مدرسة جواكاديمي

هنا يمكنك تصفح مدرسة جو اكاديمي، المنهاج، اسئلة، شروحات، والكثير أيضاً

المتتاليات والمتسلسلات الحسابية

رياضيات - الصف الحادي عشر خطة جديدة

فهرس الكتاب

الشرح

النتاجات

الملخص

أوراق العمل

حل اسئلة الدرس

المتتاليات والمتسلسلات الحسابية

المتتالية الحسابية: هي متتالية عددية يكون الفرق بين كل حدين فيها يساوي قيمة ثابتة وهذا الفرق الثابت يسمى أساس المتتالية الحسابية ويرمز له بالرمز d.

تكون المتتالية الحسابية إذا كان الفرق بين كل حد فيها والحد الذي يسبقه يساوي قيمة ثابتة.

تكون المتتالية: $a_{1}, a_{2}, a_{3}, . . ., a_{n}$ حسابية إذا كان:

$a_{2} - a_{1} = a_{3} - a_{2} = . . . = a_{n} - a_{n - 1} = d$

مثال:

أحدد إذا كانت كل متتالية مما يأتي حسابية أم لا:

$1) - 3, - 1, 1, 3, 5, 7, . . .$

أطرح كل حدين متتاليين

$a_{2} - a_{1} = 1 - - 1 = 2 a_{3} - a_{2} = 3 - 1 = 2 a_{4} - a_{3} = 5 - 3 = 2$

بما أن الفرق ثابت بين كل حد والحد الذي يليه إذن المتتالية حسابية

$2) 14, 9, 5, 2, - 3, . . .$

أطرح كل حدين متتاليين

$a_{2} - a_{1} = 9 - 14 = - 5 a_{3} - a_{2} = 5 - 9 = - 4 a_{4} - a_{3} = 2 - 5 = - 3$

بما أن الفرق غير ثابت إذن المتتالية غير حسابية.

ملاحظة: يمكن إيجاد كل حد من حدود المتتالية الحسابية بإضافة الأساس إلى الحد الذي يسبقه وباستعمال هذه الخاصية يمكننا إيجاد الحد العام للمتتالية الحسابية باستعمال حدها الأول $a_{1}$ ، وأساسها d.

الحد العام للمتتالي الحسابية التي حدها الأول $a_{1}$ ، وأساسها d، يعطى بالصيغة الآتية:

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$

حيث n عدد صحيح موجب.

مثال:

أجد الحد العام لكل متتالية حسابية مما يأتي ثم أجد الحد السابع منها:

$1) 12, 6, 0, - 6, - 12, . . .$

1) نجد قيمة كل من الحد الأول ( $a_{1}$ ) والأساس d.

$a_{1} = 12 d = 6 - 12 = - 6$

2) نعوض قيمة الحد الأول والأساس في صيغة الحد العام.

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d = 12 + (n - 1) (- 6) a_{n} = - 6 n + 18$

3) نجد الحد السابع بتعويض n=7 في صيغة الحد العام للمتتالية.

$a_{n} = - 6 n + 18 a_{7} = - 6 (7) + 18 = - 24$

$2) a_{3} = 5, d = 2$

1) نستعمل الحد الثالث ( $a_{3}$ ) والأساس d لإيجاد الحد الأول ( $a_{1}$ ).

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d a_{3} = a_{1} + (3 - 1) (2) 5 = a_{1} + 4 a_{1} = 1$

2) نعوض قيمة كل من الحد الأول والأساس في صيغة الحد العام للمتتالية.

$a_{n} = 1 + (n - 1) 2 a_{n} = 2 n - 1$

3) نجد الحد السابع بتعويض n=7 في صيغة الحد العام للمتتالية.

$a_{n} = 2 n - 1 a_{7} = 2 \times 7 - 1 = 13$

ملاحظة: يمكننا إيجاد الحد العام لمتتالية حسابية إذا علم حدان منها وذلك بإنشاء نظام مكون من معادلتين خطيتين بمتغيرين ثم نحلها.

مثال:

أجد الحد العام للمتتالية الحسابية التي فيها $a_{3} = 14$ و $a_{6} = 23$ :

1) نكون معادلتين من تعويض الحد السادس والثالث في صيغة الحد العام للمتتالية الحسابية.

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d a_{3} = 14 a_{1} + 2 d = 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1) a_{6} = 23 a_{1} + 5 d = 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)$

2) نحل المعادلتين (1) و (2) بالحذف.

$3 d = 9 d = 3 a_{1} + 2 d = 14 a_{1} + 2 \times 3 = 14 a_{1} = 8$

3) نعوض قيمة كل من الحد الأول والأساس في صيغة الحد العام للمتتالية.

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d a_{n} = 8 + (n - 1) 3 a_{n} = 3 n + 5$

الأوساط الحسابية: هي حدود تقع بين حدين غير متتاليين في متتالية حسابية ويمكننا إيجادها بعد حساب قيمة الأساس d.

مثال:

أجد 3 أوساط حسابية بين العددين 7 و 17-:

1) توجد لدينا 5 حدود الحد الأول والحد الأخير بالإضافة إلى ثلث حدود جديدة حيث ( $n = 5, a_{1} = 7, a_{5} = - 17$ )

2) نجد أساس المتتالية.

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d a_{5} = 7 + 4 d = - 17 d = - 6$

3) نستعمل قيمة الأساس لإيجاد الأوساط الحسابية المطلوبة.

$7, 1, - 5, - 11, - 17$

المتسلسلات الحسابية:

المتسلسلة الحسابية: هي متسلسلة ناتجة من جمع حدود متتالية حسابية ويسمى مجموع أول n حدا من حدود هذه المتسلسلة مجموعا جزئيا ويرمز له بالرمز $S_{n}$ .

يمكن إيجاد مجموع أول n حدا من حدود متتالية حسابية باستعمال إحدى الصيغتين الآتيتين:

$1) S_{n} = n (\frac{a_{1} + a_{n}}{2}) 2) S_{n} = \frac{n}{2} (2 a_{1} + (n - 1) d)$

مثال:

1) أجد مجموع حدود المتسلسلة الحسابية: 22- +...+6+13+20:

1) نجد عدد حدود المتتالية بتعويض قيمة الحد الأول ( $a_{1} = 20$ ) والأساس (d = 13 - 20 = -7).

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d - 22 = 20 + (n - 1) - 7 - 22 = - 7 n + 27 n = 7$

2) نستعمل أحدا صيغتي المجموع الجزئي للمتسلسلة الحسابية لإيجاد.

$S_{n} = n (\frac{a_{1} + a_{n}}{2}) S_{7} = 7 (\frac{20 + - 22}{2}) S_{7} = - 7$

2) أجد مجموع الحدود الثمانية الأولى من المتسلسلة الحسابية: ... + 72 + 68 + 64 + 60

نعوض قيمة كل من الحد الأول ( $a_{1} = 60$ ) والأساس (d = 64 - 60 = 4) في الصغية الثانية للمجموع الجزئي للمتسلسلة الحسابية.

$S_{n} = \frac{n}{2} (2 a_{1} + (n - 1) d) S_{8} = \frac{8}{2} (2 (60) + 7 (4)) S_{8} = 592$

مثال:

هندسة برمجيات: في مسابقة عالمية للغات البرمجية، تمنح جائزة نقدية لأول 50 مركزا، ويمنح الفائز بالمركز الأول جائزة نقدية قيمتها 5000 JD، وتقل قيمة الجائزة بمقدار 100 JD لكل مركز بعد ذلك عن المركز الذي يسبقه:

1) أثبت أن قيم الجوائز النقدية تمثل متتالية حسابية أم لا:

$5000, 4900, 4800, . . . d = - 100$

متتالية حسابية (الفرق ثابت).

2) أجد الحد العام للمتتالية الحسابية.

$a_{1} = 5000, d = - 100 a_{n} = a_{1} + (n - 1) d a_{n} = 5000 + (n - 1) - 100 a_{n} = - 100 n + 5100$

3) ما قيمة الجائزة التي ستمنح للفائز بالمركز الأخير في هذه المسابقة؟

$a_{n} = - 100 n + 5100 a_{50} = - 100 (50) + 5100 a_{50} = 100$

4) ما مجموع قيم الجوائز النقدية التي ستمنح للفائزين في هذه المسابقة؟

$S_{n} = n (\frac{a_{1} + a_{n}}{2}) S_{50} = 50 (\frac{5000 + 100}{2}) S_{50} = 127500$

مدرسة جواكاديمي

المتتاليات والمتسلسلات الحسابية

رياضيات - الصف الحادي عشر خطة جديدة

التطبيق لنظام

MAC

التطبيق لنظام

WINDOWS