رياضيات فصل أول

التاسع

icon

حلُّ المُعادلاتِ التربيعيَّةِ بإكمالِ المُرَبَّعِ

Solving Quadratic Equations
by Completing the Square

فكرة الدرس : حلُّ المُعادلات التربيعيَّة بإكمال المُربَّع.

أولًا : إكمال المُرَبّع

يمكنُ تحويلُ المقدارِ التربيعيِّ الذي على الصورةِ x2 + bx إلى مُرَبَّعٍ كاملٍ ثُلاثِيِّ الحدودِ بإضافةِ (b2)2 ، وَتُسَمّى هذهِ العمليَّةُ إكمالَ المُرَبَّعِ

مفهومٌ أساسيٌّ (إكمالُ المُرَبَّعِ)

بالكلمات : لإكمالِ مُرَبَّع أيِّ مقدارٍ تربيعيٍّ على الصورة x2 + bx ، أتَّبعُ الخُطوات الآتية :

الخُطوة 1 : أَجِدُ نصف b.

الخُطوة 2 : أُرَبِّعُ الناتجَ من الخُطوة 1

الخُطوة 3 : أُضيفُ الناتجَ مِنَ الخُطوة 2 إلى  x2 + bx

بالرُّموز  : x2+bx+(b2)2=( x+b2)2  

 

•• أتعلَّمُ : أتَّبِعُ الخُطواتِ نفسَها، سواءٌ كانتْ b موجبةً أوْ سالبةً.

مثال: 

أجعل كلَّ مقدار مما يأتي مُربعًا كاملًا ، ثمّ أُحلّلُ المُرَبع الكامل ثُلاثيّ الحدود الناتج:

a) x2+8x 

82=4 بإيجاد b2 
42= 16 بإيجاد (b2)2
x2+8x +16 بإضافة (b2)2 إلى المقدار الأصلي

إذنْ، المقدارُ الناتجُ بعدَ إكمالِ المُرَبَّعِ هُوَ x2 + 8x + 16 ، ويمكنُ تحليلُهُ كما يأتي :

بتحليلِ المُرَبَّعِ الكاملِ ثُلاثِيِّ الحدودِ  2(x2 + 8x + 16 = (x + 4

b) x2-14x

-142=-7 بإيجاد b2
(-7)2= 49 بإيجاد (b2)2
x2-14x+49 بإضافة (b2)2 إلى المقدار الأصلي

إذنْ، المقدارُ الناتجُ بعدَ إكمالِ المُرَبَّعِ هُوَ x2 - 14x + 49 ، ويمكنُ تحليلُهُ كما يأتي :

بتحليلِ المُرَبَّعِ الكاملِ ثُلاثِيِّ الحدودِ 2(x2 - 14x + 49 = (x - 7


ثانيًا : حلُّ المُعادلات التربيعيَّة علَى الصورة x2 + bx + c = 0 بإكمال المُرَبَّع 

يُمكِنُني استعمالُ إكمالِ المُرَبَّعِ لحلِّ أيِّ مُعادلةٍ تربيعيَّةٍ على الصورةِ ، x2 + bx + c = 0 وذلكَ يتطلَّبُ فصلَ المقدارِ x2 + bx في الطرفِ الأيسرِ أوَّلًا، ثمَّ أُكمِلُ المُرَبَّعَ.

مثال : 

أَحلُّ كُلًّ من المُعادلات الآتية بإكمال المُرَبّع، مُقَرِّبًا إجابتي لأقرب جزء مِنْ عشرَة (إن لَزِم):

a) x2 + 6x - 7 = 0

x2 + 6x - 7 = 0 المُعادلة المُعطاة
x2 + 6x = 7   بجمع 7 إلى طرفي المُعادلة
x2 + 6x + 9 = 7 + 9 بإكمال المُرَبع بإضافة (62)2=9 إلى طرفي المُعادلة
(x + 3)2 = 16 بتحليل المُربّع الكامل ثُلاثِيِّ الحدود
x + 3 = ± 4 بأخذ الجذر التربيعيّ للطرفَيْن
x =-3± 4 بطرحِ 3 مِن طرفي المُعادلة
x = -3 + 4      or      x = -3-4 بفصلِ الحلَّيْن
x = 1      or      x = -7 بالتبسيط

إذن ، جذرا المُعادلة  7- , 1

للتحقّق، أُعَوّض قيمتَي x في المُعادلة الأصليَّة.


b) x2 - 5x + 2 = 0

x2 - 5x + 2 = 0 المُعادلة المُعطاة
x2 - 5x  = - 2   بطرح 2 من طرفي المُعادلةِ
x2 - 5x+ 254  = - 2+254 بإكمال المُربع بإضافة  (-52)2 = 254إلى طرفي المُعادلة
 x - 522 = 174 بتحليلِ المُرَبَّعِ الكاملِ ثُلاثِيِّ الحدودِ
x - 52 =±172  بأخذ الجذر التربيعيّ للطرفَيْن
x = 52±172  بجمع 52 إلى طرفي المُعادلة
x = 52+172    or     x = 52-172 بفصلِ الحلَّيْن
x  4.6      or     x  0.4   باستخدام الآلة الحاسبة 

إذن ، جذرا المُعادلة التقريبيان هما   0.4 , 4.6


 ثانيًا : حلُّ المُعادلاتِ التربيعيَّةِ على الصورةِ ax2 + bx + c = 0 بإكمالِ المُرَبَّعِ.

لحلِّ المُعادلةِ التربيعيَّةِ على الصورةِ ax2 + bx + c = 0 ؛ حيثُ a ≠ 1 ، أقسِمُ كلَّ حدٍّ في المُعادلةِ على a ، ثمَّ أفصِلُ الحدَّيْنِ اللذَيْنِ يحتويانِ على x2 و x في الطرفِ الأيسرِ أوَّلًا ، ثمَّ أُكمِلُ المُرَبَّعَ.

مثال : 

أَحلُّ كُلٍّ من المُعادلات الآتية بإكمال المُرَبَّع :

a) 2x2 + 12x - 4 = 0                                                 

2x2 + 12x - 4 = 0 المُعادلة المُعطاة
x2 + 6x - 2 = 0 بقسمة المعادلة على 2
x2 + 6x  = 2   بجمع 2 إلى طرفي المُعادلةِ
x2 + 6x + 9  = 2 +9 بإكمال المُربع بإضافة  (62)2=9إلى طرفي المُعادلة
(x+3)2 = 11 بتحليلِ المُرَبَّعِ الكاملِ ثُلاثِيِّ الحدودِ
x + 3 = ± 11 بأخذ الجذر التربيعيّ للطرفَيْن
x = -3 ± 11 بطرح 3 من طرفي المعادلة  
x = -3 + 11      or     x =-3 - 11 بفصلِ الحلَّيْن

إذن ، جذرا المُعادلة x=-3+11  ,   x=-3-11


b) 4x2 + 8x + 8 = 0 

4x2 + 8x + 8 = 0  المُعادلة المُعطاة
x2 + 2x + 2 = 0  بقسمة المعادلة على 4
x2 + 2x = - 2  بطرح 2 من طرفي المُعادلةِ
x2 + 2x + 1 = - 2 + 1  بإكمال المُربع بإضافة  (22)2=1إلى طرفي المُعادلة
(x +1)2 = -1 بتحليلِ المُرَبَّعِ الكاملِ ثُلاثِيِّ الحدودِ

 

 

 

 

 

 

بما أنَّهُ لا توجدُ أعدادٌ حقيقيَّةٌ مُرَبَّعاتُها سالبةٌ فالمُعادلةُ ليسَ لها حُلولٌ حقيقيَّةٌ.


 

 

•• الدَّعمُ البيانيُّ

يظهرُ في الشكلِ المجاور منحنى الاقترانِ التربيعيِّ المُرتبطِ

بالمُعادلةِ 0= 3x2+6x+15 ، الذي لا يقطعُ المحورَ x ؛ ما

يعني عدمَ وجودِ حُلولٍ حقيقيَّةٍ للمُعادلةِ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jo Academy Logo