رياضيات أدبي فصل ثاني

المتتاليات والمتسلسلات الهندسية 

 

فكرة الدرس : تعرُّف المتتالية الهندسية ، وإيجاد مجموع المتسلسلة الهندسية المنتهية.

أولًا  : مفهوم المتتالية الهندسية 

إذا كانت النسبة ثابتة بين كل حدين متتاليين في متتالية، فإنَّها تُسمّى متتالية هندسية، وتُسمّى النسبة الثابتة أساس المتتالية الهندسية  ، ويُرمَز إليها بالحرف r

مفهوم أساسي (المتتالية الهندسية)

بالكلمات : تكون المتتالية هندسية إذا كانت النسبة ثابتة بين كل حد فيها والحد الذي يسبقه. 

بالرموز : تكون المتتالية : $a_1 , a_2 , a_3 , ... a_n$ هندسية إذا كان : 

$\frac{a_2}{a_1}= \frac{a_3}{a_2}=... = \frac{a_n}{a_{n-1}}= r$                                                                                                   

 

ثانيًا : الحد العام للمتتالية الهندسية 

يُمكِن إيجاد الحد العام (  $a_n$  ) للمتتالية الهندسية التي حدها الأول $a_1$  ، وأساسها   r ، باستعمال الصيغة الآتية :

$a_n= a_1 r{ }^{n-1}$                                                      

 

ثالثًا : مجموع المتسلسلة الهندسية 

تنتج المتسلسلة الهندسية من جمع حدود المتتالية الهندسية.

ويُمكِن إيجاد مجموع أول n حدًّا  (يُرمَز إليه بـ$S_n$) من حدود المتسلسلة الهندسية باستعمال الصيغة الآتية :

                                                                                                                    $S_n = \frac{a_1(1 - r{ }^n )}{1 - r}$          

حيث : 

$a_1$ : حد المتسلسلة الأول .

$r \ne 1$ : أساس المتسلسلة .