍّ في نفسهِ، وهذا يعني وجود عاملٍ مُكرّرٍ عند حلِّ مُعادلة تربيعية تحتوي على مُربع

كامل ثلاثِيّ حدود في أحد طرفَيها وتحتوي في طرفها الآخر على صفر ، وحينها تكفي مُساواة أحد هذيْن العاملين بالصِّفر عند استخدام خاصيّة

الضرب الصفريّ.                               

مثال : 

أَحل المُعادلة : $x^{2 }-10x + 25 = 0$  

الحل : 

المُعادلة المُعطاة	x2 - 10x + 25 = 0
بتحليلِ المُرَبَّعِ الكاملِ ثلاثِيِّ الحدودِ	(x - 5) (x - 5) = 0
خاصيَّة الضَّرب الصِّفريِّ	x - 5 = 0
بحلِّ المُعادلة	x = 5

 

 

 

 

إذن ، للمعادلة جذر واحد هو : 5  

التحقّق : أُعَوِّض قيمة x في المُعادلة الأصليَّة.

---

خامسًا : حلُّ المُعادلاتِ التربيعيَّةِ باستعمالِ الجذرِ التربيعيِّ  

تعلَّمتُ سابقًا أنَّهُ يمكنُ حلِّ المُعادلات على الصورةِ x² = c ؛ حيثُ c ≥ 0 ، باستعمال تعريف الجذر التربيعيِّ للعدد الموجب؛ حيث :  $x = \pm \sqrt{c}$  ،

أمّا إذا لمْ تَكُن المُعادلة التربيعية مكتوبة على الصورة x² = c ، فأستعمل العمليات الجبريّة لكتابة x² وحدهُ في أحد طرفَيِ المُعادلة أوَّلًا ، إنْ أمكَنْ،

ثمَّ أَحلّ المُعادلة بأخذ الجذر التربيعيّ لكلِّ طرف.

مثال : 

أَحل كُل من المُعادلات الآتية : 

$\mathit{a}\mathbf{)} 3x^2 - 48 = 0$                                                                         $\mathit{b}\mathbf{)} {(x + 5)}^2 = 36$

الحل : 

$\mathit{a}\mathbf{)} 3x^2 - 48 = 0$

المُعادلة المُعطاة	3x2 - 48 = 0
بجمع 48 إلى طرفي المعادلة	3x2 = 48
بقسمة طرفي المُعادلة على 3	x2 = 16
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين	$x = \pm \sqrt{16}$
بالتبسيط	$x = \pm 4$

 

 

 

 

 

إذن ، الجذران هُما :  4 - , 4

التحقّق : أُعَوِّض قيمتَي x في المُعادلة الأصليَّة.

---

$\mathit{b}\mathbf{)} {(x + 5)}^2 = 36$

المُعادلة المُعطاة	${(x + 5)}^2 = 36$
بأخذ الجذر التبيعي للطرفين	$x + 5 = \pm \sqrt{36}$
بالتبسيط	$x + 5 = \pm 6$
بطرح 5 من طرفي المعادلة	$x =-5\pm 6$
بفصلِ الحَلَّيْنِ	$x =-5+6 or x =-5-6$
بالتبسيط	$x =1 or x =-11$

 

 

 

 

 

 

إذن ، الجذران هُما :  11 - , 1

التحقّق : أُعَوِّض قيمتَي x في المُعادلة الأصليَّة.

---