رياضيات فصل ثاني

       أتحقق من فهمي                     صفحة 26

إذا كان h(x) = $\sqrt{x }$, j(x) = 2x +1 , فأجد كلا مما يأتي : 

a. $( h\circ j)$= h(j(4)) = h(2(4)+1= h(9) = $\sqrt{9}$ = 3

b. $(j\circ h)\left(4\right)$ = j(h(4)) = j($\sqrt{4}$) = j(2) = 2(2) +1 = 5

c. $(h\circ h)( 16)$ = h(h(16)) = h(  $\sqrt{16}$) = h(4) = $\sqrt{4}$ = 2

 d. $( j\circ j)( -8)$ = j(j(-8)) = j( 2(-8) +1) = j(-15) = 2(-15) +1 = -29

---

  أتحقق من فهمي                     صفحة 27

 

إذا كان f(x) = x² +4x , g(x) = 2 -3x ، فأجد قاعدة كل من : $( f\circ g)( x)$  و$( g\circ f)\left(x\right)$  ثم أجد $(f\circ g)\left(3\right)$ , و $( g\circ f)( -1)$

 

 

 

---

  

أتحقق من فهمي                     صفحة 28

أجد مجال $( g\circ f)\left(x\right)$ للاقترانين في المثال أعلاه.( مثال 3)

مثال 3 

$f\left(x\right) =\frac{6}{x -2}$ , $g\left(x\right) =\frac{9}{x -3}$إذا كان

الحل : 

مجال (x)f هو مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا x = 2 

مجال  g(x) هو مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا  x = 3

$\frac{6}{x -2 }=3\to 3x-6=6\to 3x=12\Rightarrow x=4$                                                        

   

مجال $(g\circ f)\left(x\right)$ هو مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا $x = \left\{2,4\right\}$

---

 

  أتحقق من فهمي                     صفحة 29

أجد الاقترانين f(x) و g(x)  بحيث يمكن التعبير عن كل من الاقترانين الآتيين بالصورة  h(x) = f(g(x))

a. h(x) = 4x² -1  

g(x) = x²

f(x) = 4x- 1

$h\left(x\right) =\frac{2}{{( x+2)}^2 }+5$  .b

g(x) = x+2

$f\left(x\right) = \frac{2}{x^2}+5$

---

  

أتحقق من فهمي                     صفحة 30

قياس : يحول الاقتران $C\left(F\right) = \frac{5}{9}( F -32)$  درجات الحرارة من المقياس الفهرنهايتي F إلى مقياس سيلسيوس C. ويحول الاقتران k(c) =  c +273 درجات الحرارة من مقياس سيلسيوس إلى مقياس كلفن K . أكتب الاقتران الذي يحول درجة الحرارة من المقياس الفهرنهايتي إلى مقياس كلفن ، ثم أجد درجة الحرارة على مقياس كلفن التي تقابل 86 درجة فهرنهايتية.

$K\left(F\right) = \frac{5}{9}(F -32) +273\to K\left(86\right)=\frac{5}{9}( 86 -32)+273=\frac{5}{9}\left(54\right) +273= 30 +273= 303$

---

 

أتدرب و أحل المسائل 

 إذا كان    $g\left(x\right)=\frac{x}{2}$   ,f(x) = x + 7 ,   فأجد كلا مما يأتي :

$\mathbf{1}\mathbf{-} (f\circ g)\left(4\right)=f\left(g\right(4\left)\right) = f\left(2\right) = 2+7 = 9$  

$\mathbf{2}\mathbf{-} (g\circ f)\left(4\right)=g( 4+7) = g\left(11\right) = 5.5$  

$\mathbf{3}\mathbf{-} (g\circ g)( -2) = g( \frac{-2}{2}) = g(-1) = \frac{-1}{2}$ 

$4- (f\circ f)\left(3\right)=f\left(f\right(3\left)\right) = f( 3+7) = f\left(10\right) = 10+7 = 17$

---

 

إذا كان c(x) = x³ , d(x) = 2x - 3 فأجد كلا مما يأتي : 

$5. (c\circ d)\left(3\right)=c\left(d\right(3\left)\right) = c( 2(3) -3) = c\left(3\right) = 33 = 27$

 $6. (d\circ c)\left(5\right) =d\left(c\right(5\left)\right) = d( 53) = d\left(125\right) = 2\left(125\right) -3 = 247$ 

$7. (c\circ d)\left(x\right)=\left(c\right(d\left(x\right)) = c ( 2x -3) = (2x -3)3 = 8x3 -36x2 +54x -27$ 

$8. (d\circ c)\left(x\right)=d\left(c\right(x\left)\right)= d\left(x3\right) = 2x^3 -3$

---

 

أجد مجال $(f\circ g)\left(x\right)$ في كل مما يأتي :

$f\left(x\right) =\frac{2x}{x -3 }, g\left(x\right) =\frac{1}{x -5 }$

مجال g(x)  هو مجموعة الأعداد الحقيقية ماعدا x= 5

مجال f(x)  هو مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا x=3

$\frac{1}{x -5}=3\to 3x-15=1$ 

$3x=16\to x=\frac{16}{3}$

 

مجال $(f\circ g)\left(x\right)$  هو مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا $x =\{5 ,\frac{16}{3}\}$

 

$f\left(x\right) =\frac{1}{2x-2 }, g\left(x\right)=\frac{5}{x+7 }$

 

مجال g(x)  هو مجموعة الأعداد الحقيقية ماعدا x= -7

مجال f(x)  هو مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا x=1

$\frac{5}{x+7}= 1 \to x+7 = 5 \to x =-2$

 

مجال $(f\circ g)\left(x\right)$ هو مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا $x=\{-7,-2\}$

---

 

11. إذا كان a(x) = x + 4 , b(x) = x - 7 فأثبت أن $(a\circ b)\left(x\right) = (b\circ a)\left(x\right)$

الحل

$(a\circ b)\left(x\right)= a\left(b\right(x\left)\right)= a( x-7)= x-7 +4= x - 3$

$(b\circ a) \left(x\right) = b\left(a\right(x\left)\right)= b( x+4)= x+4 -7= x-3$

---

 

12. إذا كان f(x) = 2^x , g(x) = 3x +4  فأجد $(f\circ g)\left(x\right)$ ثم أجد قيمة $(f\circ g)(-3)$

f(g(x)) = f( 3x+4) = 2^(3x+4)

 

 $f\left(g\right(-3\left)\right)=2^{(3x -3+4)}=2^{( -9+4)}=2^{-5}=\frac{1}{2^5}=\frac{1}{32}$ 

---

 

13. إذا كان g(x) 2x -10  , $f\left(x\right) = \frac{1}{x -4 }$ فأجد $( g\circ f)\left(x\right)$ بصورة كسر واحد ، ثم أعين مجاله.

$g\left(f\right(x\left)\right) = g\left(\frac{1}{x-4}\right) = 2\left(\frac{1}{x-4}\right) -10 = \frac{2}{x -4} - 10$

 

المجال : مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا x = 4 

---

 

إذا كان f(x) = x + 1 , g(x) = x² -7 فأعبر عن كل مما يأتي بصورة  اقتران مركب ، معتمدا الاقترانين f , g : 

 $14. x^2- 6=(f\circ g)\left(x\right)$

 $15. x^2+2x-6=(g\circ f)\left(x\right)$

---

 

أجد اقترانين f(x) و g(x) بحيث يمكن التعبير عن كل من الاقترانين الآتيين بالصورة h(x) = f(g(x))

$16) h(x) = \frac{4}{3- \sqrt{4+x^2}}$ 

الحل

$g\left(x\right)=\sqrt[]{4 +x^2},f\left(x\right)=\frac{4}{3-x }$

 

$17) h(x) ={( \frac{1}{2x -3 })}^3$

الحل

$g\left(x\right)=\frac{1}{2x -3},f\left(x\right)=x^3$

---

 

18. إذا كان $f\left(x\right)=\sqrt[]{x-2}, x\ge 2 , g\left(x\right)=\frac{2}{3-x} , x>3$  فهل يمكن تكوين $(f\circ g)\left(x\right)$ ؟ أبرر إجابتي 

الحل :

مدى g(x)  هو جميع الأعداد الحقيقية السالبة ، وهي غير موجودة في مجال f(x) لأن مجال f(x)  هو الأعداد الحقيقية التي لا تقل عن 2، فلا يمكن تكوين $( f\circ g)\left(x\right)$

---

 

19. أحل المسألة الواردة في بداية الدرس.
عندما تسقط قطرة ماء المطر على بحيرة تتكون موجة دائرية يتزايد طول نصف قطرها بالنسبة إلى الزمن وفق الاقتران: 

$r\left(t\right)=25\sqrt[]{t+2}$ حيث r نصف القطر بالسنتيمترات ، و t الزمن بالدقائق. أجد مساحة الموجة عندما t= 2 .

 

الحل 

$A=\mathrm{\pi } {\mathrm{r}}^2=\mathrm{\pi } {( 25 \sqrt{\mathrm{t} +2})}^2\mathrm{A}=\mathrm{\pi } ( 625) ( \mathrm{t}+5)= 625\mathrm{\pi t} +1250\mathrm{\pi }$

$\mathrm{A}\left(2\right)=625\mathrm{\pi } \left(2\right)+1250\mathrm{\pi }=1250\mathrm{\pi }+1250\mathrm{\pi }=2500\mathrm{\pi }$

---

 

يعطى عدد خلايا البكتيريا في أحد الأطعمة المبردة في الثلاجة بالاقتران: $N\left(T\right) =23T^2 -56T +1 , 3< T< 33$ حيث T  درجة حرارة الطعام . عند إخراج الطعام من الثلاجة تعطى درجة حرارته بالاقتران T(t) = 5t +1.5  حيث t  الزمن بالساعات :

20. أكتب الاقتران : $(N\circ T)\left(t\right)$

N(T(t)) = N( 5t +1.5)

= 23(5t +1.5)² - 56(5t +1.5) +1

= 23( 25t² +15 t +2.25) -280t -84 +1

= 575 t² +345 t +51.75 -280t - 83

= 575 t² +65 t -31.25

21. أجد الزمن الذي يصل عنده عدد خلايا البكتيريا إلى 6752 مقربا إجابتي إلى منزلتين عشريتين.

الحل

 

$6752 = 575 t{ }^2 +65t - 31.25$

$575 t^{ 2} +65t - 31.25 -6752 =0$

$575 t^{ 2} +65t -6783.25= 0$

$t = \frac{-65 +\sqrt{652 -4\left(575\right)(-6783.25)}}{2\left(575\right)}= \frac{-65 +\sqrt{4225 +15601475}}{1150}=\frac{-65 +\sqrt{15605700}}{1150}$

$t\approx \frac{-65 +3950.4}{1150}\approx \frac{3885.4}{1150}\approx 3.38$

$وأ t = \frac{-65-3950.4}{1150}$ مرفوضة

---

22. إذا كان $a>0$,  f(x) = ax+b  و كان $(f\circ f)\left(x\right) = 16x -15$ فأجد قيمة كل من a و b

f(f(x)) = f(ax +b)

= a(ax +b) +b

= a²x +ab +b

 

a²x +ab +b = 16x -15

a² = 16     and ab +b = -15

a = 4 , a = -4 مرفوضة 

ab +b = -15

4b +b = -15

5b = -15

b = -3

---

23. أجد $( f\circ g\circ h)\left(x\right)$ في أبسط ، علما بأن : f(x) = x² +1 , g(x) =$\frac{1}{x}$ , h(x) = x+3

الحل 

 

---

 

مهارات التفكير العليا 

24. أكتشف الخطأ: وجدت كل من هدى ووفاء ناتج $(f\circ g)\left(x\right)$ ، حيث f(x) = x² -6x -5 , g(x) = x² +5 أحدد إذا كانت إجابة أي منهما صحيحة ، مبررا إجابتي .

f( g(x)) = f( x² +5)

= (x² +5)² - 6(x² +5) - 5

= x⁴ +10x² +25 -6x² -30 -5 

= x⁴ +4x² - 10

إذا إجابة هدى صحيحة وإجابة وفاء خاطئة 

---

 

25. مسألة مفتوحة : أكتب اقترانين f و g  بحيث يكون$(f\circ g)\left(x\right) = x^2 -4x +7$

g(x) = x² - 4x

f(x) = x+ 7

---

 

26. تحد : إذا كان $f\left(x\right) =\frac{1}{x -3} ; g\left(x\right) = \frac{1}{x+2}$ فما قاعدة $(f\circ g)\left(x\right)$ ؟ ما مجاله ؟

مجال g(x) هو مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا x = -2

مجال f(x) هو مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا  x = 3

$\frac{1}{x+2}=3\Rightarrow 3x+6=1$

$3x=-5\Rightarrow x =\frac{-5}{3}$

مجال $( f\circ g)\left(x\right)$  هو مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا $x=\{-2 , \frac{-5}{3}\}$

 

 

---

 

27 . تحد : إذا كان  $f\left(x\right) = \frac{2x -2}{x -4 }$ و كان    $g\left(x\right) = \frac{2x -1}{3}$  فأحل المعادلة  $( f\circ g)\left(x\right) = -4$ .

 

$f\left(g\right(x\left)\right) = f\left(\frac{2x -1}{3}\right)= \frac{2\left(\frac{2x -1}{3}\right) - 2}{\frac{2x -1}{3}- 4}= \frac{\frac{4x - 2}{3}- \frac{6}{3}}{\frac{2x -1}{3}- \frac{12}{3}}= \frac{\frac{4x - 2 -6}{3}}{\frac{2x -1 -12}{3}}=\frac{4x -8}{3} ( \frac{3}{2x -13})= \frac{4x -8 }{2x -13}$

 

$\frac{4x -8}{2x -13}=-4\to -4( 2x -13)=4x -8$

 

$\to -8x +52= 4x -8\to 60=12 x\to x=5$

---

 

كتاب التمارين 

 

أجد قيمة كل مما يأتي، مستعملا القيم المبينة في الجدولين الآتيين : 

X	-3	-2	-1	0	1	2	3
F(x)	-7	-5	-3	-3	3	5	7

 

X	-3	-2	-1	0	1	2	3
G(x)	8	3	0	-1	0	3	8

 

 

---

إذا كان f(x) = 2x+1 و g(x) = 3x-4 فأجد :

 

 

---

 

إذا كان $k\left(x\right)=\frac{1}{x+1}$ و $h\left(x\right)=\frac{2}{x}$ فأجد :

$13. (h\circ k)\left(3\right) =8$ 

$14. ( k\circ h)\left(3\right) =\frac{3}{5}$  

$15.(h\circ h)\left(6\right)=6$ 

$16. (k\circ k)(-3)=2$ 

$17. (k\circ h)\left(x\right)=k\left(\frac{2}{x}\right) =\frac{1}{\frac{2}{x}+1}=\frac{1}{\frac{2+x}{x}}= \frac{x}{x+2}$ 

 $18. ( h\circ k)\left(x\right)=h\left(\frac{1}{x+1}\right) =\frac{2}{\frac{1}{x+1}}= 2(x+1)$

---

 

أجد اقترانين f(x) و g(x) بحيث يكون  $h\left(x\right)= (g\circ f)\left(x\right)$  في كل مما يأتي:

 

 

---

23. يرتبط سعر سلعة معينة وعدد الوحدات المبيعة منها بالعلاقة  $0\le x\le 400$ ،  $p = 100 -\frac{x}{4}$ ، حيث p السعر بالدينار، و x عدد الوحدات المبيعة. إذا كانت التكلفة C بالدنانير لإنتاج x وحدة هي $C =\frac{4 \sqrt{x}}{0.5}+600$ ، فأجد التكلفة C في صورة اقتران نسبة إلى السعر p ، ثم أجد التكلفة إذا كان سعر الوحدة الواحدة 19 دينارا.

الحل 

---