رياضيات فصل ثاني

الثامن

الشرح الملخص أوراق العمل حل اسئلة الدرس النتاجات

حالات خاصة من متوازي الأضلاع

حل أسئلة أتحقق من فهمي :

أتحقق من فهمي :

يبين الشكل المجاور $▱ P O N M$ ، إذا كان $P N ≅ O M$ فأثبت باستعمال البرهان ذي العمودين أن PONM مستطيل :

الحل :

...........................................................................................................................................................................................................................................................................

أتحقق من فهمي :

إذا كان PQMN مستطيلاً ، وكان MQ=2x+11 و PN= 5x - 31 ، فأجد قيمة المتغير x .

الحل :

بما أن مستطيلاً ، فإن قطريه متطابقان

$M Q ≅ P N$

$2 x + 11 = 5 x - 31$

$2 x - 5 x = - 31 - 11$

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 42}{- 3} \to x = 14$

أتحقق من فهمي :

أفترض أن قطري النافذة لهما الطول نفسه ، فهل إطارها على شكل مستطيل ؟ أبرر إجابتي .

الحل :

نعم مستطيل لأنه متوازي أضلاع قطراه متطابقان

أتحقق من فهمي :

يبين الشكل المجاور معين DEFG ، إذا كانت $m ∠ G = 118$ ، فأجد قياسات الزوايا المرقمة في الشكل .

الحل :

حسب نظرية المثلث المتطابق الضلعين

$m ∠ 1 = m ∠ 3$

بما أن مجموع زوايا المثلث = 180

$m ∠ 1 + m ∠ 3 + 118 = 180$

$2 m ∠ 1 = 180 - 118$

$\frac{2 m ∠ 1}{2} = \frac{62}{2}$

$m ∠ 1 = 31$

$m ∠ 3 = 31$

$فإن المعين في المتقابلة الزوايا نظرية حسب$

$m ∠ 1 = m ∠ 3 = m ∠ 2 = m ∠ 4 = 31$

أتحقق من فهمي :

أحدد ما إذا كان متوازي الأضلاع في كل مما يأتي مستطيلاً أم معيناً أم مربعاً ، مبرراً إجابتي :

الحل :

مستطيل لأنه متوازي أضلاع إحدى زواياه قائمة

.............................................................................................................................................................................................................................................................................

الحل:

معين لأنه متوازي أضلاع قطراه متعامدان

حل أسئلة أتدرب وأحل المسائل :

يبين الشكل المجاور المستطيل QRST . إذا كان قطراه يتقاطعان في النقطة P و $m ∠ P T S = 34 °$ و QS = 10 فأجد كل مما يأتي :

$1) m ∠ Q T R = 56 °$

$2) m ∠ Q R T = 34 °$

$3) m ∠ S R T = 56 °$

$4) Q P = 5$

$5) R T = 10$

$6) R P = 5$

يبين الشكل المجاور المعين LMNO ، إذا كان قطراه يتقاطعان في النقطة E و $m ∠ N L M = 53 °$ و OE = 8 و NE = 6 فأجد كلاً مما يأتي :

$7) m ∠ O L N = 53 °$

$8) m ∠ L E O = 90 °$

$9) m ∠ L O N = 74 °$

$10) O M = 16$

$11) L E = 6$

$12) L N = 12$

يبين الشكل المجاور المربع QRST ، إذا كان قطراه يتقاطعان في النقطة K و QK = 1 فأجد كلاً مما يأتي :

$13) m ∠ R K S = 90 °$

$14) m ∠ Q T K = 45 °$

$15) m ∠ Q R K = 45 °$

$16) K S = 1$

$17) Q S = 2$

$18) R T = 2$

أحدد ما إذا كان متوازي الأضلاع في كل مما يأتي مستطيلاً أم معيناً أم مربعاً ، مبرراً إجابتي ، ثم أجد قيمة كل من x و y :

الحل :

معين لأنه متوازي أضلاع أضلاعه متطابقة

بما انه في متوازي الاضلاع كل زاويتين متحالفتين متكاملتين

$x + 104 = 180 \to x = 180 - 104 = 76 °$

بما أن أضلاع المعين متطابقة

$3 y ≅ y + 8$

$3 y = y + 8$

$3 y - y = 8$

$\frac{2 y}{2} = \frac{8}{2} \to y = 4$

الحل :

مستطيل لأنه إحدى زواياه قائمة

بما ان قطرا المستطيل متطابقان إذن :

$R T ≅ S W$

$4 x + 10 = 5 x - 20$

$- x = - 30 \to x = 30$

علاقة ملابس: يبين الشكل المجاور علاقة ملابس خشبية . إذا كان KJML متوازي أضلاع ، وكان $m ∠ K = 90 °, K M ⊥ L J$ فأجيب عن كل مما يأتي :

21) هل متوازي الأضلاع KJML مستطيل أم معين أم مربعاً ؟ أبرر إجابتي .

الحل :

بما أن $K M ⊥ L J$ هذا يجعل الشكل معين

وبما أن $m ∠ K = 90 °$ هذا يجعل كل زوايا الشكل قوائم

وبذلك يكون الشكل مربع .

..............................................................................................................................................

22) إذا كان KJ = 20 ، فأجد KM , JL مبرراً إجابتي .

بما أن KJ = MJ إذن MJ = 20

وحسب نظرية فيثاغورس في المثلث القائم KJM

${(K M)}^{2} = {(K J)}^{2} + {(M J)}^{2} {(K M)}^{2}$

$= {(20)}^{2} + {(20)}^{2} {(K M)}^{2}$

$= 400 + 400$

${(K M)}^{2} = 800 \to K M = 20 \sqrt{2}$

وبما ان قطرا المربع متطابقان إذن $J L = K M = 20 \sqrt{2}$

23) في الشكل الآتي ، إذا كان ADCB متوازي أضلاع ، وكان AC ينصف كلاً من $∠ A, ∠ C$ فأثبت أن ABCD معين ، باستعمال البرهان ذي العمودين .

الحل:

24) في الشكل الآتي، إذا كان GHJK متوازي أضلاع ، وكان $△ L G K ≅ △ M J K$ ، فأثبت أن GHJK معين ، باستعمال البرهان السهمي .

الحل :

25) اكتشف الخطأ: انظر الحل الآتي ، وأكتشف الخطأ الوارد فيه ، وأصححه ، علماً بأن PQRS مستطيل .

الحل :

الخطأ : أن قطرا المستطيل لا ينصف زاويتي الرأس اللذين يصل بينهما ، فتكون $x = 32 °$ ، وهي منتمية للزاوية التي قياسها $58 °$

26) تبرير : هل المعينات جميعها متشابهة؟ أبرر إجابتي .

الحل:

لا ، ليست جميع المعينات متشابهة ، لأنه قد تكون زوايا معين

$50 °, 130 °, 50 °, 130 °$

وزوايا معين آخر

$80 °, 100 °, 80 °, 100 °$

27) أكتب : كيف أميز ما إذا كان متوازي الأضلاع مستطيلاً أم معيناً أم مربعاً ؟

الحل :

يكون متوازي الأضلاع :

مستطيلاً : إذا كان إحدى زواياه قائمة

معيناً : إذا كان قطراه متعامدان

مربعاً : إذا كان إحدى زواياه قائمة وقطراه متعامدان

حل أسئلة كتاب التمارين :

إذا كان ABCD مستطيلاً ، فأجد طول كل قطر من قطريه في الحالات الآتية :

1) AC = 2 ( x -3 ) , BD = x + 5

الحل :

بما أن قطرا المستطيل متطابقان

$A C ≅ B D$

$2 (x - 3) = x + 5$

$2 x - 6 = x + 5$

$2 x - x = 5 + 6 \to x = 11$

إذن طول القطر = 16

2) AC = 2 ( 5a + 1 ) , BD = 2 ( a + 1 )

الحل:

بما أن قطرا المستطيل متطابقان إذن :

$A C ≅ B D$

$5 a + 1 = a + 9$

$a = 2$

طول القطر 22

أجد قياسات الزوايا المرقمة في كل معين مما يأتي :

الحل :

$∠ 4 = 30 °$

$∠ 2 = \frac{1}{2} (180 - 60)$

$∠ 2 = \frac{1}{2} (120) = 60 °$

$∠ 2 = 60 °$

$∠ 1 = 180 - (30 + 60)$

$∠ 1 = 180 - 90$

$∠ 1 = 90 °$

$∠ 3 = 60 °$

الحل:

$∠ 3 = 58 °$

$∠ 2 = 90 °$

$∠ 1 = 32 °$

$∠ 4 = 32 °$

الحل:

$∠ 3 = 113 °$

$∠ 1 = 33.5 °$

$∠ 2 = 33.5 °$

$∠ 4 = 33.5 °$

أحدد ما إذا كان متوازي الأضلاع في كل مما يأتي مستطيلاً أم معيناً أم مربعاً ، مبرراً إجابتي :

الحل :

بما أن قطرا الشكل STOP متطابقان

إذن الشكل STOP مستطيل

الحل:

بما أن أضلاع الشكل ABCD متطابقة

إذن الشكل ABCD معين

الحل :

بما أن أضلاع الشكل متطابقة وزواياه قائمة

إذن الشكل هو مربع

9) في الشكل المجاور ، إذا كان كل من QRST و QRTV معيناً ، فأثبت أن $△ Q R T$ متطابق أضلاع.

الحل :

$Q R ≅ Q T$

$معين Q R S T لأن$

$Q R ≅ R T$

$معين Q R T V لأن$

$Q R ≅ Q T ≅ R T إذن$

$△ Q R T الأضلاع متطابق مثلث إذن$

يبين الشكل المجاور المربع XWZY ، إذا كان WT = 3 ، فأجد كلاً مما يأتي :

$10) m ∠ W T Z = 90 ° متعامدان المربع قطرا$

$11) m ∠ W Y Z = 45 ° زاويته ينصف المربع قطر$

$12) Z X = 6, W T = 3 الآخر منهما كل ينصف المربع قطرا$

$13) X Y = \sqrt{{(3)}^{2} + {(3)}^{2}} = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2}$

14) أكتشف الخطأ : أنظر الحل المجاور ، وأكتشف الخطأ الوارد فيه وأصححه ، علماً بأن PQRS معين .

الحل :

الخطأ : $m ∠ Q R P \neq m ∠ S Q R$

التصحيح :

بما أن PQRS معين إذن :

إذن قطراه متعامدان

فتكون قياس الزاوية 37 متتامة مع الزاوية x

إذن :

$x + 37 = 90$

$x = 90 - 37 = 53 °$

رياضيات فصل ثاني

الثامن

التطبيق لنظام

MAC

التطبيق لنظام

WINDOWS