حلُّ المُعادلاتِ التربيعيَّةِ بإكمالِ المُرَبَّعِ
Solving Quadratic Equations
by Completing the Square
فكرة الدرس : حلُّ المُعادلات التربيعيَّة بإكمال المُربَّع.
أولًا : إكمال المُرَبّع
يمكنُ تحويلُ المقدارِ التربيعيِّ الذي على الصورةِ x2 + bx إلى مُرَبَّعٍ كاملٍ ثُلاثِيِّ الحدودِ بإضافةِ ، وَتُسَمّى هذهِ العمليَّةُ إكمالَ المُرَبَّعِ
مفهومٌ أساسيٌّ (إكمالُ المُرَبَّعِ)
بالكلمات : لإكمالِ مُرَبَّع أيِّ مقدارٍ تربيعيٍّ على الصورة x2 + bx ، أتَّبعُ الخُطوات الآتية : الخُطوة 1 : أَجِدُ نصف b. الخُطوة 2 : أُرَبِّعُ الناتجَ من الخُطوة 1 الخُطوة 3 : أُضيفُ الناتجَ مِنَ الخُطوة 2 إلى x2 + bx بالرُّموز : |
•• أتعلَّمُ : أتَّبِعُ الخُطواتِ نفسَها، سواءٌ كانتْ b موجبةً أوْ سالبةً. |
مثال:
أجعل كلَّ مقدار مما يأتي مُربعًا كاملًا ، ثمّ أُحلّلُ المُرَبع الكامل ثُلاثيّ الحدود الناتج:
بإيجاد | |
بإيجاد | |
بإضافة إلى المقدار الأصلي |
إذنْ، المقدارُ الناتجُ بعدَ إكمالِ المُرَبَّعِ هُوَ x2 + 8x + 16 ، ويمكنُ تحليلُهُ كما يأتي :
بتحليلِ المُرَبَّعِ الكاملِ ثُلاثِيِّ الحدودِ 2(x2 + 8x + 16 = (x + 4
بإيجاد | |
بإيجاد | |
بإضافة إلى المقدار الأصلي |
إذنْ، المقدارُ الناتجُ بعدَ إكمالِ المُرَبَّعِ هُوَ x2 - 14x + 49 ، ويمكنُ تحليلُهُ كما يأتي :
بتحليلِ المُرَبَّعِ الكاملِ ثُلاثِيِّ الحدودِ 2(x2 - 14x + 49 = (x - 7
ثانيًا : حلُّ المُعادلات التربيعيَّة علَى الصورة x2 + bx + c = 0 بإكمال المُرَبَّع
يُمكِنُني استعمالُ إكمالِ المُرَبَّعِ لحلِّ أيِّ مُعادلةٍ تربيعيَّةٍ على الصورةِ ، x2 + bx + c = 0 وذلكَ يتطلَّبُ فصلَ المقدارِ x2 + bx في الطرفِ الأيسرِ أوَّلًا، ثمَّ أُكمِلُ المُرَبَّعَ.
مثال :
أَحلُّ كُلًّ من المُعادلات الآتية بإكمال المُرَبّع، مُقَرِّبًا إجابتي لأقرب جزء مِنْ عشرَة (إن لَزِم):
a) x2 + 6x - 7 = 0
x2 + 6x - 7 = 0 | المُعادلة المُعطاة |
x2 + 6x = 7 | بجمع 7 إلى طرفي المُعادلة |
x2 + 6x + 9 = 7 + 9 | بإكمال المُرَبع بإضافة إلى طرفي المُعادلة |
بتحليل المُربّع الكامل ثُلاثِيِّ الحدود | |
بأخذ الجذر التربيعيّ للطرفَيْن | |
بطرحِ 3 مِن طرفي المُعادلة | |
بفصلِ الحلَّيْن | |
بالتبسيط |
إذن ، جذرا المُعادلة 7- , 1
للتحقّق، أُعَوّض قيمتَي x في المُعادلة الأصليَّة.
b) x2 - 5x + 2 = 0
x2 - 5x + 2 = 0 | المُعادلة المُعطاة |
x2 - 5x = - 2 | بطرح 2 من طرفي المُعادلةِ |
بإكمال المُربع بإضافة إلى طرفي المُعادلة | |
بتحليلِ المُرَبَّعِ الكاملِ ثُلاثِيِّ الحدودِ | |
بأخذ الجذر التربيعيّ للطرفَيْن | |
بجمع إلى طرفي المُعادلة | |
بفصلِ الحلَّيْن | |
باستخدام الآلة الحاسبة |
إذن ، جذرا المُعادلة التقريبيان هما 0.4 , 4.6
ثانيًا : حلُّ المُعادلاتِ التربيعيَّةِ على الصورةِ ax2 + bx + c = 0 بإكمالِ المُرَبَّعِ.
لحلِّ المُعادلةِ التربيعيَّةِ على الصورةِ ax2 + bx + c = 0 ؛ حيثُ a ≠ 1 ، أقسِمُ كلَّ حدٍّ في المُعادلةِ على a ، ثمَّ أفصِلُ الحدَّيْنِ اللذَيْنِ يحتويانِ على x2 و x في الطرفِ الأيسرِ أوَّلًا ، ثمَّ أُكمِلُ المُرَبَّعَ.
مثال :
أَحلُّ كُلٍّ من المُعادلات الآتية بإكمال المُرَبَّع :
a) 2x2 + 12x - 4 = 0
2x2 + 12x - 4 = 0 | المُعادلة المُعطاة |
x2 + 6x - 2 = 0 | بقسمة المعادلة على 2 |
x2 + 6x = 2 | بجمع 2 إلى طرفي المُعادلةِ |
x2 + 6x + 9 = 2 +9 | بإكمال المُربع بإضافة إلى طرفي المُعادلة |
بتحليلِ المُرَبَّعِ الكاملِ ثُلاثِيِّ الحدودِ | |
بأخذ الجذر التربيعيّ للطرفَيْن | |
بطرح 3 من طرفي المعادلة | |
بفصلِ الحلَّيْن |
إذن ، جذرا المُعادلة
b) 4x2 + 8x + 8 = 0
4x2 + 8x + 8 = 0 | المُعادلة المُعطاة |
x2 + 2x + 2 = 0 | بقسمة المعادلة على 4 |
x2 + 2x = - 2 | بطرح 2 من طرفي المُعادلةِ |
x2 + 2x + 1 = - 2 + 1 | بإكمال المُربع بإضافة إلى طرفي المُعادلة |
بتحليلِ المُرَبَّعِ الكاملِ ثُلاثِيِّ الحدودِ |
بما أنَّهُ لا توجدُ أعدادٌ حقيقيَّةٌ مُرَبَّعاتُها سالبةٌ فالمُعادلةُ ليسَ لها حُلولٌ حقيقيَّةٌ.
![]() |
•• الدَّعمُ البيانيُّ يظهرُ في الشكلِ المجاور منحنى الاقترانِ التربيعيِّ المُرتبطِ بالمُعادلةِ 0= 3x2+6x+15 ، الذي لا يقطعُ المحورَ x ؛ ما يعني عدمَ وجودِ حُلولٍ حقيقيَّةٍ للمُعادلةِ. |