تركيب الاقترانات

تعلمنا سابقا كيفية إجراء العمليات الحسابية الأربعة ( الجمع والطرح والضرب والقسمة) على كثيرات الحدود لتكوين اقترانات جديدة.

---

أيضا يمكن تكوين اقتران جديد من الاقترانين f(X) و g(x) و ذلك عن طريق دمجهما بحيث تكون مخرجة أحدهما هي مدخلة للآخر 

فتسمى عملية الدمج     تركيب الاقترانات ويسمى الاقتران الناتج عن ذلك بالاقتران المركب 

• يمكن تركيب الاقترانين g(x) و f(x) بطريقتين هما 

1)  تطبيق g اولا ثم تطبيق f على نتيجة g ويرمز له $( f\circ g)$

2) تطبيق f اولا ثم تطبيق g على نتيجة f ويرمز له $( g\circ f)$

مفهوم أساسي :

تركيب الاقترانات 

إذا كان f(X) و g(x) اقترانين وكان مدى g(x) يقع ضمن مجال f(x) فإن الاقتران المركب $(f\circ g)\left(x\right)$ يعطى كما يأتي   $( f\circ g)\left(x\right) =f\left(g\right(x\left)\right)$

مثال 

إذا كان f(x)= x² +2  وكان  g(x) = 3 - x ، جد ما يلي :

1. $( g\circ f)\left(1\right) =$ g(f(1))

                    = g( 1+2)                                                f في معادلة  x =1  نعوض 

                    = g(3)                                                                 بالتبسيط

                    = 3 - 3                                            g  في معادلة  x = 3  نعوض 

                   = 0

 2.  $( f\circ g)(-3) =$ f(g( -3)) 

                         = f( 3 -(-3))

                         = f(6)

                        = 36+2

                        = 38

---

• يمكن إيجاد  قاعدة الاقتران المركب بدلالة المتغير x

مثال:

إذا كان f(x) = 2x - 3 وكان g(x) = x² فأجد قاعدة كل من : 

1. $(f\circ g)\left(x\right) =$ f(g(x)) 

                   = f( x² )

                   = 2( x² ) - 3

                   = 2 x² - 3

نعوض g(x) = x²  مكان x  في معادلة f(x)

 2. $( g\circ f)\left(x\right) =$ g( f(x))

                     = g( 2x -3)

                      = ( 2x - 3)²

                          = 4x² - 12x + 9

---

مجال الاقتران المركب

يتكون مجال $( f\circ g)\left(x\right)$ من مجموعة قيم x من مجال g التي تكون قيم  g(x)  لها موجودة في مجال f. ولذلك تستثنى من مجال $( f\circ g)\left(x\right)$ قيم x  التي لا يكون الاقتران  g معرفا عندها ( ليست ضمن مجال g) ، وقيم x التي لا يكون  $f\left(g\right(x\left)\right)$  معرفا عندها g(x) ليست ضمن مجال f.

مثال 

إذا كان $f\left(x\right) =\frac{-3}{x +2}$  و كان $g\left(x\right) = \frac{4}{2x - 8}$  ، جد مجال الاقتران $( f\circ g)\left(x\right)$

مجال الاقتران (x)g هو مجموعة الأعداد الحقيقية باستثناء قيم x  التي تجعل المقام صفرا .

2x -8 = 0 

x = 4

مجال الاقتران (x)f هو مجموعة الأعداد الحقيقية باستثناء قيم x  التي تجعل المقام صفرا .

x+2 = 0

x = -2

ولذلك نستثني قيم x التي تجعل g(x) = -2 

g(x) = -2

$$\begin{gathered} \frac{4}{2x -8} = -2 \\ 4 = -2( 2x - 8) \\ 4 = -4x +16 \\ -20 = 4x \\ x = -5 \end{gathered}$$

إذا مجال $( f\circ g)\left(x\right)$ هو مجموعة الأعداد الحقيقية باستثناء  x = 4 , x = -5 أي $\left\{ x : x\ne 4 , x \ne -5 \right\}$

---

•  يمكن النظر إلى كثير من الاقترانات بوصفها اقترانات مركبة و إيجاد اقترانين بسيطين يكافئ يركيبهما الاقتران المركب عند إذ يكون الاقترانان البسيطان مركبتي الاقتران المركب 

مثال:

أجد الاقترانين f(x) و g(x)  بحيث يمكن التعبير عن كل من الاقترانين الآتيين بالصورة  h(x) = f( g(x)) 

1. $h\left(x\right) =\frac{1}{x + 3}$

أفترض أن    $f\left(x\right) =\frac{1}{x}$ ,  g(x) = x +3 . وبذلك فإن :

بتعويض f( g(x)) = f( x+3)                                         g(x) = x +3

يتعويض  x +3  مكان x  في معادلة  f                                     $=\frac{1}{x +3 }= h\left(x\right)$

2. h(x) = ( 2 +x²)¹⁰

أفترض أن f(x) = x¹⁰ و g(x) = 2 + x²  وبذلك ، فإن :

بتعويض   f(g(x)) = f( 2+x²)                                                           g(x) = 2 +x²  

                                                    =( 2 +x²)¹⁰  = h(x)                                                               2 +x²      بتعويض                         

---

• يمكن استعمال فكرة الاقترانات المركبة في مواقف حياتية كثيرة مثل : التجارة ، والصناعة ، وغيرهما.

مثال

صناعة : وجد مدير مصنع للأثاث أن تكلفة إنتاج q من خزانات الكتب في فترة العمل الصباحية بالدينار هي : C(q) = q² +2q +800 . إذا كان عدد خزانات الكتب التي يمكن إنتاجها في t ساعة في الفترة الصباحية هي :   $0\le t\le 5$    ,   q(t) = 20t فما تكلفة الإنتاج بدلالة t ؟ كم دينارا تكلفة الإنتاج في نهاية ساعة العمل الرابعة ؟

لإيجاد تكلفة الإنتاج بدلالة t ، أعوض قيمة q(t)  في معادلة التكلفة ، فأكون اقترانا مركبا هو $( c\circ q)\left(t\right)$:

$$\begin{gathered} ( c\circ q)\left(t\right) = c \left(20t\right) \\ = {\left(20t\right)}^2 + 2\left(20t\right) +800 \\ = 400t^2 + 40t + 800 \end{gathered}$$

تكلفة الإنتاج في نهاية ساعة العمل الرابعة هي : $( c\circ q)\left(4\right)$

$( c\circ q)\left(4\right) =$   400(16) + 40(4) + 800 = 7360

إذا تكلفة الإنتاج في نهاية ساعة العمل الرابعة هي : 7360 دينارا   

---