رياضيات فصل ثاني

الثامن

الشرح الملخص أوراق العمل حل اسئلة الدرس النتاجات

تشابه المثلثات

حل اسئلة أتحقق من فهمي :

أتحقق من فهمي :

أحدد ما إذا كان كل مثلثين مما يأتي متشابهيم أم لا ، وإذا كانا كذلك ، فأكتب عبارة التشابه ، مبرراً إجابتي :

الحل :

$∠ D ≅ ∠ G$ ، لأنهما زاويتان قائمتان . $∠ E ≅ ∠ H$ لأن $m ∠ E = m ∠ H = 64 °$

$△ C D E ~ △ K G H$ وفق المسلمة AA

.................................................................................................................................................................................................................................................................................

الحل:

قياسات زوايا المثلث الصغير $62 °, 59 °, 59 °$ ، قياسات زوايا المثلث الكبير $68 °, 68 °, 44 °$

لا يوجد أزواج زوايا متطابقة ، المثلثان غير متشابهين

أتحقق من فهمي :

أحدد ما إذا كان كل مثلثين مما يأتي متشابهين أم لا ، وإذا كانا كذلك ، فأكتب عبارة التشابه ، مبرراً إجابتي :

الحل:

النسبة بين أقصر ضلعين

$\frac{L M}{R S} = \frac{20}{24} = \frac{5}{6}$

النسبة بين أطول ضلعين

$\frac{LN}{ST} = \frac{26}{33}$

النسبة بين الضلعين الباقيين

$\frac{M N}{R T} = \frac{24}{30} = \frac{4}{5}$

إذن لا يوجد تشابه بين المثلثين

الحل:

النسبة بين اقصر ضلعين

$\frac{J K}{J M} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

النسبة بين أطول ضلعين

$\frac{J L}{J N} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

الزاوية J مشتركة بين المثلثين ومحصورة بين الضلعين المتناسبين

المثلثان متشابهان وفق نظرية التشابه SAS

أتحقق من فهمي :

أستعمل المعلومات المعطاة على الشكل المجاور، لأثبت أن $△ S P Q ~ △ S R T$ باستعمال البرهان السهمي:

الحل :

أتحقق من فهمي :

أجد قيمة x التي تجعل $△ A B E ~ △ D C E$

الحل:

حتى يكون $△ A B E ~ △ D C E$

يجب أن تكون الأضلاع المتناظرة متناسبة

$\frac{AB}{CD} = \frac{AE}{ED}$

$\frac{2}{5} = \frac{x - 1}{x + 5}$

$2 (x + 5) = 5 (x - 1)$

$2 x + 10 = 5 x - 5$

$2 x - 5 x = - 5 - 10$

$- 3 x = - 15$

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 15}{- 3}$

$x = 5$

أتحقق من فهمي :

يبين الشكل المجاور طريقة أخرى لقياس عرض البحيرة ، أجد عرض البحيرة WX فيه .

الحل :

WX = 78km

حل الأسئلة والتمارين :

أتدرب وأحل المسائل:

أحدد ما إذا كان كل مثلثين مما يأتي متشابهين أم لا ، وإذا كانا كذلك ، فأكتب عبارة التشابه ، مبرراً إجابتي :

الحل:

النسبة بين طولي الضلعين المتطابقين المتناظرين

$\frac{A C}{G E} = \frac{B C}{G F} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

النسبة بين أطول ضلعين

$\frac{A B}{E F} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$

المثلثان متشابهان وفق نظرية التشابه SSS , إذن $△ A C B ~ △ E G F$

الحل:

الزاوية S مشتركة بين المثلثين

والنسبة بين طولي الضلعين اللذين يحصران الزاوية S في المثلثين هي

$\frac{S T}{S R} = \frac{16 + 8}{24 + 12} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}$

$\frac{SQ}{SP} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}$

المثلثان متشابهان وفق نظرية التشابه SAS ، $△ P S Q ~ △ R S T$

الحل:

النسب بين أطوال الأضلاع المتناظرة هي : $\frac{7}{12}, \frac{4}{7}, \frac{6}{11}$ ، المثلثان غير متشابهين

الحل:

يوجد زوجين من الزوايا المتناظرة المتطابقة ،

$∠ P = ∠ T$

$∠ R S P = ∠ T S Q$

المثلثان متشابهان بمسلمة التشابه AA ، إذن : $△ T S Q ~ △ P S R$

أثبت أن كل مثلثين مما يأتي متشابهان ، ثم أجد الطول المطلوب:

$∠ A E B ≅ ∠ A D C$

$∠ A B E ≅ ∠ A C D$

زوايا متناظرة من متوازيين

$△ A E B ~ △ A D C$ AA إذن بمسبمة التشابه

$AB = \frac{18}{5}$

الحل:

:الحل

$∠ E G F ≅ ∠ G H F$ زاويتان قائمتان

$∠ F$ زاوية مشتركة بين المثلثين

$△ E G F ~ △ G H F$ AA بمسلمة التشابه

$H G = \frac{180}{13}$

$∠ A C B ≅ ∠ F C E$ زاويتان متقابلتان بالرأس

$∠ A ≅ ∠ F$ معطى

$△ A C B ~ △ F C E$ AA مسلمة التشابه

الحل:

نسب التشابه :

$\frac{AC}{FC} = \frac{CB}{CE}$

$\frac{2 x}{9} = \frac{8}{x}$

$2 x (x) = 8 \times 9$

$2 x^{2} = 72$

$x^{2} = 36$

$x = 6 مقبول$

$x = - 6 مرفوض$

$A C = 2 x = 2 (6) = 12$

الحل:

$∠ A S R ≅ ∠ A C B قائمتان زاويتان$

$∠ A المثلثين بين مشتركة زاوية$

$△ A S R ~ △ A C B A A التشابه بمسلمة$

$A B = 15$

9) عجلة دوارة : يبين الشكل المجاور عجلة دوارة فإذا علمت أن $MP = NQ = 1.5 m$ ، وأن $O M = O N = 3$ فأبين ما إذا كان $△ O P Q ~ △ O M N$ أم لا .

الحل :

10) في الشكل الآتي ، إذا كان $△ K N J$ متطابق الضلعين و $∠ N$ زاوية رأسه ، وكان $∠ L ≅ ∠ H$ ، فأثبت أن $△ G H J ~ M L K$ ، باستعمال البرهان ذي العمودين .

الحل:

11) أستعمل المعلومات المعطاة على الشكل الآتي لأثبت أن $A B \times C G = C D \times A C$ ، باستعمال البرهان السهمي :

الحل :

$\frac{A B}{C D} = \frac{A C}{C G} التشابه من$

$A B \times C G = C D \times A C ومنه$

12) أكتشف الخطأ : أنظر الحل الآتي ، وأكتشف الخطأ في ايجاد قيمة x وأصححه

الحل:

الخطأ : لم يكن التناسب بين أضلاع متناظرة في المثلثين المتشابهين

الصحيح:

$\frac{4}{9} = \frac{6}{x}$

$x = \frac{6 \times 9}{4}$

$x = 13.5$

13) تحد : أحدد في الشكل المجاور ثلاث مثلثات متشابهة ، ثم أكتب ثلاث جمل تشابه بين المثلثات ، وأثبتها جميعها :

الحل:

المثلثات $△ A C B ~ △ C D B ~ △ A D C$ متشابهة

$△ A C B ~ △ A C D$ ( AA ) حسب مسلمة التشابه

لأن $∠ A$ مشتركة

$m ∠ C = m ∠ D = 90 °$

$△ A C B ~ △ C D B (A A) التشابه مسلمة حسب$

$مشتركة ∠ B لأن$

$m ∠ C = m ∠ D = 90 °$

بما أن المثلثين $△ A C D, △ C D B$ كلاً منهما يشابه المثلث $△ A C B$ إذن :

المثلثان $△ A C D, △ C D B$ متشابهان

14) تبرير : هل المستقيم الذي يقطع ضلعي مثلث ، ويكون موازياً للضلع الثالث من المثلث ، يشكل مثلثين متشابهين ؟ أبرر إجابتي :

الحل :

نعم ، لأنه ينتج زوجين من الزوايا المتناظرة المتطابقة ويكون التشابه بمسلمة AA

15) كيف أحدد ما إذا كان مثلثان متشابهين أم لا ؟

الحل :

- إذا طابقت زاويتين في مثلث زاويتين في مثلث آخر فإن المثلثين متشابهان ( AA )

- إذا كانت الاضلاع المتناظرة متناسبة ، فإن المثلثين متشابهان ( SSS )

- إذا كان طولا ضلعين في مثلث متناسبين مع طولي الضلعين المناظرين لهما في مثلث آخر ، وكانت الزاويتان المحصورتان بينهما متطابقتين ، فإن المثلثين متسابهان (SAS )

حل مسائل كتاب التمارين :

أحدد ما إذا كان كل مثلثين مما يأتي متشابهين أم لا ، وإذا كانا كذلك فأكتب عبارة التشابه ، مبرراً إجابتي :

ألاحظ أن $∠ y = 85 °$ زاوية مشتركة

ألاحظ أن

$m ∠ Y Z X = 180 - (85 + 45) = 50 °$

إذن

$m ∠ Y W U = m ∠ Y Z X = 50 °$

حسب مسلمة التشابه ( AA ) يكون :

$△ Y W U, △ Y Z X$ متشابهان .

الاحظ أن :

أقصر ضلعين :

$\frac{H G}{H F} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$

أطول ضلعين :

$\frac{GJ}{FK} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$

الضلعين المتبقيين :

$\frac{HJ}{HK} = \frac{16.5}{22} = \frac{3}{4}$

إذن : $△ H F K, △ H J G$ متشابهين وفق نظرية التشابه ( SSS )

الاحظ أن

أقصر ضلعين:

$\frac{VU}{RS} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$

اطول ضلعين :

$\frac{VT}{SQ} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$

الضلعين المتبقيين :

$\frac{VT}{RQ} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$

إذن : $△ R S Q, △ T U V$ متشابهين وفق نظرية التشابه ( SSS )

أستعمل الشكل المجاور لأكمل كلاً من العبارات الآتية:

$4) △ C A G ~ △ C E F$

$5) △ D C F ~ △ B C G$

$6) △ A C B ~ △ E C D$

$7) m ∠ E C F = 37 °$

$8) m ∠ E C D = 82 °$

$9) C F = 12$

$10) B C = 4 \sqrt{2}$

$11) D E = 21$

12) أجد ارتفاع البرج في الشكل الاتي مستعملاً تشابه المثلثات :

ألاحظ أن المثلثين الصغير والكبير متشابهين لوجود زاوية مشتركة بينهما والمثلثين قائمين حسب مسلمة التشابه AA

نسب التشابه :

أفرض ارتفاع البرج x فيكون :

$\frac{3}{462} = \frac{2}{x}$

$x = \frac{2 \times 462}{3}$

$x = \frac{924}{3}$

$x = 308 البرج ارتفاع$

أجد قيمة المتغير x في كل زوج من أزواج المثلثات المتشابهة الآتية :

$\frac{24}{2 x - 4} = \frac{x + 5}{39}$

$(2 x - 4) (x + 6) = 24 \times 39$

$2 x^{2} + 12 x - 4 x - 24 = 936$

$2 x^{2} + 8 x - 960 = 0$

$x^{2} + 4 x - 480 = 0$

$إما x = 20 مقبول$

$أو x = - 24 مرفوض$

$x = 20 إذن$

نسب التشابه :

$\frac{10}{x + 10} = \frac{x + 2}{x + 14}$

$(x + 2) (x + 10) = 10 (x + 14)$

$x^{2} + 10 x + 2 x + 120 = 10 x + 140$

$x^{2} + 12 x + 20 - 10 x - 140 = 0$

$x^{2} + 2 x - 120 = 0$

$(x - 10) (x + 12) = 0$

$إما x = 10 مقبول$

$أو x = - 12 مرفوض$

$x = 10 إذن$

رياضيات فصل ثاني

الثامن

التطبيق لنظام

MAC

التطبيق لنظام

WINDOWS