تطبيقات القيم القصوى

 تصنف القيمة الحرجة للاقتران$f\left(x\right)$ إلى:

• قيمة عظمى محلية
• قيمة صغرى محلية

ولمعرفة تصنيف القيمة الحرجة نستخدم اختبار المشتقة الثانية للاقتران $f\text{'}\text{'}\left(x\right)$.

نظرية

بافتراض وجود$f\text{'} , f\text{'}\text{'}$ لأي نقطة في فترة مفتوحة تحوي $c$ ، وأن: $f\text{'}\left(c\right)=0$، فإنه يمكن استنتاج ما يأتي:

• إذا كان: $f\text{'}\text{'}\left(c\right)<0$ ، فإن $f\text{'}\left(c\right)$ هي قيمة عظمى محلية للاقتران $f$.
• إذا كان: $f\text{'}\text{'}\left(c\right)>0$ ، فإن $f\text{'}\left(c\right)$ هي قيمة صغرى محلية للاقتران $f$.
• إذا كان: $f\text{'}\text{'}\left(c\right)=0$ ، فإن اختبار  المشتقة الثانية يفشل. وفي هذه الحالة ، يجب استعمال المشتقة الأولى لتصنيف القيم القصوى المحلية.

اختبار المشتقة الثانية لتصنيف القيم الحرجة

• نجد المشتقة الأولى للاقتران $f$.
• نساوي المشتقة الأولى بالصفر، $f\text{'}\left(x\right)=0$ لإيجاد القيمة الحرجة.
• نعوض القيمة الحرجة في المشتقة الثانية.

1. إذا كانت المشتقة الثانية عند القيمة الحرجة سالبة، فإن للاقتران $f$ قيمة عظمى محلية عند تلك القيمة.
2. إذا كانت المشتقة الثانية عند القيمة الحرجة موجبة، فإن للاقتران $f$ قيمة صغرى محلية عند تلك القيمة.

​​​​​​​يوجد كثير من التطبيقات الحياتية المهمة على القيم القصوى ومنها:

• إيجاد أكبر مساحة.
• إيجاد أكبر حجم.

​​​​​​​التطبيقات الاقتصادية

اقتران التكلفة (cost function) ويرمز له بالرمز $C\left(x\right)$.

اقتران الإيراد (revenue function) ويرمز له بالرمز $R\left(x\right)$.

اقتران الربح (profit function) ويرمز له بالرمز $P\left(x\right)$

الإيراد = السعر $\times$ الكمية

اقتران التكلفة الحدية: هي مشتقة اقتران التكلفة، $C\text{'}\left(x\right)$.

اقتران الإيراد الحدي: هو مشتقة اقتران الإيراد، $R\text{'}\left(x\right)$.

اقتران الربح الحدي: هو مشتقة اقتران الربح، $P\mathbf{\text{'}}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}$

كما يوجد العديد من التطبيقات الاقتصادية المهمة ومنه إيجاد أكبر ربح .

​​​​​​​