رياضيات فصل ثاني

حلول أسئلة أتحقق من فهمي 

حجم الهرم :

2)

            $\mathrm{V}=\frac{1}{3}\mathrm{Bh}$                       صيغةُ حجمِ الهَرَمِ 

$$\begin{gathered} =\frac{1}{3}\left(\mathrm{l}\times \mathrm{w}\right)\mathrm{h} \\ =\frac{1}{3}\left(10\times 7\right)14 \\ \approx 326.67{\mathrm{cm}}^3 \end{gathered}$$                        القاعدة على شكل مستطيل وبتعويض الأبعاد أَجِدُ الناتجَ 

 

3)

              $\mathrm{V}=\frac{1}{3}\mathrm{Bh}$                       صيغةُ حجمِ الهَرَمِ 

$$\begin{gathered} =\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\mathrm{bh}\right)\mathrm{h} \\ =\frac{1}{6}\left(15\times 12\right)10 \\ \approx 300{\mathrm{cm}}^3 \end{gathered}$$                       القاعدة على شكل مثلث وبتعويض الأبعاد أَجِدُ الناتجَ 

 

أَجِدُ حجمَ أصغرِ هَرَمٍ في المحميّةِ علمًا أنَّ ارتفاعَهُ 18m  وَطولَ ضِلعِ قاعدتِهِ المربعةِ 19.5m أقرّبُ إجابتي لِأقربِ جزءٍ مِنْ عشرةٍ.

           $\mathrm{V}=\frac{1}{3}\mathrm{Bh}$                        صيغةُ حجمِ الهَرَمِ 

$$\begin{gathered} =\frac{1}{3}\left({\mathrm{s}}^2\right)\mathrm{h} \\ =\frac{1}{3}\left(19.5^2\right)18 \\ \approx 2281.5{\mathrm{cm}}^3 \end{gathered}$$                       القاعدة مربعة وبتعويض الأبعاد أَجِدُ الناتجَ 

---

حجم المخروط:

2)

         $\mathrm{V}=\frac{1}{3}{\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h}$                     صيغةُ حجمِ المخروطِ 

$$\begin{gathered} =\frac{1}{3}\mathrm{\pi }{\left(5\right)}^2\left(13\right) \\ \approx 340.3{\mathrm{cm}}^3 \end{gathered}$$                       بتعويض الأبعاد أجد الناتج 

3)

      $\mathrm{V}=\frac{1}{3}{\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h}$                     صيغةُ حجمِ المخروطِ 

$$\begin{gathered} =\frac{1}{3}\mathrm{\pi }{\left(2\right)}^2\left(5\right) \\ \approx 20.94{\mathrm{m}}^3 \end{gathered}$$                      بتعويض الأبعاد أجد الناتج 

 

في المثالِ السابقِ(4) إذا كانَ طولُ نصفِ قُطرِ كَومَةِ مِلْحٍ 35cm ، وَارتفاعُها 40cm أَجِدُ حجمَ الكَومَةِ، وَأقرّبُ إجابتي لِأقربِ جزءٍ مِنْ عشرةٍ. 

          $\mathrm{V}=\frac{1}{3}{\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h}$               صيغةُ حجمِ المخروطِ 

$$\begin{gathered} =\frac{1}{3}\mathrm{\pi }{\left(35\right)}^2\left(40\right) \\ \approx 51286.7{\mathrm{cm}}^3 \end{gathered}$$               بتعويض الأبعاد أجد الناتج 

---

---

حلول أسئلة أتدرب وأحل المسائل 

أَجِدُ حجمَ كلِّ مجسّمٍ ممّا يأتي، وَأقرّبُ إجابتي لِأقربِ جزءٍ مِنْ مئةٍ: 

1)

          $\mathrm{V}=\frac{1}{3}\mathrm{Bh}$                       صيغةُ حجمِ الهَرَمِ 

$$\begin{gathered} =\frac{1}{3}\left(\mathrm{l}\times \mathrm{w}\right)\mathrm{h} \\ =\frac{1}{3}\left(5\times 4\right)15 \\ \approx 100{\mathrm{m}}^3 \end{gathered}$$                        القاعدة على شكل مستطيل وبتعويض الأبعاد أَجِدُ الناتجَ 

2)

                 $\mathrm{V}=\frac{1}{3}\mathrm{Bh}$                   صيغةُ حجمِ الهَرَمِ 

$$\begin{gathered} =\frac{1}{3}\left(\mathrm{l}\times \mathrm{w}\right)\mathrm{h} \\ =\frac{1}{3}\left(10.3\times 10\right)12 \\ \approx 412{\mathrm{cm}}^3 \end{gathered}$$                  القاعدة على شكل مستطيل وبتعويض الأبعاد أَجِدُ الناتجَ 

3)

       $\mathrm{V}=\frac{1}{3}\mathrm{Bh}$                           صيغةُ حجمِ الهَرَمِ 

$$\begin{gathered} =\frac{1}{3}\left(\mathrm{l}\times \mathrm{w}\right)\mathrm{h} \\ =\frac{1}{3}\left(7\times 4\right)6 \\ \approx 56{\mathrm{cm}}^3 \end{gathered}$$                           القاعدة على شكل مستطيل وبتعويض الأبعاد أَجِدُ الناتجَ 

 

أَجِدُ حجمَ كلِّ مخروطٍ ممّا يأتي، وَأقرّبُ إجابتي لِأقربِ جزءٍ مِنْ عشرةٍ: 

4)

           $\mathrm{V}=\frac{1}{3}{\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h}$                    صيغةُ حجمِ المخروطِ 

$$\begin{gathered} =\frac{1}{3}\mathrm{\pi }{\left(2.5\right)}^2\left(12\right) \\ \approx 78.5{\mathrm{m}}^3 \end{gathered}$$                   بتعويض الأبعاد أجد الناتج 

5)

         $\mathrm{V}=\frac{1}{3}{\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h}$                     صيغةُ حجمِ المخروطِ 

$$\begin{gathered} =\frac{1}{3}\mathrm{\pi }{\left(6\right)}^2\left(10\right) \\ \approx 377{\mathrm{mm}}^3 \end{gathered}$$                      بتعويض الأبعاد أجد الناتج 

6)

         $\mathrm{V}=\frac{1}{3}{\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h}$                     صيغةُ حجمِ المخروطِ 

$$\begin{gathered} =\frac{1}{3}\mathrm{\pi }{\left(3\right)}^2\left(4\right) \\ \approx 37.7{\mathrm{cm}}^3 \end{gathered}$$                        بتعويض الأبعاد أجد الناتج 

 

أَجِدُ حجمَ كلِّ مجسَّمٍ ممّا يأتي، وَأقرّبُ إجابتي لِأقربِ جزءٍ مِنْ عشرةٍ:

7) هَرَمٌ ارتفاعُهُ 5dm وَمساحةُ قاعدتِهِ 18cm²

$$\begin{gathered} \mathrm{V}=\frac{1}{3}\mathrm{Bh} \\ =\frac{18\times 50}{3} \\ =300{\mathrm{cm}}^3 \end{gathered}$$                         صيغةُ حجمِ الهرم ، وبتعويض الأبعاد بعد توحيد الوحدات dm=10cm  أجد الناتج 

 

8) مخروطٌ طولُ نصفِ قُطرِهِ 4mm وَارتفاعُهُ 6.5mm

$$\begin{gathered} \mathrm{V}=\frac{1}{3}{\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h} \\ =\frac{1}{3}\mathrm{\pi }{\left(4\right)}^2\left(6.5\right) \\ \approx 108.9{\mathrm{mm}}^3 \end{gathered}$$                صيغةُ حجمِ المخروط، وبتعويض الأبعاد أجد الناتج 

 

9) أكوابٌ: يبيّنُ الشكلُ المجاورُ كوبَينِ، المنطقةُ الداخليةُ في كلٍّ منهُما على شكلِ مخروطٍ. أيُّ الكوبَينِ يتّسعُ لكمّيةٍ أكبرَ مِنَ السائلِ؟ أبرّرُ إجابتي.

حجم الكوب الأول :

$$\begin{gathered} \mathrm{V}=\frac{1}{3}{\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h} \\ =\frac{1}{3}\mathrm{\pi }{\left(4\right)}^2\left(8\right) \\ \approx 134{\mathrm{cm}}^3 \end{gathered}$$                     صيغةُ حجمِ المخروط، وبتعويض الأبعاد أجد الناتج 

حجم الكوب الثاني :

$$\begin{gathered} \mathrm{V}=\frac{1}{3}{\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h} \\ =\frac{1}{3}\mathrm{\pi }{\left(3\right)}^2\left(10\right) \\ \approx 94.2{\mathrm{cm}}^3 \end{gathered}$$                  صيغةُ حجمِ المخروط، وبتعويض الأبعاد أجد الناتج 

المخروط الأول يتسع لكمية أكبر من السوائل

 

أَجِدُ حجمَ كلِّ مجسَّمٍ ممّا يأتي، وَأقرّبُ إجابتي لِأقربِ جزءٍ مِنْ مئةٍ:

10)

حجم المنشور = حجم المخروط + حجم الأسطوانة  

$$\begin{gathered} \mathrm{V}={\mathrm{V}}_{\mathrm{مخروط}}+{\mathrm{V}}_{\mathrm{أسطوانة} } \\ =\left(\frac{1}{3}{\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h}\right)+\left({\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h}\right) \\ ={\mathbf{\pi r}}^{\mathbf{2}}(\frac{1}{3}\mathrm{h}+\mathrm{h}) \\ \approx 3.14\times 2^2(\frac{1.5}{3}+3) \\ \approx 43.98{\mathrm{cm}}^3 \end{gathered}$$      باخذ ${\mathbf{\pi r}}^{\mathbf{2}}$ كعامل مشترك - الاسطوانة والمخروط لهما نفس القطر - وتعويض الأبعاد أجد الناتج               

11)

حجم المنشور = حجم  المخروط الأول + حجم المخروط الثاني 

$$\begin{gathered} \mathrm{V}={\mathrm{V}}_1+{\mathrm{V}}_2 \\ =\frac{{\mathbf{\pi r}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{3}}({\mathrm{h}}_1+{\mathrm{h}}_2) \\ \approx \frac{3.14\times 5^2}{3}(20+8) \\ \approx 733.03{\mathrm{cm}}^3 \end{gathered}$$      باخذ$\frac{{\mathbf{\pi r}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{3}}$ كعامل مشترك - لهما نفس القطر - وتعويض الأبعاد أجد الناتج    

12)

حجم المنشور = حجم الهرم + حجم المنشور الرباعي 

$$\begin{gathered} \mathrm{V}={\mathrm{V}}_{\mathrm{رباعي}}+{\mathrm{V}}_{\mathrm{هرم}} \\ =\mathrm{Bh}+\frac{1}{3}\mathrm{Bh} \\ =\mathbf{B}({\mathrm{h}}_{\mathrm{رباعي}}+\frac{{\mathrm{h}}_{\mathrm{هرم}}}{3}) \\ =\mathbf{(}\mathbf{l}\mathbf{\times }\mathbf{w}\mathbf{)}\times ({\mathrm{h}}_{\mathrm{رباعي}}+\frac{{\mathrm{h}}_{\mathrm{هرم}}}{3}) \\ =\mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{\times }\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{5}\mathbf{)}\times \left(5+\frac{3}{3}\right) \\ =45 {\mathrm{cm}}^3 \end{gathered}$$      بأخذ  B كعامل مشترك - لهما نفس القاعدة- وتعويض الأبعاد أجد الناتج    

13) علومٌ: يبيّنُ الشكلُ المجاورُ قُمعَينِ يُستخدَمانِ في مختبراتِ العلومِ، القُمعُ(1) على شكلِ مخروطٍ، وَالقُمعُ (2) على شكلِ مخروطٍ مَعَ أُسطوانةٍ متصِلَةِ بقاعدتِهِ.

أيُّ القُمعَينِ حجمُهُ أكبرُ؟ أبرّرُ إجابتي.

حجم القمع (1): يساوي حجم المخروط 

$$\begin{gathered} \mathrm{V}=\frac{1}{3}{\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h} \\ =\frac{1}{3}\mathrm{\pi }{\left(24\right)}^2\left(40\right) \\ \approx 24127.4{\mathrm{mm}}^3 \end{gathered}$$                  صيغةُ حجمِ المخروط، وبتعويض الأبعاد أجد الناتج 

حجم القمع (2): يساوي حجم المخروط + حجم الأسطوانة 

$$\begin{gathered} \mathrm{V}={\mathrm{V}}_{\mathrm{مخروط}}+{\mathrm{V}}_{\mathrm{أسطوانة} } \\ =\left(\frac{1}{3}{\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h}\right)+\left({\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h}\right) \\ ={\mathbf{\pi r}}^{\mathbf{2}}(\frac{1}{3}\mathrm{h}+\mathrm{h}) \\ \approx 3.14\times {\left(17\right)}^2(\frac{18}{3}+20) \\ \approx 23605.9{\mathrm{mm}}^3 \end{gathered}$$      باخذ ${\mathbf{\pi r}}^{\mathbf{2}}$ كعامل مشترك - لهما نفس القطر - وتعويض الأبعاد أجد الناتج    

حجم القمع الأول أكبر 

 

أستعملُ المعلوماتِ الموضَّحةَ على كلِّ شكلٍ ممّا يأتي لإيجادِ البُعدِ المفقودِ:

14)

$$\begin{gathered} \mathrm{V}=\frac{1}{3}\mathrm{Bh} \\ =\frac{1}{3}\left(\mathrm{l}\times \mathrm{w}\right)\mathrm{x} \\ 200=\frac{1}{3}\left(10\times 10\right)x \\ \mathrm{x}=6\mathrm{cm} \end{gathered}$$                صيغةُ حجمِ الهرم، وبتعويض الأبعاد أجد الارتفاع المفقود x

15)

$$\begin{gathered} \mathrm{V}=\frac{1}{3}{\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h} \\ 216\mathrm{\pi }=\frac{1}{\cancel{3}}\mathrm{\pi }{\left(\mathrm{x}\right)}^2\cancel{\left(18\right)} \\ \frac{216\mathrm{\pi }}{6\mathrm{\pi }}=\frac{6{\mathrm{\pi x}}^2}{6\mathrm{\pi }} \\ {\mathrm{x}}^2=36 \\ \mathrm{x}=6\mathrm{cm} \end{gathered}$$                صيغةُ حجمِ المخروط ، وبتعويض الأبعاد أجد نصف القطر المفقود x

 

16) أهرامُ مِصرَ: أعودُ إلى فقرةِ (أستكشفُ) بدايةَ الدرسُِ وَأحلُّ المسألةَ.

أجد حجم الهرم :

$$\begin{gathered} \mathrm{V}=\frac{1}{3}\mathrm{Bh} \\ =\frac{1}{3}\times \left({230}^2\right)\times 139 \\ =2451033.3{\mathrm{m}}^3 \end{gathered}$$                صيغةُ حجمِ الهرم، وبتعويض الأبعاد أجد الحجم 

 

17) تبريرٌ: يبيّنُ الشكلُ المجاورُ مخروطًا وَأُسطوانةً لَهُما الحجمُ نفسُهُ،

ما علاقةُ ارتفاعِ المخروطِ بِارتفاعِ الأُسطوانةِ؟ أبرّرُ إجابتي.

$$\begin{gathered} {\mathrm{V}}_{\mathrm{الأسطوانة}}={\mathrm{V}}_{\mathrm{المخروط}} \\ {\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h}=\frac{1}{3}{\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h} \end{gathered}$$                  الشكلين لهما نفس الحجم ، أكتب صيغةُ حجمِ الهرم والمخروط 

  $$\begin{gathered} \cancel{{\mathrm{\pi x}}^2}\mathrm{y}=\frac{1}{3}\cancel{{\mathrm{\pi x}}^2}\mathrm{h} \\ \mathrm{y}=\frac{\mathrm{h}}{3}\stackrel{}{\to }\mathrm{h}=3\mathrm{y} \end{gathered}$$              بتعويض الأبعاد والتبسيط أجد العلاقة بين ارتفاع المخروط وارتفاع الأسطوانة 

18) أكتشفُ الخطأَ: أبيّنُ الخطأَ في إيجادِ حجمِ كلِّ مجسَّمٍ مِنَ المجسَّمَينِ الآتيَينِ، وَأصححُهُ.

الخطأ في إيجاد حجم المخروط :

الإرتفاع = 12cm وليس 15cm ومنه الحجم الصحيح يساوي 1017.9cm²

الخطأ في إيجاد حجم الهرم :

قانون الحجم يساوي ثلث القاعدة وليس نصفها ومنه الحجم الصحيح يساوي 163.3cm²

 

19) تبريرٌ: يسقطُ الرّملُ في الساعةِ الرّمليةِ المجاورةِ بِمعدَّلِ 50cm³ لكلِّ دقيقةٍ. كَمْ مِنَ الوقتِ يحتاجُ الرملُ لِيسقطَ كلُّهُ في الجزءِ السفليِّ؟

أجد حجم الرمل الموجود في الساعة ، ويساوي حجم المخروط 

$$\begin{gathered} \mathrm{V}=\frac{1}{3}{\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h} \\ =\frac{1}{3}\mathrm{\pi }{\left(10\right)}^2\left(24\right) \\ \approx 2513.27{\mathrm{mm}}^3 \end{gathered}$$                صيغةُ حجمِ المخروط ، وبتعويض الأبعاد أجد حجم الرمل الموجود في الساعة 

بإستخدام معدل التفريغ أجد الوقت اللازم ليسقط جميع الرمل في الجزء السفلي 

$$\begin{gathered} \frac{50000{\mathrm{mm}}^3}{1\min }=\frac{2513.27{\mathrm{mm}}^3}{\mathrm{x}} \\ 50000\mathrm{x}=2513.27 \\ \mathrm{x}=0.05 \min \end{gathered}$$           يجب توحيد الوحدات قبل البدء في الحل (1cm³=1000mm³)

 

20)أكتبُُ : أصفُ العلاقةَ بينَ حجمِ الهَرَمِ وَحجمِ المنشورِ المساوي لَهُ في القاعدةِ وَالارتفاعِ.

حجم الهرم يساوي ثلث حجم المنشور المساوي له في القاعدة والإرتفاع

 $$\begin{gathered} {\mathrm{V}}_{\mathrm{الهرم}}={\mathrm{V}}_{\mathrm{المنشور} } \\ \frac{1}{3}\cancel{\mathrm{Bh}}=\cancel{\mathrm{Bh}} \\ {\mathrm{V}}_{\mathrm{الهرم} }=\frac{1}{3}{\mathrm{V}}_{\mathrm{المنشور}} \end{gathered}$$

---

---

حلول أسئلة كتاب التمارين

أَجِدُ حجمَ كلِّ مجسَّمٍ ممّا يأتي، وَأقرّبُ إجابتي لِقربِ جُزءٍ مِنْ عشرةٍ:

1) 

$$\begin{gathered} \mathrm{V}=\frac{1}{3}\mathrm{Bh} \\ =\frac{\left(5\times 9\right)7}{3} \\ =105{\mathrm{m}}^3 \end{gathered}$$

2) 

$$\begin{gathered} \mathrm{V}=\frac{1}{3}\mathrm{Bh} \\ =\frac{1}{3}\times \left(\frac{1}{2}\times 5\times 4\right)\times 6 \\ =20{\mathrm{cm}}^3 \end{gathered}$$

3) 

$$\begin{gathered} \mathrm{V}=\frac{1}{3}{\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h} \\ =\frac{1}{3}\mathrm{\pi }\left(6^2\right)\left(10\right) \\ =377{\mathrm{mm}}^3 \end{gathered}$$

أَجِدُ حجمَ كلِّ مجسَّمٍ ممّا يأتي: 

4) هَرَمٌ قاعدتُهُ مربَّعةُ الشكلِ طولُ ضلعِها 22m وَارتفاعُهُ 17m

$$\begin{gathered} \mathrm{V}=\frac{1}{3}\mathrm{Bh} \\ =\frac{1}{3}\left({22}^2\right)17 \\ =2742.7{\mathrm{m}}^3 \end{gathered}$$

 

5) مخروطٌ قُطْرُ قاعدتِهِ 12m وَارتفاعُهُ 5m 

$$\begin{gathered} \mathrm{V}=\frac{1}{3}{\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h} \\ =\frac{1}{3}\mathrm{\pi }\left(6^2\right)5 \\ \approx 188.5{\mathrm{m}}^3 \end{gathered}$$

 

6) كريستالٌ: تتكوّنُ قطعةُ الكريستالِ المجاورةُ مِنْ هَرَمَينِ قاعدةُ كلٍّ منهُما مربَّعةُ الشكلِ. أَجِدُ حجمَ قطعةِ الكريستالِ، أقرّبُ إجابتي لِأقربِ جزءٍ مِنْ عشرةٍ.

حجم القطعة = مجموع حجم الهرمين (لهما نفس القاعدة)

 $$\begin{gathered} \mathrm{V}={\mathrm{V}}_1+{\mathrm{V}}_2 \\ =\frac{1}{3}\mathrm{B}\left({\mathrm{h}}_1+{\mathrm{h}}_2\right) \\ =\frac{1}{3}\left(3^2\right)\times \left(4+3\right) \\ =21 {\mathrm{cm}}^3 \end{gathered}$$         انتبه : ارتفاع الهرم الثاني $7-3=4\mathrm{cm}$

 

7) هرمٌ قاعدتُهُ مربَّعةُ الشكل،ِ طولُ ضلعِها 6.4cm وَحجمُهُ 81.3cm³ أَجِدُ ارتفاعَ الهَرَمِ.

$$\begin{gathered} \mathrm{V}=\frac{1}{3}\mathrm{Bh} \\ 81.3=\frac{1}{3}\left(6.4^2\right)h \\ \mathrm{h}=5.95 \mathrm{cm} \end{gathered}$$

 

8) زجاجةٌ: يبيّنُ الشكلُ المجاورُ زجاجةً على شكلِ مَخروطٍ ممتلئةً بِالماءِ، يتسربُ مِنْها الماءُ بِمعدَّلِ 5cm³ في الدقيقةِ. أَجِدُ الوقتَ اللازمَ لِتفرغَ الزجاجةُ مِنَ الماءِ بِالكاملِ.

$$\begin{gathered} \mathrm{الماء} \mathrm{حجم} \\ \mathrm{V}=\frac{1}{3}\mathrm{\pi }\left(2.4^2\right)10 = 60.32{\mathrm{cm}}^3 \\ \mathrm{التفريغ} \mathrm{وقت} \\ \frac{60.32}{5}\approx 12.1 \min \end{gathered}$$

 

9) عطرٌ: زجاجةُ عطرٍ على شكلِ مَخروطٍ، طولُ قُطرِ قاعدتِها 6.5cm وَارتفاعُها 6m أَجِدُ كمّيّةَ العطرِ الّذي تتّسعُ لَهُ الزجاجةُ. 

كمية العطر = حجم المخروط 

$$\begin{gathered} \mathrm{V}=\frac{1}{3}\mathrm{\pi }\left(3.{25}^2\right)600 \\ =6636.6{\mathrm{cm}}^3 \end{gathered}$$        توحيد الوحدات 6 متر = 600 سانتي متر 

10) تبريرٌ: ما كمّيّةُ الزجاجِ اللازمةُ لِتصنيعِ 1000 قطعةٍ مِنْ ثقّالةِ الورقِ المجاورةِ. أبرّرُ إجابتي 

حجم القطعة الواحدة

$$\begin{gathered} \mathrm{V}=\frac{1}{3}\left(3^2\right)4 \\ =12{\mathrm{cm}}^3 \end{gathered}$$

كمية الزجاج اللازمةُ لِتصنيعِ 1000 قطعةٍ

$1000\times 12{\mathrm{cm}}^3=12000{\mathrm{cm}}^3$